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第一章　三角形的证明
章末复习
基础过关
1．(2025佛山期中)在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC的长(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
2．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠A＝40°，则∠B的度数为(　　)
第2题图
A．50° B．40°
C．25° D．20°
3．(2025深圳二模)如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是(　　)
第3题图
A．∠BEA B．∠DEB
C．∠ECA D．∠ADO
4．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝90° B．a2＝(b＋c)(b－c)
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．a∶b∶c＝6∶8∶10
5．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E.若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　)
第5题图
A．5 B．8
C．9 D．10
6．(2025揭阳期中)用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设：___________________________________________________________________.
7．(2025佛山期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)求作射线DF，使DF⊥AC，垂足为F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若BE＝CF，求证：△ABC是等腰三角形．
第7题图
8．如图，OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别C，O，连接CD交OE于点F.
(1)求证：OE是CD的垂直平分线；
(2)若∠AOB＝60°，请探究OE与EF之间的数量关系，并证明你的结论．
第8题图
能力提升
9．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，将△AEF沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D处，若ED⊥BC，则∠EFD＝(　　)
第9题图
A．45° B．50° C．40° D．55°
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为(　　)
第10题图
A．18 B．9 C．9 D．6
11．(2025佛山期中)(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC，求证：直线AO垂直平分BC.
以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．
要证直线AO垂直平分BC，只要证点A，O都在BC的垂直平分线上，即只要证________＝________，________＝________．
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE，请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线，并说明理由．
第11题图
思维拓展
12．如图，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块含30°角的直角三角尺PMN(∠M＝90°，∠MPN＝30°)按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动(不与点A，B重合)，三角尺的直角边PM始终经过点C，斜边PN交AC于点D，将PM与CB的夹角记为α(∠PCB＝α).
(1)当∠BPC＝110°时，α＝________°.
(2)在点P滑动的过程中，△PCD可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的度数；若不可以，请说明理由．
第12题图
第一章　章末复习
1．B　2.D　3.B　4.C　5.A
6．这两个角所对的边相等
7．（1）解：如答图1，射线DF即为所求．
答图1
（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
又∵BE＝CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
8．（1）证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴EC＝ED.
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL）.∴OC＝OD.
又∵EC＝ED，
∴点O，E均在线段CD的垂直平分线上．
∴OE是CD的垂直平分线．
（2）解：OE＝4EF.证明如下：
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°.
又∵ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠OED＝90°－∠AOE＝60°.
由（1），得OE⊥CD.∴∠DFE＝90°.
∴∠EDF＝90°－∠OED＝30°.
∴DE＝2EF.∴OE＝2DE＝4EF.
9．A　10.C
11．解：（1）AB　AC　OB　OC.
（2）如答图2，连接CD，BE交于点O，过点A，O作直线，直线AO即为所求．
答图2
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB.
又∵BD＝CE，BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB（SAS）.
∴∠DCB＝∠EBC.
∴OB＝OC.
∴点O在BC边的垂直平分线上．
又∵AB＝AC，∴点A在BC边的垂直平分线．
∴直线AO为BC边的垂直平分线．
12．解：（1）40.
（2）在点P滑动的过程中，△PCD可以是等腰三角形．
由题意，得∠PCD＝120°－α，∠CPD＝30°.
①当PC＝PD时，∠PCD＝∠PDC＝（180°－∠CPD）＝75°.
∴120°－α＝75°.∴α＝45°.
②当PD＝CD时，∠CPD＝∠PCD＝30°.
∴120°－α＝30°.∴α＝90°.
③当PC＝CD时，∠CPD＝∠CDP＝30°.
∴∠PCD＝120°.
此时点P与点B重合，不符合题意，舍去．
综上所述，夹角α的度数为45°或90°.

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