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第三节　分式方程
课时1　分式方程
基础过关
1．下列关于x的方程：①＝5；②＝；③ ＝x－1；④＝.其中分式方程有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，两人每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，根据题意，可列方程为(　　)
A．＝ B．＝
C．＋＝140 D．＝
3．体育锻炼能使青少年增强体质、健全人格、锻炼意志．某校积极开展“阳光体育”活动．在一次体育活动中，小超和小明进行1 000 m男子跑步的测试，已知小超的速度是小明速度的1.25倍，小超比小明早30 s到达终点．
(1)若设小明的速度是x m/s，请写出x所满足的方程；
(2)若设小明到达终点所用时间为y s，请写出y所满足的方程．
4．李老师购买了A，B两种款式的笔记本，用于奖励班级里成绩进步的学生．已知A种笔记本的单价比B种笔记本的单价低20%，李老师购买A种笔记本用了180元，购买B种笔记本用了150元，且购买的A种笔记本的数量比B种笔记本的数量多5本．设李老师购买了A种笔记本x本，那么x满足怎样的分式方程？
能力提升
5．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，它的局部画面装裱前是一个长为2.4 m，宽为1.4 m的长方形，装裱后(四周边衬的宽度相等)，整幅图画宽与长的比是8∶13.设边衬的宽度为x m，根据题意可列方程(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
6．将5 kg浓度为98%的酒精加水稀释成浓度为75%的酒精．设需要加水x kg，根据题意可列方程为(　　)
A．98%×5＝75%x B．＝75%
C．75%×5＝98%x D．＝98%
思维拓展
7．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6 h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运x h 可以完成后一半任务，那么x满足怎样的分式方程？(写出两个即可)
课时2　分式方程的解法
基础过关
1．(2024广东)方程 ＝ 的解为(　　)
A．x＝3 B．x＝－9 C．x＝9 D．x＝－3
2．(2025佛山期末)分式方程 ＝ 的增根是(　　)
A．－1 B．1 C．±1 D．2
3．已知关于x的分式方程 ＝3的解是x＝3，则m的值为________．
4．解下列分式方程：
(1)＝； (2)－1＝.
5．(2025广东)在解分式方程 ＝－2时，小李的解法如下：
第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
能力提升
6．【数形结合】如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是 和 .若点A，B之间的距离为1，则x的值为(　　)
第6题图
A．－5 B．－1 C．2.5 D．5
7．【开放性】若关于x的分式方程 ＝ 的解为非正数，请任意写出一个符合条件的a的值：________．
思维拓展
8．已知关于x的方程 －＝.
(1)若m＝－3，则分式方程的解是________；
(2)若原分式方程无解，求m的值．
课时3　分式方程的应用(1)——工程问题
基础过关
1．(2025深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为x，则下列方程正确的是(　　)
A．－＝3 B．－＝3
C．＝2× D．＝2×
2．某景区用机器狗A和B搬运货物，已知机器狗A比机器狗B每小时多搬运30千克货物，机器狗A搬运900千克货物所用的时间与机器狗B搬运600千克货物所用的时间相等．小云根据这一情境中的数量关系列出方程 ＝，则未知数x表示的意义为__________________________________．
3．某工程队修建一条长1 800 m的道路，按原计划完成总任务的 后，为了让道路尽快投入使用，该工程队将工作效率提高了50%，一共用了10 h完成任务．求该工程队原计划每小时修建道路多少米．
能力提升
4．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，适当跳绳有助于身体长高．
(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人才能使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
(2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的 倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中耽搁了5秒，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
思维拓展
5．(新RJ八上P167)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
课时4　分式方程的应用(2)——行程问题
基础过关
1．已知甲车行驶30 km与乙车行驶40 km所用的时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12 km，若设甲车的行驶速度为x km/h，则依题意可列方程为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．A，B两地相距48 km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4 km/h，则该轮船在静水中的速度是多少？
3．在一次10 km的跑步锻炼中，小致先匀速跑了4 km，之后提速20%并匀速跑完剩余路程，一共用了0.9 h跑完全程，求小致前4 km跑步的速度．
能力提升
4．有两张不同类型列车的车票(“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁)如图所示．
第4题图
已知A，B两地之间的距离为600 km，高铁的平均速度是动车平均速度的1.5倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，分别求动车和高铁的平均速度．
思维拓展
5．甲、乙两人相约从大桥出发沿相同路线去30 km外的目的地，已知正常情况下甲与乙的骑行速度比为3∶2(假设骑行过程为匀速运动).甲在出发后第1 h内按正常速度骑行，由于身体不适，1 h后将速度降低到与乙一致，结果比原计划延迟20 min到达目的地，求甲前1 h的骑行速度．
课时5　分式方程的应用(3)——销售问题
基础过关
1．为了丰富学生的校园生活，某校准备购买一批陶笛．已知A型陶笛的单价比B型陶笛的单价低20元，用2 700元购买A型陶笛的数量与用4 500元购买B型陶笛的数量相同．设A型陶笛的单价为x元，则根据题意可列方程为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．已知某款电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．当充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
能力提升
3．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3 600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，于是购买了第二批，结果正赶上图书城八折销售该套书，最后用2 400元购买的套数只比第一批少4套．
(1)求第一批购买的“四大名著”每套的价格；
(2)该校共购买“四大名著”________套．
思维拓展
4．4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，有A，B两种书架可供选择，相关信息如下：
信息1：A种书架的单价比B种书架的单价高20%； 信息2：用18 000元购买A种书架的数量比用9 000元购买B种书架的数量多6个； 信息3：购进A种书架的数量不少于B种书架数量的 .
(1)求A，B两种书架的单价；
(2)设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a之间的函数关系式，并写出费用最少时的购买方案．
微专题13　分式方程的含参问题
基础过关
1．若关于x的分式方程 ＝5有增根，则m的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若关于x的分式方程 ＝ 无解，则m的值为(　　)
A．3 B．2
C．－3或－2 D．－2
3．已知关于x的分式方程 －＝1的解与方程 ＝3的解相同，则a的值为________．
4．若关于x的分式方程 ＋＝ 的根比分式方程 ＝ 的根大2，求实数a的值．
能力提升
5．嘉淇在解分式方程：＝2－时，发现数字“◆”模糊不清．
(1)他把“◆”猜成5，请你解方程：＝2－.
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”求原题中的数字“◆”．
思维拓展
6．已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若分式方程无解，求m的值；
(2)若分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
第三节　分式方程
课时1　分式方程
1．A　2.A
3．解：（1）由题意，得－＝30.
（2）由题意，得1.25×＝.
4．解：由题意，得 ＝（1－20%）×.
5．D　6.B
7．解：由题意，得×1＝ 或 ×7＋＝1.
课时2　分式方程的解法
1．C　2.B　3.－3
4．解：（1）方程两边都乘x（x＋1），得6x＝x＋5.
解这个方程，得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的根．
（2）方程两边都乘（x－2）2，得x（x－2）－（x－2）2＝4.
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的根．
5．解：第一步是去分母，依据是等式的基本性质．小李的解答过程不正确．
我的解答过程：
·（x－2）＝－·（x－2）－2（x－2），
1－x＝－1－2x＋4，
x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0.
∴x＝2不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解
6．A　7.－2
8．解：（1）x＝.
（2）方程两边都乘（x－3）（x＋3），
得m（x－3）＋（x＋3）＝m＋4.
整理，得（m＋1）x＝4m＋1.
∵原分式方程无解，
∴①当m＋1＝0，即m＝－1时，方程无解；
②当（x－3）（x＋3）＝0时，x＝±3.
把x＝3和x＝－3分别代入（m＋1）x＝4m＋1，
得m＝2或m＝－.
综上，m的值为－1或2或－.
课时3　分式方程的应用（1）——工程问题
1．A　2.机器狗B每小时搬运货物的质量
3．解：设该工程队原计划每小时修建道路x m.
由题意，得 ＋＝10.
解得x＝140.
经检验，x＝140是所列方程的根，且符合题意．
答：该工程队原计划每小时修建道路140 m．
4．解：（1）设安排x名工人生产手柄，则安排（18－x）名工人生产绳子．
由题意，得400x＝2×1000（18－x）.
解得x＝15.∴18－x＝3.
答：应安排15名工人生产手柄，3名工人生产绳子，才能使得每天生产的手柄和绳子恰好配套．
（2）设乙平均每秒跳绳y个，则甲平均每秒跳绳 y个．
由题意，得 －＝15－5.解得y＝2.
经检验，y＝2是所列方程的根，且符合题意．
∴y＝×2＝3.
答：甲平均每秒跳绳3个．
5．解：设乙队单独施工一个月能完成总工程的 .
由题意，得 ＋＝1.解得x＝1.
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
∵＜1，∴乙队的施工速度快．
课时4　分式方程的应用（2）——行程问题
1．A
2．解：设该轮船在静水中的速度是x km/h.
根据题意，得 ×2＝.解得x＝12.
经检验，x＝12是所列方程的根，且符合题意．
答：该轮船在静水中的速度是12 km/h.
3．解：设小致前4 km跑步的速度是x km/h.
根据题意，得 ＋＝0.9.解得x＝10.
经检验，x＝10是所列方程的根，且符合题意．
答：小致前4 km跑步的速度是10 km/h.
4．解：设动车的平均速度是x km/h，则高铁的平均速度是1.5x km/h.
根据题意，得 －1＝.解得x＝200.
经检验，x＝200是所列方程的根，且符合题意．
∴1.5x＝1.5×200＝300.
答：动车的平均速度是200 km/h，高铁的平均速度是300 km/h.
5．解：设甲前1 h的骑行速度是3x km/h，则甲1 h后的骑行速度是2x km/h.
根据题意，得1＋－＝.解得x＝6.
经检验，x＝6是所列方程的根，且符合题意．
∴3x＝18.
答：甲前1 h的骑行速度是18 km/h.
课时5　分式方程的应用（3）——销售问题
1．D
2．解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x＋0.6）元．
根据题意，得 ＝×4.解得x＝0.2.
经检验，x＝0.2是所列方程的根，且符合题意．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元．
3．解：（1）设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元．
根据题意，得 －＝4.解得x＝150.
经检验，x＝150是所列方程的根，且符合题意．
答：第一批购买的“四大名著”每套的价格是150元．
（2）44.
4．解：（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（1＋20%）x元．
根据题意，得 －＝6.解得x＝1 000.
经检验，x＝1 000是所列方程的根，且符合题意．
（1＋20%）x＝1 200.
答：A种书架的单价为1 200元，B种书架的单价为1 000元．
（2）∵购买a个A种书架，
∴购买（20－a）个B种书架．
根据题意，得a≥（20－a）.解得a≥8.
w＝1 200a＋1 000（20－a）＝200a＋20 000.
∵200＞0，a≥8，
∴当a＝8时，w最小，此时20－a＝12.
∴购买A种书架8个，B种书架12个时，费用最少．
微专题13　分式方程的含参问题
1．B　2.C　3.－3
4．解：分式方程＋＝的两边都乘（x＋1）（x－2），得a（x－2）＋x＝x＋1.
整理，得ax＝2a＋1.解得x＝2＋，a≠0.
解分式方程＝，得x＝3.
根据题意，得2＋－3＝2.解得a＝.
5．解：（1）方程的两边都乘x－3，得x＝2（x－3）＋5.
解这个方程，得x＝1.
经检验，x＝1是原方程方程的根．
（2）设原题中的数字“◆”是a，
则方程可化为 ＝2＋.
方程两边都乘x－3，得x＝2（x－3）＋a.
整理，得x＝6－a.
由分式方程无解，得6－a＝3.解得a＝3.
∴原题中的数字“◆”是3.
6．解：（1）方程的两边都乘（x＋1）（x－1），
得3（x－1）＋6（x＋1）＝mx，即（9－m）x＝－3.
①当9－m＝0时，整式方程无解，此时m＝9.
②当9－m≠0时，要使原方程无解，则（x＋1）·（x－1）＝0，即x＝－1或x＝1.
∴－（9－m）＝－3或9－m＝－3.∴m＝6或m＝12.
综上，m的值为9或6或12.
（2）由（1），得分式方程的解为x＝，
其中m≠9且m≠6且m≠12.
由题意，得 ≥0.∴9－m<0.解得m>9.
∴m的取值范围为m>9且m≠12.

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