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第五节　角平分线
课时1　角平分线(1)
基础过关
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D.若点D到AB的距离为2，则CD的长为(　　)
　　　 　　　 　　　　
第1题图
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2025河源期末)如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若DE＝4，AB＝10，则BD的长为(　　)
第2题图
A．10 B．8 C．7 D．6
3．如图，∠ABC的平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.已知AB＝BC＝8，S△ABC＝28，求DE的长．
第3题图
4．如图，点B，C分别在∠A的两边上，D是∠A内部一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，已知AB＝AC，DE＝DF，求证：BD＝CD.
第4题图
能力提升
5．如图，在△ABC中，M，N均为AC边上的点，连接BM，BN，其中BM⊥AC，过点N作ND⊥BC于点D，已知AM＝NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝(　　)
第5题图
A．α B．90°－α C．120°－α D．2α－90°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DE＝4，BC＝9.求AC的长．
第6题图
思维拓展
7．【应用意识】如图，OA和OB是两条公路，C，D表示两个村庄，现要建造一个车站P(位于∠AOB的内部)，使车站到两个村庄的距离相等，且车站到OA和OB两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
第7题图
课时2　角平分线(2)
基础过关
1．如图，若要在一块三角形草坪ABC上建造一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)
第1题图
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条高所在直线的交点处
D．△ABC的三边的垂直平分线的交点处
2．(2025揭阳期中)如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，AC，BC的距离OF＝OE＝OD.若∠A＝70°，则∠BOC＝(　　)
第2题图
A．110° B．115° C．120° D．125°
3．(2025佛山期中)如图，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ID⊥BC于点D，若△ABC的周长为18，ID＝4，则△ABC的面积为________．
第3题图
4．(2025揭阳期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.
(1)尺规作图：在线段AC上求作点D，使得点D到AB，BC的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AD＝BD，求∠A的度数．
第4题图
能力提升
5．(2025佛山期中)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过点P作PF⊥AD，交BC的延长线于点F.下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，则CP平分∠ACB.其中正确的有(　　)
第5题图
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
6．(2025深圳期中)如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥CD，CB⊥AB于点B，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：CE＝CB；
(2)若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长．
第6题图
思维拓展
7．如图，点M，N分别在∠AOB的边OA，OB上，连接MN，已知∠AMN，∠BNM的平分线MP，NP相交于点P.若MN＝4，S△PMN＝8，S△OMN＝5，则OM＋ON的值是________.
第7题图
微专题3　特殊三角形中常作的辅助线
1．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
第1题图
A．3 m
B．4 m
C．4.5 m
D．5 m
2．如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在AC的延长线上，点E在BC上，且CD＝CE.求证：DE⊥AB.
第2题图
3．如图，已知AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，AF⊥CD.求证：F是CD的中点．
第3题图
4．如图，在△ABC中，EF是边AC的垂直平分线，AB＝EC，D是BE的中点，∠BAD＝28°，求∠BAC的度数．
第4题图
5．如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，且BD⊥BC，∠ABD＝30°.求证：AB＝2BC.
第5题图
微专题4　遇角平分线常作的辅助线
1．(2025佛山期中)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是________．
第1题图
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.
第2题图
3．如图，AB∥CD，点E在AD上，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，已知AB＝3，CD＝5，求BC的长．
第3题图
4．(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则图中共有________个等腰三角形；EF与BE，CF之间的数量关系是________，△AEF的周长是________．
(2)如图2，若将(1)中“AB＝AC”改为“AB≠AC”，其余条件不变，则EF与BE，CF之间具有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)如图3，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC分别交AB，AC于点E，F，则EF与BE，CF之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
第4题图
微专题5　特殊三角形中的“将军饮马”问题
基础过关
1．(2025深圳期中)如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是(　　)
第1题图
A． B．2 C．1 D．3
　　
2．如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是边AB上一动点，当EP＋FP的值最小时，BF＝5，则EP＋FP的最小值是(　　)
第2题图
A．9 B．10 C．5 D．3
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上一动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是(　　)
第3题图
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，3) D．(0，4)　
4．如图，已知∠MON＝30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP＝4，则△PAB的周长的最小值为________．
第4题图
能力提升
5．如图，甜点师制作了一块直角三角形形状的蛋糕，已知Rt△ABC的斜边长AB为40 cm，∠A＝30°，在其边AB，AC上分别有一个动点M，N.若甜点师要把这块蛋糕切成3份，MN，BN为切割线，则MN＋BN的最小值是__________cm.
第5题图
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，P为MN上一动点，连接AP，BP.当AP＋BP的值最小时，求∠CBP的度数．
第6题图
思维拓展
7．如图，牧民从生活区的边QM上的某点A出发，先到草地的边PQ上的某点B牧马，再到小河的边PM上的某点C饮马，最后回到点A处．已知点P到QM的距离为2，∠QPM＝45°，若△ABC的周长为m，则m的最小值是(　　)
第7题图
A．3 B．4 C．4 D．4
第五节　角平分线
课时1　角平分线（1）
1．A　2.D
3．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴S△ABD＋S△BCD＝28，即×8DE＋×8DF＝28.
∴8DE＝28.∴DE＝3.5.
4．证明：如答图1，连接AD.
答图1
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴AD平分∠CAB.∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴BD＝CD.
5．D
6．解：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE＝4.
又∵BC＝9，∴BD＝BC－DC＝5.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得
BE＝＝＝3.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.∴AC＝AE.
设AC＝AE＝x，则AB＝AE＋BE＝x＋3.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即x2＋92＝（x＋3）2.
解得x＝12.∴AC的长为12.
7．解：如答图2，点P即为所求．
答图2
课时2　角平分线（2）
1．B　2.D　3.36
4．解：（1）如答图1，点D即为所求．
答图1
（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC.
∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD.
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝2∠A.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°.∴∠A＝36°.
5．D
6．（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.
∴∠DAC＝∠CAB.∴AC平分∠EAB.
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，∴CE＝CB.
（2）解：在Rt△ACE和Rt△ACB中，
∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL）.∴AE＝AB.
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，∠CAB＝∠CAE＝30°.
∴△AEB是等边三角形．∴BE＝AB.
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CB＝2CE＝4.
∴AB＝＝＝2.
∴BE＝2.
7．6.5
微专题3　特殊三角形中常作的辅助线
1．B
2．证明：如答图1，过点C作CM⊥AB于点M.
答图1
∵CA＝CB，∴∠ACB＝2∠ACM.
∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED.
∴∠ACB＝∠D＋∠CED＝2∠D.
∴∠ACM＝∠D.∴DE∥CM.
又∵CM⊥AB，∴DE⊥AB.
3．证明：如答图2，连接AC，AD.
答图2
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）.∴AC＝AD.
∵AF⊥CD，∴F是CD的中点．
4．解：如答图3，连接AE.
答图3
∵EF是边AC的垂直平分线，
∴EA＝EC.∴∠C＝∠EAC.
∵AB＝EC，∴AB＝AE.
∵D是BE的中点，
∴AD平分∠BAE，且AD⊥BE.
∴∠BAD＝∠EAD＝28°，∠ADE＝90°.
∴∠AED＝90°－∠EAD＝62°.
∵∠AED是△ACE的一个外角，
∴∠AED＝∠C＋∠EAC＝2∠EAC＝62°.∴∠EAC＝31°.
∴∠BAC＝∠BAD＋∠EAD＋∠EAC＝87°.
5．证明：如答图4，过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M，则∠M＝90°.
答图4
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°＝∠M.
∵BD是边AC上的中线，
∴AD＝CD.
在△BCD和△MAD中，
∴△BCD≌△MAD（AAS）.∴BC＝MA.
在Rt△ABM中，∠M＝90°，∠ABD＝30°，
∴AB＝2MA.∴AB＝2BC.
微专题4　遇角平分线常作的辅助线
1．30
2．证明：如答图1，延长CE，交BA的延长线于点F.
答图1
∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，
∴∠CEB＝∠FEB＝90°，∠CAF＝90°＝∠BAC.
∴∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°.
∴∠EBF＝∠ACF.
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（ASA）.
∴BD＝CF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF.
在△BCE和△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA）.
∴CE＝FE.∴CF＝2CE.
又∵BD＝CF，∴BD＝2CE.
3．证明：如答图2，在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF.
答图2
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE（SAS）.
∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠BFE＋∠D＝180°.
又∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠D.
在△CDE和△CFE中，
∴△CDE≌△CFE（AAS）.∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BA＋CD＝3＋5＝8.
4．解：（1）5　BE＋CF＝EF　20.
（2）BE＋CF＝EF.理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD.
∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD.
∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC.
∴BE＝DE，CF＝DF.∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF.
（3）BE－CF＝EF.
微专题5　特殊三角形中的
“将军饮马”问题
1．A　2.C　3.C　4.4　5.20
6．解：如答图1，作点B关于MN的对称点D，连接AD，BD，CD.
答图1
∴BC＝CD，BP＝PD.
∴AP＋BP＝AP＋PD.
∴当A，P，D三点共线时，AP＋PD的值最小，即此时AP＋BP的值最小．
由轴对称的性质，得∠CBP＝∠CDP，∠BCD＝2∠BCN＝2×30°＝60°.
∵AC＝BC，BC＝CD，∴AC＝CD.
∴∠CAD＝∠CDA.
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝150°.
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°－∠ACD）＝15°.
∴∠CBP＝∠CDP＝15°.
7．B

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