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三角形的证明 单元综合模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　）
A．52° B．60° C．68° D．128°
2．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形_____的交点．（　　）
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
3．如图所示，在三角形ABC中， 平分 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A，∠B两内角的平分线的交点处
B．AC，AB两边高线的交点处
C．AC，AB两边中线的交点处
D．AC，AB两边垂直平分线的交点处
5．下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）
①在中，若三边长，则是直角三角形
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形
③三角形的三边长分别为，若，则
④在中，，则是直角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一条橡皮筋分别固定在的端点，从的中点将橡皮筋向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
7．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以 BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）
A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
8．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A、B两海岛望灯塔C，测得，，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
10．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等腰三角形一个内角的度数为70°，则它的其余两个内角的度数分别是　 　．
12．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=105°，∠C'=30°，则∠B的度数为　 　
13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为　 　.
14．如图，△ABC≌△BAE，∠ABE=60°，∠E=80°，则∠ABC=　 　°.
15．如图，是的角平分线，且，，则的度数为　 　．
16．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，且 是 的中点，P是 上的一个动点， 与 的和最小为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠A的度数．
18．如图，在 . 是 的平分线， 是 边上的高， ， ，求 的度数．
19．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，且∠C=∠DBC，∠BDA=72°，求△ABC各内角度数．
20．学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
课题 测量河两岸A、B两点间距离
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米．
请你根据以上方案求出、两点间的距离．
21．如图，在中，点D为的平分线BD上一点，连接AD，过点D作交AB于点E，交AC于点F.
（1）如图1，若于点D，，求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）.
22．如图，在平面直角坐标系中，，三角形，三角形，三角形都是等边三角形；三角形，三角形，三角形，三角形都是等腰直角三角形．
（1）直接写出下列点的坐标：
的坐标为　 　；的坐标为　 　；的坐标为　 　的坐标为　 　
（2）是正整数，用含的式子表示下列坐标：
的横坐标为　 　；的坐标为　 　
23．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为，
（1）求直线的函数表达式．
（2）点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标．
（3）点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标．
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三角形的证明 单元综合模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（　　）
A．52° B．60° C．68° D．128°
【答案】A
【解析】【解答】解：由题可知，在第一个图形中边b，c所夹的角为180°-68°-60°=52°，
又因为两个三角形全等，
所以第二个图形中边b，c所夹的角等于第一个图形中边b，c所夹的角等于∠1 ，即∠1 =52°.
故答案为：A.
【分析】先根据三角形的内角和求第一个图形中边b，c所夹的角，再根据全等三角形的对应角相等即可求∠1.
2．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形_____的交点．（　　）
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
【答案】B
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
3．如图所示，在三角形ABC中， 平分 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=60°，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠A=180°-60°-36°=84°，
∵FG平分∠AFE，
∴∠AFG=∠AEF=42°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠AEF，然后利用三角形内角和定理求∠AFE的度数，最后根据角平分线定义求∠AFG度数即可.
4．如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A，∠B两内角的平分线的交点处
B．AC，AB两边高线的交点处
C．AC，AB两边中线的交点处
D．AC，AB两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故答案为：D.
【分析】抓住已知使超市到三个小区的距离相等，因此利用线段垂直平分线的性质去解答此题。
5．下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）
①在中，若三边长，则是直角三角形
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形
③三角形的三边长分别为，若，则
④在中，，则是直角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①设则
∴
∴是直角三角形，则①正确；
②∵三角形内角和为180°，
∴若三角形中有一个内角等于其他两个内角和，则这个角为90°，
∴该三角形为直角三角形，则②正确；
③∵三角形的三边长分别为，
若，
∴则③错误；
④∵在中，，
∴则是直角三角形，则④正确；
综上所述，正确的有：①②④，共有3个，
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理可判断②④，利用勾股定理的逆定理即可判断①③.
6．如图，一条橡皮筋分别固定在的端点，从的中点将橡皮筋向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】点为的中点，根据题意，，
∴CD⊥AB
，
，
，
，
橡皮筋被拉长了cm.
故答案为：A
【分析】由题意可得CD垂直平分AB，即得AC=AB=4，利用勾股定理求出AD=5，从而求出AD+BD=10，根据AD+BD-AB即可求解.
7．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以 BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（　　）
A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
【答案】A
【解析】【解答】作DE平分∠ADB与AB交于点E，在AD边上取点F，使 ，连接EF
∵AB＝AC，∠A＝20°
∴
∵BD 平分∠ABC
∴
∵DE平分∠ADB与AB交于点E
∴
在△BDE和△FDE中
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在△BCD和△BED中
∴
∴
∴
∴
∴只需知道线段BC和BD的长即可求出AD的长
故答案为：A．
【分析】作DE平分∠ADB与AB交于点E，在AD边上取点F，使 ，连接EF，通过证明 和 、△AEF是等腰三角形，可得 和 ，从而得出我们只需知道线段BC和BD的长即可求出AD的长．
8．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向北航行，10时到达海岛B处，分别从A、B两海岛望灯塔C，测得，，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得海里，
，
，
，
海里，
故答案为：D
【分析】先根据题意得到AB，进而结合三角形的外角和等腰三角形的性质即可求解。
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
【答案】B
【解析】【解答】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE；
∴∠ABE=∠A=30°；
又∵在 中， ∠EBC=30°；
∴CE= BE，
即AE=BE=2CE.
故答案为：B.
【分析】连接BE，根据中垂线的性质可得：BE=AE，∠ABE=∠A=30°，根据直角三角形的性质可得：∠EBC=30°，CE= BE，即AE=BE=2CE.
10．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵为的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，①正确；
②∵为的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
③∵，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．③正确；
④过E作于G点，
∵E是的角平分线上的点，且，
∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴．④正确．
故答案为：D．
【分析】由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，从而由“SAS”判断出△ABD≌△EBC，据此可判断①；由等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，由全等三角形的对应角相等得∠BCE=∠BDA，然后根据邻补角及等量代换可判断②；根据角的构成、三角形外角性质可推出∠DCE=∠DAE，由等角对等边得出AE=CE，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，从而即可判断③；过点E作EG⊥BC于点G，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EF=EG，用“HL”判断出Rt△CEG≌Rt△BEF，由全等三角形的对应边相等得BG=BF，再用“HL”判断Rt△CEG≌Rt△AEF，由全等三角形的对应边相等得AF=CG，最后根据线段和差及可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知等腰三角形一个内角的度数为70°，则它的其余两个内角的度数分别是　 　．
【答案】55°，55°或70°，40°
【解析】【解答】已知等腰三角形的一个内角是70°，
根据等腰三角形的性质，
当70°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180-70）× =55°；
当70°的角为底角时，顶角为180-70×2=40°．
故填55°，55°或70°，40°.
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
12．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=105°，∠C'=30°，则∠B的度数为　 　
【答案】45°
【解析】【解答】解：∵两个三角形关于直线l对称
∴△ABC≌△A'B'C'
∴∠C=∠C'=30°
∴在三角形ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=180°-105°-30°=45°
【分析】根据轴对称的性质，可知两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，在三角形ABC中，根据三角形的内角和求出∠B的度数即可。
13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为　 　.
【答案】7或8或9
【解析】【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n-2） 180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故答案是：7或8或9．
【分析】根据多边形内角和公式先求出多边形的边数，由于一个多边形截去一个角它的边数增加1、减少1或不变，据此解答即可.
14．如图，△ABC≌△BAE，∠ABE=60°，∠E=80°，则∠ABC=　 　°.
【答案】40
【解析】【解答】解：∵∠ABE=60°，∠E=80°，∴∠BAE=40°.
又∵△ABC≌△BAE，∴∠ABC=∠BAE=40°.
故答案为40.
【分析】首先由三角形内角和定理可得∠BAE的度数，然后由全等三角形的性质进行解答.
15．如图，是的角平分线，且，，则的度数为　 　．
【答案】32
【解析】【解答】解：在上截取，则，
∵，
∴，
∴；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：32．
【分析】在上截取，则，结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，由等腰三角形的判定和性质并结合三角形外角性质以及三角形内角和定理即可求解．
16．如图， 是等边三角形， 是 边上的高，且 是 的中点，P是 上的一个动点， 与 的和最小为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BC=AC
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值，
∵E是AC的中点，
∴BE⊥AC
∵ BC·AD= AC·BE
∴BE=AD=
即PC与PE的和最小值是
故答案为： .
【分析】连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出 ，从而得出结论.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠A的度数．
【答案】解：∵DF⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∵∠AFD=152°，
∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=152°﹣90°=62°，
∵∠B=∠C，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣62°﹣62°=56°
【解析】【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC中利用三角形内角和定理可求得∠A．
18．如图，在 . 是 的平分线， 是 边上的高， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
【解析】【分析】根据 是 的平分线， ，得出∠BAE的度数，根据 是 边上的高，求出 ，因为 即可求出 的度数；
19．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，且∠C=∠DBC，∠BDA=72°，求△ABC各内角度数．
【答案】解：∵∠C=∠DBC，∠BDA=∠C+∠DBC=72°，
∴∠C=∠DBC=36°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠DBC=72°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=72°．
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，得到∠BDA=∠C+∠DBC，由∠C=∠DBC，得到∠C=∠DBC，因为BD是∠ABC的角平分线，得到∠ABC=2∠DBC，根据三角形内角和定理求出各个角的度数．
20．学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
课题 测量河两岸A、B两点间距离
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米．
请你根据以上方案求出、两点间的距离．
【答案】解：，
．
，
．
又∵， ，
，
．
，
，即
米，
即、两点间的距离为30米．
【解析】【分析】由三角形内角和定理，得出，再根据，得到，得到，再由 推出，即可求解．
21．如图，在中，点D为的平分线BD上一点，连接AD，过点D作交AB于点E，交AC于点F.
（1）如图1，若于点D，，求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，
又∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，
又∵∠BDA=90°，
∴∠EDA=60°，
∴∠BAD=60°；
（2）如图2，过点A作AG∥BC，
则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，
则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-∠ABC=β-α．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；
（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，据此即可求解．
22．如图，在平面直角坐标系中，，三角形，三角形，三角形都是等边三角形；三角形，三角形，三角形，三角形都是等腰直角三角形．
（1）直接写出下列点的坐标：
的坐标为　 　；的坐标为　 　；的坐标为　 　的坐标为　 　
（2）是正整数，用含的式子表示下列坐标：
的横坐标为　 　；的坐标为　 　
【答案】（1）（19，-1）；（20，0）；（2023，-1）；（2024，0）
（2）n；(4n+3，-1)
【解析】【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，，
，是正整数，
，；
，，，都是等边三角形，高为，
，是自然数；
，，，，都是等腰直角三角形，
，是自然数；
，，
，；
故答案为：①；②；③；④；
（2）由（1）中，为自然数；，是自然数；
当是正整数时，；；
故答案为：①n；②．
【分析】（1）根据题目所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中所得规律，即可得到答案．
23．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为，
（1）求直线的函数表达式．
（2）点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标．
（3）点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标．
【答案】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
∵点C 的坐标为，
∴设直线的函数表达式为，
则，解得：，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
如图：设D的坐标为，则，
则，解得：或4．
∴点D的坐标为或．

（3）解：∵，，
∴，，
如图：过C作且，
∴是等腰三角形，即，
过G作轴，垂足为D，
∴，
∴，
在△OCE和△DGC中
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P；
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P．
综上，点P的坐标为或．
【解析】【分析】
（1）根据直线与坐标轴相交可求得点A、B的坐标，再结合点C的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求出，结合已知求得的面积，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）由题意可得：，如图：过C作且，由同角的余角相等可得∠CGD=∠OCE，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差求出OD的值，可得；用待定系数法求出直线的解析式，再与直线联立解方程组即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线联立解方程组即可确定点P的坐标．
（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
∵点C 的坐标为，
∴设直线的函数表达式为，
则，解得：，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
如图：设D的坐标为，则，
则，解得：或4．
∴点D的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴，，
如图：过C作且，
∴是等腰三角形，即，
过G作轴，垂足为D，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P；
如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点即为所求点P．
综上，点P的坐标为或．
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