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第四章　因式分解
章末复习
基础过关
1．下列几组多项式中，没有公因式的是(　　)
A．3x和xy
B．4(a＋b)和－2(a＋b)
C．a－2b和2a－4b
D．3(a－b)和5(b＋a)
2．(2025清远期末)把多项式a2－4a因式分解的结果是(　　)
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
3．(2025河源期末) 下列各式中，因式分解正确的是(　　)
A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)
B．m2－2m＋1＝(m＋1)2
C．a2－16＝(a＋8)(a－8)
D．x2y－xy2＝xy(x－y)
4．(2025佛山期中)若多项式x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是(　　)
A．3 B．6 C．±3 D．±6
5．因式分解：7x3－21x2＝________．
6．将多项式ax2－16a因式分解的结果是________．
7．(2025佛山期中)若关于x的二次三项式3x2＋mx－n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，则m＋n的值为________．
8．把下列各式因式分解：
(1)25x3－15x2；
(2)4(x－1)＋(3x－5)(x－1)；
(3)b2(a－2)－b(2－a)2.
9．把下列各式因式分解：
(1)a2－9b2；
(2)－3m2n＋6mn－3n；
(3)(x＋1)(x＋2)＋；
(4)x4－16y4.
10．先分解因式，再计算求值：(x2＋y2)2－(2xy)2，其中x＝，y＝－.
能力提升
11．小逸是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，5，x2＋y2，a＋b，x－y，x＋y分别对应强、我、祖、爱、国、有．现将5a(x2－y2)－5b(x2－y2)因式分解，其结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱祖国 B．强国有我
C．我爱国 D．我有祖国
12．计算(－5)2 025＋(－5)2 026的结果是________．
13．(2025深圳期中)已知m－n＝3，则m2－n2－6n的值是________．
14．(新BS八下P121改编)如果ab＝0，那么a＝0或b＝0.利用所学知识可知，方程x2－2x＝0的解为________．
15．【应用意识】(新BS八下P118)今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？(选自《九章算术》)题目大意：如图，有一块圆环形田，内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少？《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理．
第15题图
思维拓展
16．【知识生成】我们知道，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2ab＋b2.
请解答下列问题：
第16题图
(1)请写出由图2可以得到的数学等式：
________________________________________________________________________.
(2)利用(1)中的结论，解决下面的问题：
已知a＋b＋c＝13，ab＋bc＋ac＝46，求a2＋b2＋c2的值．
(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a＋3b)(a＋2b)的长方形，则x＋y＋z＝________．
【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些数学等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，请你根据如图5所示的分割操作，写出一个数学等式：________________________________________________________________________．
【解决问题】(5)利用(4)中的结论分解因式：a3－8＝________________，
a3＋b3＝________________．
第四章　因式分解
第四章　章末复习
1．D　2.A　3.D　4.D　5.7x2（x－3）　6.a（x＋4）（x－4）　7.1
8．解：（1）原式＝5x2（5x－3）.
（2）原式＝（x－1）（4＋3x－5）＝（x－1）（3x－1）.
（3）原式＝b2（a－2）－b（a－2）2＝b（a－2）[b－（a－2）]＝
b（a－2）（b－a＋2）.
9．解：（1）原式＝－（3b）2＝.
（2）原式＝－3n（m2－2m＋1）＝－3n（m－1）2.
（3）原式＝x2＋3x＋2＋＝x2＋3x＋＝.
（4）原式＝（x2）2－（4y2）＝（x2＋4y2）（x2－4y2）＝（x2＋4y2）（x＋2y）（x－2y）.
10．解：原式＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－2xy）
＝（x＋y）2（x－y）2.
当x＝，y＝－ 时，
原式＝×＝02×＝0.
11．B　12.4×52 025　13.9　14.x＝0或x＝2
15．解：圆环形田的面积S＝ ×（92＋122）×5＝535（步2）.
设内圆半径为r，外圆半径为R，则S＝πR2－πr2.
由《九章算术》的算法可知，圆环形田的面积S＝（2πR＋2πr）（R－r）＝π（R＋r）（R－r）＝πR2－πr2.
∴《九章算术》的算法是有道理的．
16．解：（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.
（2）∵a＋b＋c＝13，ab＋bc＋ac＝46，
∴a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－（2ab＋2bc＋2ac）＝132－2×46＝77.
（3）15.
（4）x3－y3＝（x－y）（x2＋xy＋y2）.
（5）（a－2）（a2＋2a＋4）　（a＋b）（a2－ab＋b2）.

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