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湖北襄阳市第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷
一、单选题
1．已知直线与平行，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．已知数列中，，，则（ ）
A．1 B． C．－1 D．－2
3．函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．记为等差数列的前项和，若则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
5．学校要求学生从物理、化学、生物、历史、地理、政治这6科中选3科组合学习，要求物理历史两科中必须选且只能选择其中一科，则选科方式共有（ ）种．
A．24 B．20 C．12 D．6
6．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则OA⊥OB D．若，则OAB面积最小值为
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若方程有两个不相等的实数根，则
C．存在，使
D．若不等式恒成立，则
三、填空题
12．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
13．若在上不单调，则实数的取值范围是_________________．
14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率______.
四、解答题
15．已知函数，在处的切线与直线垂直．
(1)求的值；
(2)求函数的最大值．
16．如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1
(1)证明：MP⊥BH；
(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
17．已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式.
(2)设，记数列的前项和为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求面积的最大值；
(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．函数，，为自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明函数存在唯一的极值点；
(3)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
2．D
3．D
4．A
5．C
6．A
7．C
8．C
9．ACD
10．ACD
11．ABD
12．64
13．
14．
15．（1）， 直线的斜率为，
依题意，
所以 ；
（2）定义域为，
由得到：
当变化时，和的变化情况如下表:
+ 0 -
单调递增 单调递减
所以在时取得最大值，
即最大值为
16．（1）证明：因为在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1，
连接，所以，
所以四边形为菱形，故，
由长方体得，由，知,
由，得，
由，得.
（2）存在点满足条件，. 证明如下：
假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离，
则,
而，，
所以，
则，
另一方面，
故，
综上所述存在点满足条件，.
17．（1）由可得，
，
所以数列是常数列，又因为，所以，
即的通项公式为；
（2）（ⅰ）由，
则，
两边乘以可得：，
上两式相减得：，
，
即；
（ⅱ）由可得：，
由对任意恒成立，则，
令，则函数在上单调递减，
即当时，，所以，
即的取值范围是.
18．（1）由椭圆的左右顶点可知，
设，则，
化简可得，则，
，
所以，则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，
，将直线和椭圆方程联立，
代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
所以，
令则，所以，
函数在上单调递增，
所以即时，，
此时的面积最大，最大值为；
（3）假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，
所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，
解得，故存在，使得.
19．（1）当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），
当时，令，则，
令，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，，当时，，
画出大致图象如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，
且，
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减；
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（3）由（2）知，此时，
所以，
令，
若存在，使得对任意成立，等价于存在，
使得，即，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，故，
所以实数b的取值范围.

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