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第二节　图形的旋转
课时1　图形的旋转(1)
基础过关
将下图中的“小鸭子”按顺时针方向旋转90°，得到的图形是(　　)
第1题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝80°，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到四边形AB′C′D′，则∠BAD′的度数为(　　)　　　
第2题图
A．10° B．20° C．30° D．40°
3．如图，两块一样的含30°的直角三角板按如图所示的方式放置，其中，点A，B，E在同一条直线上，则三角板ABC绕点______按________方向旋转________°得到三角板DBE.
第3题图
4．如图，AC是边长为1的正方形ABCD的对角线，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△AEF，点B的对应点E在线段AC上．
第4题图
(1)旋转角是________和________，它们的度数均为________°；
(2)∠AEF的度数是________，线段EF的长度为________；
(3)∠F的度数是________，DF的长为__________．
　
能力提升
5．【生活情境】教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，其示意图如图1所示，BC与地面的夹角为60°，∠BCD＝25°，小贤同学以点C为支撑点将它扶起平放在地面上(如图2)，在这个过程中，灰斗柄AB绕点C转动的角度为(　　)
第5题图
A．105° B．100° C．95° D．50°
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，点B′落在BC的延长线上．
(1)判断线段BB′和C′B′之间的位置关系，并说明理由；
(2)连接CC′，若BB′＝6，B′C′＝2，求CC′和AC的长．
第6题图
思维拓展
7．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到的三角形的一边与原三角形的一边平行．若旋转角α小于180°，则α的度数为________．
第7题图
课时2　图形的旋转(2)
基础过关
1．如图，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°，得到的图形是(　　)　　　 　　　 　　　　
第1题图
A．线段OB B．线段OC
C．线段OD D．以上都不正确
2．如图，在正方形网格中，将△PMN绕某一点旋转某一角度得到△P′M′N′，则旋转中心是(　　)
第2题图
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求画图．
(1)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△EDC；
(2)将△ABC绕点B旋转180°，得到△GBF.
第3题图
4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(－1，0)，C(－2，2).
(1)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
(2)写出A′，B′，C′三点的坐标．
第4题图
能力提升
5．如图，直线y＝－x＋3分别与x轴、y轴交于点A，B，将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是(　　)
第5题图
A．(2，5)
B．(3，5)
C．(5，2)
D．(，2)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A′BC′，点C′恰好落在边AB上．
(1)画出△A′BC′；
(2)连接AA′，求AA′的长．
第6题图
思维拓展
7．如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，AB＝2且AB∥x轴，将正方形ABCD绕原点O按顺时针方向旋转，每次旋转45°，则第2 025次旋转后，点B的坐标是(　　)
第7题图
A．(，－1)
B．(0，－)
C．(，0)
D．(1，0)
课时3　中心对称
基础过关
1．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是(　　)
2．(新BS八下P92改编)下列四张扑克牌各自旋转180°后，图案不发生改变的是(　　)
3．下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(　　)
4．如图，将△AOB绕点O旋转180°，得到△COD.若AC＝8，AB＝3，DO＝2，则△COD的周长为________．
第4题图
5．如图是由8个大小相等的小正方形组成的中心对称图形，则此图形的对称中心是点________．
第5题图
6．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，－1)，B(1，1)，C(3，－2).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△DEF；
(2)直接写出点D，E，F的坐标．
第6题图
能力提升
7．(2025河源期中)已知点A(3，m＋2)，B(n－3，－5).
(1)若A，B两点关于原点对称，则m＝________，n＝________．
(2)若A，B两点关于y轴对称，则m＝________，n＝________．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是点D与点C的对称中心，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F.
(1)点A与点F的关系是________；
(2)若AB＝AD＋BC，求证：△ABF是等腰三角形．
第8题图
思维拓展
9．【规律探究】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称；再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称……如此进行下去，则点 A2 026的坐标是________．
第9题图
微专题8　旋转中的手拉手模型
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B的度数为(　　)
第1题图
A．30° B．35°
C．40° D．45°
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上，则∠EBC的度数为________．
　　
第2题图
3．已知四边形ABCD与四边形AEFG是两个正方形．将正方形AEFG绕点A旋转到如图所示的位置，连接BE，DG，线段BE和DG之间的数量关系是________，位置关系是________．
第3题图
4．【模型初探】(1)如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，则△CAD≌______；线段BE＝______；∠AEB的度数为______．
【深入证明】(2)如图2，已知△ABC，分别以AB，AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角三角形ABE和ACD，连接CE，BD，CE与BD交于点O，与AB交于点F.请判断线段CE和BD的关系，并说明理由．
【模型应用】(3)如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，AD＝6，将线段AC绕点C逆时针旋转90°至线段BC，连接BD，AB，求△ABD的面积．
第4题图
微专题9　旋转中的半角模型
1．如图，在等边三角形ABC中，点D，E在边BC上，且∠EAD＝30°，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABF，连接DF.下列结论不一定成立的是(　　)　　　 　　　　
第1题图
A．∠DAF＝30° B．DE＝DF
C．DA平分∠EDF D．BD＝BF
2．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，若BE＝6，DF＝8，则EF＝________．
第2题图
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，若BD＝4，CE＝3，△ADE的面积为15，则△ABD和△AEC的面积之和为________．
第3题图
4．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为________．
第4题图
5．(2025东营改编)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系：_____________________________.
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式直接写出线段BN，DM，MN的数量关系．
第5题图
微专题10　旋转中的对角互补模型
1．如图，P为∠AOB内一点，PC⊥OA于点C，D为OA上一点，E为OB上一点，且PD＝PE，∠ODP＋∠OEP＝180°.若∠AOB＝50°，则∠AOP的度数为________．
第1题图
　
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＋∠C＝180°，DE⊥BC，垂足为E.若AB＝3，BC＝6，则BE的长为________．
第2题图
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，∠AED和∠AGD互补，若S△ADG＝40，S△AED＝22，则△EDF的面积为________．
第3题图
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，若BC＝5，CD＝1，求AC的长．
第4题图
5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)．将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，DE交边AB于点M，DF交边BC于点N.
(1)求证：DM＝DN.
(2)直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积在旋转过程中是否发生变化？若发生变化，请说明如何变化的；若不发生变化，请求出其面积．
第5题图
第二节　图形的旋转
课时1　图形的旋转（1）
1．C　2.B　3.B　顺时针（或逆时针）　120（或240）
4．（1）∠BAC　∠EAF　45；（2）90°　1；（3）45°　－1
5．C
6．解：（1）BB′⊥C′B′.理由如下：
由旋转的性质，得AB′＝AB，∠AB′C′＝∠B＝45°.
∴∠AB′B＝∠B＝45°.
∴∠BB′C′＝∠AB′C′＋∠AB′B＝45°＋45°＝90°.
∴BB′⊥C′B′.
（2）由（1），得∠AB′B＝45°.∴∠BAB′＝90°.
由旋转的性质，得∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，B′C′＝BC＝2.
∴B′C＝BB′－BC＝4.
在Rt△B′CC′中，CC′＝＝2.
在Rt△CAC′中，AC2＋AC′2＝CC′2，即2AC2＝20.
解得AC＝（负值已舍去）．
∴CC′的长为2，AC的长为.
7．60°或70°或110°或120°
课时2　图形的旋转（2）
1．C　2.D
3．解：（1）如答图1，△EDC即为所求．
（2）如答图1，△GBF即为所求．
答图1
4．解：（1）如答图2，△A′B′C′即为所求．
答图2
（2）A′（－4，0），B′（0，－1），C′（－2，－2）.
5．C
6．解：（1）如答图3，△A′BC′即为所求．
答图3
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，∠CBA＝90°－30°＝60°.
由旋转的性质，得A′B＝AB，∠C′BA′＝∠CBA＝60°.
∴△ABA′是等边三角形．∴AA′＝AB＝2.
7．C
课时3　中心对称
1．C　2.A　3.C　4.9　5.P
6．解：（1）如答图1，△DEF即为所求．
答图1
（2）D（－4，1），E（－1，－1），F（－3，2）.
7．（1）3　0；（2）－7　0
8．（1）解：关于点E成中心对称．
（2）证明：∵点D与点C关于点E成中心对称，∴DE＝CE.
∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（ASA）.∴AD＝FC.
∵AB＝AD＋BC，BF＝FC＋BC，
∴AB＝BF.∴△ABF是等腰三角形．
9．（4 051，－）
微专题8　旋转中的手拉手模型
1．B　2.90°　3.BE＝DG　BE⊥DG
4．解：（1）△CBE　AD　60°.
（2）BD＝CE，BD⊥CE.理由如下：
∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠DAC＝90°，AB＝AE，AC＝AD.
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.
在△EAC和△BAD中，
∴△EAC≌△BAD（SAS）.
∴∠AEC＝∠ABD，BD＝CE.
又∵∠AFE＝∠BFO，∴∠BOF＝∠EAF＝90°.∴BD⊥CE.
（3）如答图1，过点C作CE⊥CD，交AD于点E，连接BE.
答图1
∵∠ADC＝45°，∠DCE＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CD＝CE，∠CED＝45°.
由旋转的性质可知，AC＝CB，∠ACB＝90°.
∴∠DCE＋∠ACE＝∠ACB＋∠ACE，
即∠DCA＝∠ECB.
∴△DCA≌△ECB（SAS）.
∴∠ADC＝∠BEC＝45°，AD＝BE＝6.
∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝90°.
∴△ABD的面积为AD·BE＝×6×6＝18.
微专题9　旋转中的半角模型
1．D　2.14　3.21　4.4
5．解：（1）DM＋BN＝MN.
（2）BN－DM＝MN.理由如下：
如答图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE.
答图1
由旋转的性质，得DM＝BE，AM＝AE，∠DAM＝∠BAE，∠ADM＝∠ABE＝90°.
∴点E在BC上．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°.
∴∠EAM＝∠DAM＋∠EAD＝90°.
∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.
又∵AN＝AN，∴△EAN≌△MAN（SAS）.
∴EN＝MN，即BN－BE＝MN.∴BN－DM＝MN.
（3）DM＋BN＝MN.
微专题10　旋转中的对角互补模型
1．25°　2.4.5　3.9
4．解：如答图1，将△ACD绕点A按逆时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△AEB.
答图1
由旋转的性质，得∠CAE＝90°，BE＝CD＝1，AE＝AC，∠ABE＝∠D.
∵∠DAB＋∠DCB＝180°，
∴∠D＋∠ABC＝180°.
∴∠ABE＋∠ABC＝180°.
∴点C，B，E在同一条直线上．
∴CE＝BC＋BE＝6.
在Rt△ACE中，AC2＋AE2＝CE2，即2AC2＝36.
解得AC＝3（负值已舍去）．
5．（1）证明：如答图2，连接DB.
答图2
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD＝DC，
∴∠A＝∠C＝45°，∠BDC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.
∴DB＝DC.
∵∠MDB＋∠BDN＝∠NDC＋∠BDN＝90°，
∴∠MDB＝∠NDC.
∴△BMD≌△CND（ASA）.
∴DM＝DN.
（2）解：四边形DMBN的面积不发生变化．
由（1）知，△BMD≌△CND，∴S△BMD＝S△CND.
∴S四边形DMBN＝S△DBN＋S△BMD＝S△DBN＋S△CND＝S△DBC＝S△ABC＝××1×1＝.

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