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第四节　线段的垂直平分线
课时1　线段的垂直平分线(1)
基础过关
1．如图，OC是线段AB的垂直平分线，则下列结论不一定正确的是(　　)
第1题图
A．∠AOC＝90° B．AC＝BC
C．OA＝OC D．∠A＝∠B
2．(2025揭阳期中)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.若△ABC的周长为17 cm，BD＝3 cm，则△ACE的周长为(　　)
第2题图
A．11 cm B．10 cm
C．9 cm D．8 cm
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接CD，则∠BCD的度数为________．
第3题图
4．如图，AD与BC相交于点O，且OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
第4题图
能力提升
5．【应用意识】某市一座老式桥梁需进行加固改造，如图，△ABC为主梁框架，∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC＝2∠C，工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE，使得BE⊥AD，分别交AD，AC于点F，E.
(1)求证：加固后的钢架AD垂直平分钢索BE；
(2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长．
第5题图
思维拓展
6．【转化思想】如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC.若P为直线EF上任意一点，则△ABP的周长的最小值是(　　)
第6题图
A．8.5 B．9 C．12 D．12.5
课时2　线段的垂直平分线(2)
基础过关
1．(2025揭阳期中)在联欢晚会上，A，B，C三名同学玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形的三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在△ABC的(　　)
A．三条中线的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条高所在直线的交点处
D．三边的垂直平分线的交点处
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE相交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC.若∠BAC＝80°，∠ACP＝45°，则∠PBA＝________°.
第2题图
3．(2025佛山期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝13.
(1)尺规作图：作△ABC的高CD；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求CD的长．
第3题图
能力提升
4．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点D，连接BD，CD.若∠A＝115°，则∠BDC的度数是(　　)
第4题图
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，已知线段a.
(1)利用尺规作图作△ABC，使得AC＝BC，且AB＝a，AB边上的中线CD＝2a；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若a＝4，求△ABC的周长．
第5题图
思维拓展
6．(新BS八下P35改编)如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心A为出发点设计了三种连接方案：
第6题图
(1)AB＋BC；
(2)AD＋BC(D为BC的中点)；
(3)OA＋OB＋OC(O为△ABC三边的垂直平分线的交点)．
要使铺设的光缆总长度最短，应选方案________．(填序号)
第四节　线段的垂直平分线
课时1　线段的垂直平分线（1）
1．C　2.A　3.30°
4．证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA）.∴OB＝OD.
∴点O在线段BD的垂直平分线上．
∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上．
∴OE垂直平分BD.
5．（1）证明：∵BE⊥AD，∴∠AFE＝∠AFB＝90°.
∴∠EAF＋∠AEF＝90°，∠ABF＋∠BAF＝90°.
又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠BAF.
∴∠AEF＝∠ABF.∴AE＝AB.
又∵BE⊥AD，∴BF＝EF.
∴AF垂直平分BE，即加固后的钢架AD垂直平分钢索BE.
（2）解：如答图1，连接DE.
答图1
∵AD垂直平分BE，∴BD＝ED.
∴∠DEF＝∠DBF.
又∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠AED＝2∠C.
又∵∠AED＝∠C＋∠EDC，
∴∠C＝∠EDC.∴EC＝ED＝BD＝5米．
∴AB＝AE＝AC－CE＝13－5＝8（米）.
∴原始支撑段AB的长为8米.
6．B
课时2　线段的垂直平分线（2）
1．D　2.35
3．解：（1）如答图1，线段CD即为所求．
答图1
（2）在Rt△ABC中，AC＝12，AB＝13，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，　
∴×12×5＝×13CD.∴CD＝.
4．C
5．解：（1）如答图2，△ABC即为所求．
答图2
（2）由（1），得AB＝4，CD＝8.
∵AC＝BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝AB＝2.
在Rt△ACD中，
AC＝＝2.
∴BC＝AC＝2.
∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝4＋4.
6．（3）

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