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人教版八年级下同步分层训练21.2平行四边形
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、夯实基础
得分
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
2．（2025八下·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·惠城期中）已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·长沙月考）如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB7．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
8． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
9．（2024·遂川模拟）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD．
（2）知识应用
在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC至E，使得CE＝AB，连接 DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，
并加以证明．
阅卷人 二、能力提升
得分
10．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
11．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
14．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
15．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为　 　．
16．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
17．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD 中，BD是对角线，作AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，连结 AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形、
（2）若 BE=CE，AE=8，DE=16，求 CD 的长.
18．
（1）问题探究
如图①，在△ABC中，AF，BE分别是 BC，AC边上的中线，且相交于点 P，记AB=c，BC=a，AC=b.
①求证：AP=2PF，BP=2PE；
②如图②，若AF⊥BE于点 P，试探究a，b，c之间的数量关系；
（2）拓展延伸
如图③，在 ABCD 中，点E，F，G分别是边 AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD =4 ，AB=6，求AF的长.
阅卷人 三、拓展创新
得分
19．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
20．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
21．（2024九上·安州开学考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
22．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，根据中点的定义，点、分别为、的中点，可确定是的中位线，利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质，可得，将代入即可求出的长度。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
B．∵ ，
∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意；
C．由 不能证明四边形是平行四边形，符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
5．【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
6．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图知，AE=BC，BF平分∠EBC，
∴∠EBF=∠CBF，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠EBF=∠F，
∴BE=EF，
∴AD=BC=BE=EF，
∴AD-DE=EF-DE，
∴AE=DF，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】根据 角平分线的作图方法 知AE=BC，∠EBF=∠CBF，根据 平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形性质 易得AD=BC=BE=EF，从而得AE=DF.
7．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB＝CD．
∴∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD．
∴△AOB≌△COD．
∴OA＝OC，OB＝OD
（2）解：如图4，过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH．
图4
易得∠1＝∠BAC＝60°．
∵DB＝AC，AB＝CE，
∴AD＝AE．
∴△AED是等边三角形．
∴∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°．
∴△BDH是等边三角形．
∴BD＝DH＝BH＝AC．
∴四边形ABHC是平行四边形．
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点．
∴点A，P，H共线．
∴AH＝2AP．
在△ADH和△EDB中，AD＝ED，∠EDB＝∠ADH， DB＝DH，
∴△ADH≌△EDB．
∴BE＝AH＝2AP．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，AB＝CD，进而得到∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，证明△AOB≌△COD，根据三角形全等的性质即可求解；
（2）过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH，可得∠1＝∠BAC＝60°，先证明△AED是等边三角形，得到∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°，进而证明△BDH是等边三角形，得到BD＝DH＝BH＝AC．即可证明四边形ABHC是平行四边形，结合点P是BC的中点，得到AH＝2AP，从而证明△ADH≌△EDB，根据三角形全等的性质得到BE=AH，从而求解.
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
11．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
14．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵，
∴，
∵平分且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴，
故答案为：2．
【分析】延长交于点F，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，由角平分线的定义得，由垂直定义得，从而根据“”证明，由全等三角形的对应边相等得，，根据线段和差求得，然后根据三角形中位线定理求得.
16．【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
17．【答案】（1）解：证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD于点 E，CF⊥BD于点 F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴AE∥CF，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形 AECF是平行四边形．
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴BF＝DE，
∴BE＝DF，
∵BE＝EC＝AF，
∴DF＝AF，
设 DF＝AF＝x，则有则有x2=82+（16-x)2
∴x＝10，
∴DF＝10，
∵AE＝CF＝8，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，AD//CB，证明△ADE≌△CBF(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，即可得出结论；
(2)由(1)△ADE≌△CBF可得DF=AF，然后设DF=AF=x，再根据勾股定理即可求出CD的长.
18．【答案】（1）解：①证明：如解图①，取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF.
∵AE=EC，CF=FB，
∴EF=MN，EF∥MN，
∴四边形EFNM 是平行四边形，
∴PF=PM，EP=PN，
∴ PA=2PF，PB=2PE；
②解：结论：
理由：如解图②，连接EF.
∵AF⊥BE 于点 P，
∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°，
（2）解：如解图③，取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P.
图③
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE=BF，且AE∥BF，
∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AP=PF，
∵AM=BM，BF=CF，
∴FM是△ABC的中位线，
∴ FM∥AC.
∵DE=AE，DG=GC，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∴FM∥EG，
∵BE⊥EG，∴FM⊥BP，
结合第(2)问结论可得，
解得AF=8(负值已舍去).
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） ① 取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF，即可得到EFNM 是平行四边形，进而得到PF=PM，EP=PN，解答即可；
②连接EF，根据勾股定理解答即可；
（2）取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P，即可得到ABFE 是平行四边形，然后根据三角形的中位线得到FM∥EG，即可得到FM⊥BP，然后利用②中结论计算解题.
19．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
20．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
21．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
22．【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
1 / 1人教版八年级下同步分层训练21.2平行四边形
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、夯实基础
得分
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　)
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB，
∴ABED是平行四边形，
∴AD=BE=5cm，AB=DE，
∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30，
故答案为：B.
【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可.
2．（2025八下·期中）如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C、D分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，根据中点的定义，点、分别为、的中点，可确定是的中位线，利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质，可得，将代入即可求出的长度。
3．（2025八下·惠城期中）已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意；
B．∵ ，
∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意；
C．由 不能证明四边形是平行四边形，符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·长沙月考）如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB=CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵，
∴
∵
∴
故选：A．
【分析】
先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可．
5．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB【答案】1
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图知，AE=BC，BF平分∠EBC，
∴∠EBF=∠CBF，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠EBF=∠F，
∴BE=EF，
∴AD=BC=BE=EF，
∴AD-DE=EF-DE，
∴AE=DF，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】根据 角平分线的作图方法 知AE=BC，∠EBF=∠CBF，根据 平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形性质 易得AD=BC=BE=EF，从而得AE=DF.
7．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．
【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO=90°，
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠BFC=∠AEB=90°
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可.
（1）证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE＝BF，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF＝12cm，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∴S四边形AFCE＝11×12＝132，
8． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
9．（2024·遂川模拟）课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD．
（2）知识应用
在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC至E，使得CE＝AB，连接 DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，
并加以证明．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB＝CD．
∴∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD．
∴△AOB≌△COD．
∴OA＝OC，OB＝OD
（2）解：如图4，过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH．
图4
易得∠1＝∠BAC＝60°．
∵DB＝AC，AB＝CE，
∴AD＝AE．
∴△AED是等边三角形．
∴∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°．
∴△BDH是等边三角形．
∴BD＝DH＝BH＝AC．
∴四边形ABHC是平行四边形．
∵点P是BC的中点，
∴点P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点．
∴点A，P，H共线．
∴AH＝2AP．
在△ADH和△EDB中，AD＝ED，∠EDB＝∠ADH， DB＝DH，
∴△ADH≌△EDB．
∴BE＝AH＝2AP．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，AB＝CD，进而得到∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，证明△AOB≌△COD，根据三角形全等的性质即可求解；
（2）过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH，可得∠1＝∠BAC＝60°，先证明△AED是等边三角形，得到∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°，进而证明△BDH是等边三角形，得到BD＝DH＝BH＝AC．即可证明四边形ABHC是平行四边形，结合点P是BC的中点，得到AH＝2AP，从而证明△ADH≌△EDB，根据三角形全等的性质得到BE=AH，从而求解.
阅卷人 二、能力提升
得分
10．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
11．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
12．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
13．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
14．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
15．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵，
∴，
∵平分且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴，
故答案为：2．
【分析】延长交于点F，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，由角平分线的定义得，由垂直定义得，从而根据“”证明，由全等三角形的对应边相等得，，根据线段和差求得，然后根据三角形中位线定理求得.
16．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
17．（2025八下·瑞安期中）如图，在□ABCD 中，BD是对角线，作AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，连结 AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形、
（2）若 BE=CE，AE=8，DE=16，求 CD 的长.
【答案】（1）解：证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD于点 E，CF⊥BD于点 F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴AE∥CF，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形 AECF是平行四边形．
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴BF＝DE，
∴BE＝DF，
∵BE＝EC＝AF，
∴DF＝AF，
设 DF＝AF＝x，则有则有x2=82+（16-x)2
∴x＝10，
∴DF＝10，
∵AE＝CF＝8，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，AD//CB，证明△ADE≌△CBF(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，即可得出结论；
(2)由(1)△ADE≌△CBF可得DF=AF，然后设DF=AF=x，再根据勾股定理即可求出CD的长.
18．
（1）问题探究
如图①，在△ABC中，AF，BE分别是 BC，AC边上的中线，且相交于点 P，记AB=c，BC=a，AC=b.
①求证：AP=2PF，BP=2PE；
②如图②，若AF⊥BE于点 P，试探究a，b，c之间的数量关系；
（2）拓展延伸
如图③，在 ABCD 中，点E，F，G分别是边 AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD =4 ，AB=6，求AF的长.
【答案】（1）解：①证明：如解图①，取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF.
∵AE=EC，CF=FB，
∴EF=MN，EF∥MN，
∴四边形EFNM 是平行四边形，
∴PF=PM，EP=PN，
∴ PA=2PF，PB=2PE；
②解：结论：
理由：如解图②，连接EF.
∵AF⊥BE 于点 P，
∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°，
（2）解：如解图③，取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P.
图③
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE=BF，且AE∥BF，
∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AP=PF，
∵AM=BM，BF=CF，
∴FM是△ABC的中位线，
∴ FM∥AC.
∵DE=AE，DG=GC，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∴FM∥EG，
∵BE⊥EG，∴FM⊥BP，
结合第(2)问结论可得，
解得AF=8(负值已舍去).
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） ① 取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF，即可得到EFNM 是平行四边形，进而得到PF=PM，EP=PN，解答即可；
②连接EF，根据勾股定理解答即可；
（2）取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P，即可得到ABFE 是平行四边形，然后根据三角形的中位线得到FM∥EG，即可得到FM⊥BP，然后利用②中结论计算解题.
阅卷人 三、拓展创新
得分
19．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
20．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
21．（2024九上·安州开学考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
点、分别是、的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
，
，
，
点、分别是边、的中点
，
，
∵
，
，
∵G，H分别为CE，CK的中点
故答案为：．
【分析】
先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可.
22．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
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