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第三节　多边形的内角和与外角和
课时1　多边形的内角和
基础过关
1．下列多边形中，内角和最小的是(　　)
2．【跨学科】(2025梅州期末)图1是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成如图2所示的多边形，该多边形的内角和是(　　)
第2题图
A．360° B．450° C．540° D．720°
3．若一个八边形的每个内角都是x°，则x的值为(　　)
A．90 B．120 C．135 D．150
4．一个多边形的内角和为720°，则从这个多边形的一个顶点出发共有________条对角线．
5．一个正多边形的每个内角都等于160°，这个正多边形的边数为________．
6．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD.根据图中数据，∠E的度数为________．
第6题图
能力提升
7．一个多边形的内角和不可能是(　　)
A．1 800° B．540°
C．720° D．810°
8．(2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝(　　)
第8题图
A．140° B．150° C．160° D．170°
9．如图，五边形ABCDE的内角都相等，AM⊥CD，垂足为M，连接BM.若∠ABM＝2∠AMB，求∠CBM的度数．
第9题图
思维拓展
10．作图：请你用一条直线去截如图所示的多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．(画出图形，把截去的部分打上阴影)
(1)在图1中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°.
(2)在图2中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
(3)在图3中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
第10题图
应用：(4)将某多边形只截去一个角，截后形成的新多边形的内角和为1 800°，则原多边形的边数是________．
课时2　多边形的外角和
基础过关
1．下列多边形中，内角和等于外角和的是(　　)
　　　 　　　 　　　　
2．正六边形的每一个外角都等于(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．135°
3．若一个多边形的每个外角都等于18°，则这个多边形是(　　)
A．正十边形
B．正十五边形
C．正十八边形
D．正二十边形
4．已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多60°，求这个正多边形的边数．
5．已知一个正多边形的内角和比外角和多720°，求这个正多边形的边数及每个内角的度数．
能力提升
6．将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数为________．
第6题图
　　　
7．如图所示的五边形是用五个全等的等腰三角形拼成的(三角形间不重叠，无缝隙)，则∠BAC的度数为________．
第7题图
思维拓展
8．小亮学习了“多边形的内角和与外角和”后，有一个疑问：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
第8题图
【回顾】(1)如图1，请直接写出∠BCD与∠A，∠B之间的数量关系：_______________________________.
【探究】(2)如图2，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE＝∠A＋∠B＋∠C－180°.
【结论】(3)若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是____________．
微专题14　平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(3，2)，B(0，0)，C(4，0)，若存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为(　　)
　　　
第1题图
A．(1，－2)
B．(3，－2)
C．(－1，2)
D．(7，2)
2．在平面直角坐标系内，已知A(3，6)，B(1，1)，点C在y轴上，点D在第一、三象限的角平分线上．若四边形ACBD为平行四边形，则点D的坐标为________．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，20)，C(26，0)，D(24，20)，动点P从点A开始沿AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿CO以每秒3个单位长度的速度向点O运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？请写出P，Q的坐标．
第3题图
4．如图， ABCD的顶点B，C都在x轴上，点A在y轴上，且OA＝4，OB＝3，AD＝6，E是线段OD的中点．
(1)求点C，D的坐标．
(2)平面内是否存在一点N，使以A，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第4题图
微专题15　平行四边形中的折叠问题
1．如图，将 ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C′处，∠1＝58°，∠2＝42°，则∠C的度数为(　　)
　　
第1题图
A．100° B．109° C．126.5° D．130°
2．如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝4，则 ABCD的周长为(　　)
第2题图
A．18 B．20 C．22 D．24
3．在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为________．
第3题图
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，D是BC边上一点，将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE.若四边形ABED为平行四边形，则AE的长为________．
第4题图
5．【问题背景】如图，在 ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，连接DE.
第5题图
【问题探究】
(1)如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
(2)如图2，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，当点B′落在DE上时，求B′D的长．
第三节　多边形的内角和与外角和
课时1　多边形的内角和
1．A　2.D　3.C　4.3　5.18　6.80°　7.D　8.B
9．解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠C＝∠ABC＝180°×（5－2）÷5＝108°.
∵AM⊥CD，∴∠AMC＝90°.
设∠AMB＝x°，则∠ABM＝2x°.
∴∠BMC＝（90－x）°.
∴∠CBM＝180°－108°－（90－x）°＝（x－18）°.
又∵∠ABC＝∠ABM＋∠CBM＝108°，
∴2x＋x－18＝108.解得x＝42.
∴∠CBM＝（x－18）°＝24°.
10．解：根据题意作图如答图1所示．（答案不唯一）
答图1
（4）11或12或13.
课时2　多边形的外角和
1．B　2.B　3.D
4．解：设这个正多边形的一个内角的度数为x°，则这个正多边形的一个外角的度数为（x－60）°.
由题意，得x＋x－60＝180.解得x＝120.
∴（x－60）°＝120°－60°＝60°.
∴这个正多边形的边数为360°÷60°＝6.
5．解：设这个正多边形的边数为n.
由题意，得（n－2）·180°＝720°＋360°.解得n＝8.
（720°＋360°）÷8＝135°.
∴这个正多边形的边数为8，每个内角的度数为135°.
6．18°　7.36°
8．（1）解：∠BCD＝∠A＋∠B.
（2）证明：∵四边形的内角和为360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
∵∠ADC＝180°－∠ADE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋180°－∠ADE＝360°.
∴∠ADE＝∠A＋∠B＋∠C－180°.
（3）解：x＝y－180n＋540.
微专题14　平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题
1．B　2.（4，4）
3．解：根据题意，得AP＝t，CQ＝3t，0≤t≤.
∵A（0，20），D（24，20），O（0，0），C（26，0），
∴AD∥OC，AD＝24，OC＝26.
∴PD＝AD－AP＝24－t.
当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形．
∴24－t＝3t.解得t＝6.
∴当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形，
此时AP＝6，OQ＝26－3t＝8.
∴点P的坐标为（6，20），点Q的坐标为（8，0）.
4．解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC.
∵点B，C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，
∴AD∥x轴，A（0，4）.∴D（6，4）.
∵OB＝3，∴OC＝BC－OB＝3.∴C（3，0）.
（2）存在一点N，使以A，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
∵D（6，4），E为线段OD的中点，∴E（3，2）.
设点N的坐标为（x，y）.
如答图1，分三种情况讨论：
答图1
①当AE，DN为对角线时，记为点N，则
＝，＝.
解得x＝－3，y＝2.∴N（－3，2）.
②当DE，AN为对角线时，记为点N′，则
＝，＝.
解得x＝9，y＝2.∴N′（9，2）.
③当AD，EN为对角线时，记为点N′′，则
＝，＝4.
解得x＝3，y＝6.∴N′′（3，6）.
综上所述，点N的坐标为（－3，2）或（9，2）或（3，6）.
微专题15　平行四边形中的折叠问题
1．B　2.D　3.15.5　4.
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠ADC.∴AB′∥BE.
由折叠的性质，得∠B＝∠AB′E.∴∠AB′E＝∠ADC.
∴B′E∥DC.∴AB∥B′E.
∴四边形ABEB′是平行四边形．
（2）解：如答图1，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H.
答图1
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.
由折叠的性质，得∠AED＝∠AEB.
∴∠DAE＝∠AED.∴DE＝AD.
∵DC∥AB，∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，
∴∠DCH＝∠B＝60°，DE＝AD＝BC＝9.
∴∠CDH＝90°－∠DCH＝30°.∴CH＝CD＝3.
∴DH2＝DC2－CH2＝62－32＝27.
∴EH＝＝3.
∵DE＝BC，B′E＝BE，∴DB′＝DE－EB′＝BC－BE＝CE.
∵CE＝EH－CH＝3－3，∴B′D＝3－3.

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