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相交线与平行线 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列选项中与∠A是内错角的是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．如图，若直线a∥b，那么∠x=（　　）
A．64° B．68° C．69° D．66°
4．两直线被第三直线所截，则（　　）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．以上说法都不对
5．如图所示，a//b，则下列式子中，值为180°的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列是真命题的是（　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．两直角边分别相等的两个直角三角形全等
7．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．下列命题：①已知直线a、b，若a⊥b，，则：②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知直线a，b，如果，，那么，其中正确的命题是（　　）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
9．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图， ，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为　 　度．
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，∠ACB＝75°，∠ECD＝45°，则∠A的度数为　 　．
13．已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则　 　度．
14．如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=65°，∠B=40°，则∠ACE为　 　．
15． 如图，在一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积是　 　m2．
16．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE：∠AOD=3：5，求∠BOF与
∠DOF的度数.
18．如图，点是直线上一点，，，射线平分，求的度数．
19．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 沿着直尺 平移到三角尺的位置， 就可以画出 的平行线． 已知 ， ， 求直线 平移的距离．
20．如图，已知AB∥CD，∠A=∠C，试说明∠E=∠F．
21．如图：AC ∥ED ，∠A=∠EDF，试说明AB ∥FD．
22．如图，∠ABD 和 ∠BDC 的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试说明：
（1）AB//CD；
（2）∠2+∠3=90° .
23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值．
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相交线与平行线 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由对顶角性质得，
，
平分，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由对顶角求得，由角平分线的定义求得，根据平行线的性质即可得到答案．
2．如图，下列选项中与∠A是内错角的是（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【答案】C
【解析】【解答】解：∠1与∠A是同位角，故A不符合；
∠2与∠A不是内错角，故B不符合；
∠3与∠A是内错角，故C符合；
∠4与∠A是同旁内角，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的概念作出判断.
3．如图，若直线a∥b，那么∠x=（　　）
A．64° B．68° C．69° D．66°
【答案】A
【解析】【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°=180°，
∴∠1=50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°=∠1+30°+52°，
∴x=64°．
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得两条平行线a、b之间开口朝左的所有角之和等于开口朝右的所有角的和，据此列方程即可求出x.
4．两直线被第三直线所截，则（　　）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．以上说法都不对
【答案】D
【解析】【解答】解：∵两条被截的直线不平行，
∴截得的同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补.
故答案为：D.
【分析】两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
5．如图所示，a//b，则下列式子中，值为180°的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AG∥b，
∵a∥b，
∴AG∥b∥a，
∴∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，
∴∠1=∠α-∠γ，
∴∠β+∠α-∠γ=180°.
故答案为：A.
【分析】 过点A作AG∥b，利用在同一平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AG∥b∥a，利用平行线的性质可得到∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，可得到∠β+∠α-∠γ的值，即可得到答案.
6．下列是真命题的是（　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．两直角边分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、钝角三角形的两条高在三角形的外部，故错误，是假命题；
B、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故错误，是假命题；
C、三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，故错误，是假命题；
D、两直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，
故选D．
【分析】利用三角形的高的特点、三角形全等的判定、角平分线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
7．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵梯子的各条横档互相平行，∠1=80°，
∴∠3=∠1=80°，
∴∠2=180°﹣∠3=100°．
故选B．
【分析】由梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，继而求得答案．
8．下列命题：①已知直线a、b，若a⊥b，，则：②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知直线a，b，如果，，那么，其中正确的命题是（　　）
A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④
【答案】A
【解析】【解答】①∵直线a、b，若直线ab，bc，则ac．故①不符合题意．
②∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②符合题意．
③∵过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意．
④∵已知直线a、b，如果ab，bc，那么ac，故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
9．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
由折叠性质可得：，
，
由题意得：，
，
，
由折叠性质可得：，
，
，
由题意得：，
，
故答案为：D.
【分析】由邻补角得出，由折叠的性质可得，由邻补角及对顶角相等可推出，由二直线平行，同旁内角互补可求，再由折叠性质可得，由二直线平行，内错角相等得，再由二直线平行，同位角相等可得，最后根据角的构成即可求解．
10．如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．
故答案为：C．
【分析】由图1可得∠1+∠2=180°，图2可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2，图3可得∠1+∠2+3+∠4=540°······，从而得出= 180°×（n-1）.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图， ，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为　 　度．
【答案】
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠CMF=∠1＝57°，
∵MF平分∠CME，
∴∠CME=2∠CMF＝114°，
∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，
故答案为：66.
【分析】根据两直线平行，同位角相等∠CMF=∠1＝57°，利用角平分线的定义可得∠CME=2∠CMF＝114°，由邻补角的定义可得∠EMD=180°-∠CME，从而得出结论.
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，∠ACB＝75°，∠ECD＝45°，则∠A的度数为　 　．
【答案】60°
【解析】【解答】∵∠ACB=75°，∠ ECD=45°
∴ ∠ACE=180°-75°-45°=60°，
又∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据∠ACB=75°，∠ ECD=45°可求得∠ACE的度数，再利用两直线平行，内错角相等的性质即可求解；
13．已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则　 　度．
【答案】120
【解析】【解答】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【分析】过点B作BF∥CD，先利用平行线的性质求出∠FBC=60°，再利用BF//CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，所以∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°。
14．如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=65°，∠B=40°，则∠ACE为　 　．
【答案】105°
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，∠B=40°，∠A=65°，
∴∠DCE=∠B=40°，∠ACD=∠A=65°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=105°．
故答案为：105°．
【分析】由CD∥AB，∠A=65°，∠B=40°，根据两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，即可求得∠ACD与∠DCE的度数，继而求得∠ACE的度数．
15． 如图，在一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积是　 　m2．
【答案】b(a－1)
【解析】【解答】解：∵小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．
∴小路的宽度为1m，
∴草地的长为
∴这块草地的绿地面积是：
故答案为：.
【分析】根据题意可知：小路的宽度为1m，则草地的长为最后根据矩形的面积计算公式计算即可求解.
16．已知，，若的一边EF∥BC，则另一边DE与直线AB相交于点P，且点E不在直线AB上，则的度数为　 　．
【答案】10°或110°或70°或170°
【解析】【解答】解：若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之外时，如图1：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC，
又∠ABC=60°，
∴∠1=60°，
又∠1=∠DEF+∠EPB，∠DEF=50°，
∴∠EPB=10°，
又∠EPB=∠APD，
∴∠APD=10°；
若射线BA、ED交点在两直线EF、BC之间时，如图2：
∵EF∥BC，
∴∠1=∠ABC=60°，
又∠APD=∠DEF+∠1，∠DEF=50°，
∴∠APD=110°；
如图3，设DE交BC于T，
∵EF∥BC，
∴∠PTB=∠FED=50°，
∴∠APD=∠BPT=180°-∠B-∠PTB=180°-60°-50°=70°，
如图4，设AB交EF于点H，
∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ABC=60°，
∵∠AHE=∠APE+∠DEF，∠DEF=50°，
∴∠APE=10°，
∴∠APD=180°-∠APE=170°，
综上所述，∠APD的度数为10°或110°或70°或170°．
故答案为10°或110°或70°或170°
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE：∠AOD=3：5，求∠BOF与
∠DOF的度数.
【答案】解：∵∠AOE：∠AOD=3：5，∠AOD=90°，
∴∠AOB=90°× =54°；∵∠BOF=∠AOF=54°，
∴∠DOF=90°-54°=36°
故答案为：，
【解析】【分析】因为∠AOD为直角，所以根据∠AOE和∠AOD的比例关系可求出∠AOE的度数，再利用对顶角相等可知∠BOF的值，进而求出∠DOF的值.
18．如图，点是直线上一点，，，射线平分，求的度数．
【答案】解：∴点是直线上一点，，，
∴，，
∴；
∵射线平分，
∴；
∴．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BOE的度数，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的运算求出∠DOE的度数即可.
19．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺 沿着直尺 平移到三角尺的位置， 就可以画出 的平行线． 已知 ， ， 求直线 平移的距离．
【答案】解：∵将三角尺ABC沿着直尺PQ平移到三角尺的位置，
∴A'C'＝AC，
∵AC'＝8，A'C＝2，
∴AC'＝AC＋A'C＋A'C'＝2AC＋2＝8，解得AC＝3，
∴AA'＝AC＋A'C＝3＋2＝5（cm），
答：直线AB平移的距离为5cm.
【解析】【分析】根据平移的性质即可得到结论．
20．如图，已知AB∥CD，∠A=∠C，试说明∠E=∠F．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠ABF，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠ABF=∠C，求出∠A=∠ABF，根据平行线的判定得出AE∥CF，根据平行线的性质得出即可．
21．如图：AC ∥ED ，∠A=∠EDF，试说明AB ∥FD．
【答案】解：∵AC ∥ED∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠EDF∴∠BED =∠EDF（等量代换）∴AB ∥FD（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】由AC ∥ED得∠A=∠BED；再根据已知条件∠A=∠EDF，通过等量代换得∠BED =∠EDF，根据平行线的判定得AB ∥FD.
22．如图，∠ABD 和 ∠BDC 的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°，试说明：
（1）AB//CD；
（2）∠2+∠3=90° .
【答案】（1）证明：∵BE、DE分别为∠ABD、∠BDC的角平分线
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABD+∠BDC=180°
∴AB//CD
（2）证明：∵BE为∠ABD的角平分线
∴∠ABF=∠1
∵∠1+∠2=90°
∴∠ABF+∠2=90°
∵AB//CD
∴∠ABF=∠3
∴∠3+∠2=90°
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，再利用已知条件可证得∠ABD+∠BDC=180°，利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）利用角平分线的定义可证得∠ABF=∠1，利用已知可推出∠ABF+∠2=90°，再利用平行线的性质可证得∠ABF=∠3，由此可证得结论.
23．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点F作交于点K，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴
则，
∵，
∴
则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）得，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，
∴，
∵绕点顺时针旋转，速度为每秒，
∴，
①当时，如图所示：
，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置时，
，，
同理得：，
解得：；
②当时，如图所示：
，
∴，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：；
③当时，如图所示：
同理得：，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为，10，，，40．
【解析】【分析】（1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
（2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，根据平行线的性质结合角之间的数量关系计算即可；
（3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析①当时；②当时；③当时，分别列出方程计算即可.
（1）解：过点E作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点F作交于点K，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴
则，
∵，
∴
则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）得，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，
∴，
∵绕点顺时针旋转，速度为每秒，
∴，
当时，如图所示：
，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置时，
，，
同理得：，
解得：；
当时，如图所示：
，
∴，
∴，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：；
当时，如图所示：
同理得：，
解得：；
当旋转到如图所示位置：
同理得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为，10，，，40．
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