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第一节　平行四边形的性质及判定
课时1　平行四边形的性质(1)——边、角
基础过关
1．如图，在 ABCD中，下列关系不一定正确的是(　　)
第1题图
A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠A＝∠C D．∠A＋∠B＝180°
2．小斌用四根木棒恰好能钉成一个平行四边形木框(接头忽略不计)，若木棒的长度分别为6 cm，a cm，9 cm，9 cm，则a的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．9
3．如图，在 ABCD中，∠ADC＝125°，∠ACB＝21°，则∠BAC的度数为(　　)
第3题图
A．21° B．24° C．34° D．42°
4．如图， ABCD的对角线交点是平面直角坐标系的原点，若顶点C的坐标是(5，3)，则顶点A的坐标是________．
第4题图
5．如图，在 ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.求证：BE＝DF.
第5题图
能力提升
6．如图， ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F.若AD＝3，AB＝5，则CF的长为(　　)
第6题图
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．
第7题图
思维拓展
8．【最值问题】如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为________．
第8题图
课时2　平行四边形的性质(2)——对角线
基础过关
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是(　　)
第1题图
A．AD＝BC B．OA＝OC
C．∠ABC＝∠ADC D．OA＝OD
2．如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O.若AC＝8，BD＝6，则边AB的长的取值范围是________．
第2题图
3．(2025揭阳期末)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36.若△AOB的周长是29，则AB的长是________．
第3题图
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6 cm，则梯形ABCD的周长为________cm.
第4题图
5．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OD和OB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
第5题图
能力提升
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，线段EF经过点O，且分别与边AD，BC交于点E，F.
第6题图
(1)若AB＝3，AD＝4，OF＝1.3，则四边形ABFE的周长为________；
(2)若 ABCD的面积为24，则△AOE和△BOF的面积之和为________．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF.
(1)求证：BE＝DF；
(2)若BD＝2AB，且AB＝8，CF＝5，求DF的长．
第7题图
思维拓展
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为边AB上一动点，以PA，PC为一组邻边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(　　)
第8题图
A．6 B．8 C．2 D．4
课时3　平行四边形的判定(1)——边
基础过关
1．根据图中所标数据，不能说明四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝100°，____________，在横线上添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形，该条件可以是(　　)
第2题图
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．AD＝BC D．AD∥BC
3．【尺规作图】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形，其依据是________________________________________________________________________．
第3题图
4．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
第4题图
能力提升
5．如图，将△ABC向右平移得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有________个平行四边形．
第5题图
6．如图，在 ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
第6题图
思维拓展
7．(2025揭阳期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为________．
第7题图
课时4　平行四边形的判定(2)——对角线
基础过关
1．(2025河源期末)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
第1题图
A．AB＝CD B．AB∥CD
C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝8 cm，BD＝10 cm，那么当AO＝______cm，DO＝______cm时，四边形ABCD是平行四边形．
第2题图
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，O为AC的中点，点E，F在直线AC上，且AE＝CF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
第3题图
能力提升
4．【开放性】在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在对角线AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，小智、小慧两个同学给出了如下两种不同的方案：
小智：分别取AO，CO的中点E，F 小慧：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
(1)请你在两个方案中任选一个证明四边形BEDF为平行四边形；
(2)请你给出一种和他们不同的方案，并在下图中标记字母(不必证明)．
第4题图
思维拓展
5．【材料阅读】在平面直角坐标系中，以任意点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为.
【知识运用】已知 OEFG的对角线相交于点H，O为坐标原点，点F的坐标为(4，3)，则点H的坐标为________．
【能力拓展】在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标为________．
课时5　平行线之间的距离
基础过关
1．如图，已知直线m∥n，下列可以表示直线m与n之间的距离的是(　　)
第1题图
A．线段AC的长 B．线段AE的长
C．线段AB的长 D．线段CF的长
2．如图，点P在 ABCD的边AB上，连接CP，DP，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则S1，S2，S3之间的数量关系为(　　)
第2题图
A．S3＝S1＋S2 B．S3>S1＋S2
C．S33．(新BS八下P159)如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．
第3题图
能力提升
4．【易错题】已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2之间的距离是2 cm，直线l2与l3之间的距离是5 cm，那么直线l1与l3之间的距离是________．
5．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则AD与BC之间的距离为________．
第5题图
6．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE∥BD，∠AED＝∠AOD，连接OE.
求证：(1)AE＝OB；
(2)四边形CDEO是平行四边形．
第6题图
思维拓展
7．【跨学科】语文中汉语拼音书写的四线三格由等距离、等长度的四条平行横线组成．如图，有四条相互平行的直线，且相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为________．
第7题图
第一节　平行四边形的性质及判定
课时1　平行四边形的性质（1）——边、角
1．B　2.B　3.C　4.（－5，－3）
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.∴BE＝DF.
6．A
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BF.∴∠D＝∠ECF.
∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（ASA）.
（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
∴BC＝FC.∴FB＝FC＋BC＝2BC.
又∵AB＝2BC，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.
∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
8.
课时2　平行四边形的性质（2）——对角线
1．D　2.15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB.
∵DE＝BF，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（SAS）.∴AE＝CF.
6．（1）9.6；（2）6
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵E，F分别为OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC.∴OE＝OF.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（SAS）.∴BE＝DF.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BD＝2OD.
又∵BD＝2AB，∴BD＝2OD＝2CD.∴OD＝CD.
又∵F为OC的中点，∴DF⊥OC.∴∠DFC＝90°.
在Rt△CDF中，CD＝8，CF＝5，
∴DF＝＝＝.
8．D
课时3　平行四边形的判定（1）——边
1．D　2.D　3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（SAS）.
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．3
6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠DAB＝∠BCD.
∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴DE＝BF＝AE＝CF，∠DAB－∠DAE＝∠BCD－∠BCF，即∠BAE＝∠DCF.
在△BAE和△DCF中，
∴△BAE≌△DCF（SAS）.∴BE＝DF.
又∵DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
7.或
课时4　平行四边形的判定（2）——对角线
1．A　2.4　5
3．证明：∵O为AC的中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF.
∵BE∥DF，∴∠E＝∠F.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA）.∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
4．（1）证明：若选择小智的方案：
如答图1，连接BD.
答图1
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵E，F分别为AO，CO的中点，
∴EO＝AO，FO＝CO.∴EO＝FO.
∴四边形BEDF为平行四边形．
（若选择小慧的方案，可通过证△ABE≌△CDF，得到BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形BEDF为平行四边形．）
（2）解：如答图2，在对角线AC上取点E，F，且AE＝CF（答案不唯一）．
答图2
5.　（5，3）或（－3，5）或（1，－1）
课时5　平行线之间的距离
1．C　2.A
3．解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝35°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC.
∴∠AEB＝∠EBF＝35°.
∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠AEB＝35°.
∴∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝35°.
4．3 cm或7 cm　5.4
6．证明：（1）∵AE∥BD，∴∠AED＋∠EDO＝180°.
∵∠AED＝∠AOD，
∴∠AOD＋∠EDO＝180°.∴AO∥DE.
∴四边形ODEA是平行四边形．∴AE＝OD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.∴AE＝OB.
（2）∵AE＝OB，且AE∥OB，∴四边形ABOE是平行四边形．
∴AB＝OE，AB∥OE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴OE＝CD，OE∥CD.∴四边形CDEO是平行四边形．
7．5

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