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二次根式 单元综合复习提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，与 能合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．计算正确的结果是（　　）
A．7 B．6 C．1 D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8． 下列各式计算结果正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值　 　．
A B
5 C
10 D
12．计算：　 　.
13．若 ，则x的取值范围是　 　．
14．计算： =　 　.
15．若x是实数，且y= + ﹣1，则x+y=　 　．
16． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算下列各小题．
（1）；
（2）；
（3）．
18．已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
20．已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
21．求代数式 的值， 其中 ，下图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　
（2） 求代数式 的值；其中 ．
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则　 　，　 　；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简　 　
23．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
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二次根式 单元综合复习提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，与 能合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解；A、 =2 ，不能与 合并，故A错误；
B、 =3 ，与 能合并，故B正确；
C、 =4 ，不能与 合并，故C错误；
D、 = ，不能与 合并，故D错误．
故选：B．
【分析】先化简各二次根式，然后再观察被开方数是否相同即可．
2．计算正确的结果是（　　）
A．7 B．6 C．1 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
．
故选： B
【分析】
根据平方差公式，即：( a b) ( a+ b) = a2 b2 计算即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项符合题意；
D. ，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据二次根式的性质进行化简与计算即可得出答案
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、=3，故此选项错误；
B、=2，故此选项错误；
C、=，故此选项错误；
D、是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分别分析得出答案．
5．下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、是最简二次根式，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误，
故答案为：C.
【分析】正数的正平方根叫做算术平方根；
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、2 与5 不能合并，所以A选项错误；
B、原式=3+2+2 =5+2 ，所以B选项错误；
C、 与 不能合并，所以C选项错误；
D、原式=3+2﹣2 =5﹣2 ，所以D选项正确．
故选D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据完全平方公式对B、D进行判断．
7．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：依题意得，2x﹣1≥0，
解得x .
故答案为：C.
【分析】二次根式的被开方数是非负数.
8． 下列各式计算结果正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 与无意义，原计算不正确；
B、，原计算不正确；
C、，原计算正确；
D、，原计算不正确.
故答案为：C.
【分析】A、二次根式要求根号下为非负数，选项的计算过程就已经有误；
B、实际上是，因此；
C、应先将3还原成二次根式，再计算；
D、应先计算根式下的式子，再化简.
9．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A.
=2，所以A错误；
B．x2 x3=x5，所以B错误；
C.
+
不是同类二次根式，不能合并；
D．（x2）3=x6，所以D正确．
故选D．
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行运算；根据同类二次根式的定义对C进行判断；根据幂的乘方对D进行运算．
10．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故此项错误；
B、， 故此项正确；
C、， 故此项错误；
D、与不是同类二次根式，不能合并， 故此项错误；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值　 　．
A B
5 C
10 D
【答案】
【解析】【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得
，解得
，解得
，解得
，解得
.
故填：.
【分析】 本题主要考查数的规律探究以及一元一次方程和二次根式乘法的应用.需要根据横向，纵向及对角线方向上实数相乘结果相等的条件，列出方程求解各个未知数，再计算它们的和 .
12．计算：　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据积的乘方逆运算解答即可.
13．若 ，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【解析】【解答】解：∵ ＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】根据非负数的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．
14．计算： =　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
15．若x是实数，且y= + ﹣1，则x+y=　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：由y= + ﹣1，得
x﹣2≥0，2﹣x≥0．解得x=2，
当x=2时，y=﹣1，
x+y=2+（﹣1）=1，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式有意义二次根式的被开方数是非负数，可得x的值，根据有理数的加法，可得答案．
16． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算下列各小题．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除进行计算即可；
（2）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（3）利用完全平方公式将原式展开，再合并即可.
18．已知，，求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【解析】【分析】
（1）由已知条件，先求出a+b的值，然后根据完全平方公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解；
（2）由已知条件，先求出a+b、a-b的值，然后根据平方差公式将所求代数式分解因式，再整体代换即可求解．
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
【答案】（1）解：∵m是 的小数部分，.
原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先估算得到，然后代入计算即可；
（2）先化简二次根式，然后代入计算即可.
20．已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ；
（2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可．
21．求代数式 的值， 其中 ，下图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　
（2） 求代数式 的值；其中 ．
【答案】（1）小亮；
（2）解：
【解析】【解答】（1）通过观察发现小亮的解法错误，错误的原因是在没有正确的使用二次根式的性质；
故答案为：小亮；；
【分析】（1）根据二次格式的性质“”即可判断得出答案；
（2）根据完全平方公式将被开方数分解因式，再根据二次根式性质化简，进而合并同类项得出最简结果，最后将a的值代入计算即可.
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则　 　，　 　；
（2）已知x是4-的算数平方根，求+2x-2024的值；
（3）当1x2时，化简　 　
【答案】（1）2；1
（2）解：x是4-的算数平方根，
x===-1
原式=-2025=-2022
（3）2
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴，，
故答案为：2，1；
(3)∵，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】(1)将化成完全平方公式，求出a，b的值即可.
(2)将化成完全平分公式求出x，再进行计算即可.
(3)先化简，，再代入计算求值即可．
23．【定义新运算】
对于正实数a、b，定义运算“⊙”，满足．例如： ．
（1）计算： ， （a为正实数）；
【应用新运算】
（2）对于正实数a、b，若满足，，求a、b的值．
【拓展应用】
（3）如图，记的三边长分别为a、b、c，，，，．若，，求．
【答案】（1），；
（2）解：∵，，
∴
解得
（3）解：，，
，
，，
，
为直角三角形
，
，，
为直角三角形
，
，即
，
，
∴．
【解析】【解答】解：（1），；
故答案为：（1），；
【分析】（1）依据新定义的计算方法分别列式计算即可；
（2）根据新定义的计算方法，先分别列出化简得到3a-2b=8、2a+b=10，此时列式关于a和b的方程组，求解即可；
（3）利用“两直线平行、内错角相等”得出，结合条件推出；此时利用SAS证明，从而推出为直角三角形，继而得出为直角三角形；利用三角形的面积公式求出，勾股定理列式并化简求出ab=6，最后再根据新运算的法则进行计算即可．
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