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分式与分式方程
知识点1　分式的有关概念
1．下列各式中不是分式的是(　　)
A． B． C． D．
2．若分式 有意义，则x的取值范围是________．
3．若分式 的值为0，则x＝________．
知识点2　分式的基本性质
4．下列式子从左到右的变形不正确的是(　　)
A．＝ B．＝－ C．＝ D．＝
5．约分：＝__________，＝__________．
6．将分式 与 进行通分，最简公分母为________．
知识点3　分式的运算
7．计算：(1)·＝________；
(2)÷＝________；
(3)＝________；
(4)－＝________；
(5)＋＝________．
8．计算：
(1)·；
(2)＋·；
(3)÷.
9．先化简，再求值：÷，其中a＝－2.
知识点4　解分式方程
10．解分式方程＋＝4时，去分母后得(　　)
A．3－x＝4(x－2) B．3＋x＝4(x－2) C．3－x＝4(2－x) D．3－x＝4
11．解方程：
(1)＝；
(2)－＝1；
(3)－＝.
知识点5　分式方程的应用
12．【数学文化】《九章算术》的“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420 km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10 km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出方程________________________．
13．某校八年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12 km，1号车出发3 min后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．
14．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1 440元，购买乙种滑动变阻器用了2 430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器的单价比甲种的单价贵6元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5 000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
基础题
1．下列各式：，，，，，其中分式共有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列选项是最简分式的是(　　)
A． B． C． D．
3．不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得结果是(　　)
A． B． C． D．
4．(2025梅州期末)将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x，y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值(　　)
A．不改变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
5．若＝0，则x＝________．
6．(2025北京)方程＋＝0的解为________．
7．【跨学科】当两个电阻R1，R2并联时，总电阻R满足＝＋，已知R和R2，则R1＝________．(用含R，R2的式子表示R1)
8．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为________元．
9．化简：÷.
10．解方程：＋＝1.
提升题
11．设p＝－，q＝－，则p，q的关系一定是(　　)
A．p＝q B．p＞q C．p＋q＝0 D．p＜q
12．(2025梅州期末)若关于x的分式方程＝－3有增根，则m的值是(　　)
A．3 B．1 C．－3 D．－1
13．先化简，再求值：·，其中a2＋1＝3a.
14．已知关于x的方程＋＝.
(1)若该方程无解，求m的值；
(2)若该方程的解为负数，求m的取值范围．
15．(2025深圳二模)为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将八年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200千米轨迹．
【信息收集】
信息一：
路段 路程(千米) 计划平均速度(千米/时)
第11组 鲲鹏径11段(梧桐山北大门至大梧桐顶) 12.5 a＋1.3
第19组 鲲鹏径19段(西涌至东涌) 6 a
信息二：第11组和第19组计划用时相等．
【问题解决】
(1)求a的值和计划用时．
(2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？
期末复习精练（五）—— 分式与分式方程
1．C　2.x≠　3.2　4.D　5.4x　　6.（a＋1）（a－1）2
7．（1）；（2）；（3）；（4）1；（5）　
8．解：（1）原式＝·＝.
（2）原式＝＋·＝＋＝＝1.
（3）原式＝÷＝·＝.
9．解：原式＝·
＝·
＝.
当a＝－2时，原式＝＝－5.
10．A　
11．解：（1）方程的两边都乘（x＋1）（x＋3），
得3（x＋3）＝5（x＋1）.
解这个方程，得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的根．
（2）方程的两边都乘2（x－3），
得12－（x＋9）＝2（x－3）.
解这个方程，得x＝3.
经检验，x＝3是原方程的增根．
所以，原分式方程无解．
（3）方程的两边都乘（x＋1）（x－1），
得2x－3－（x－1）＝2（x＋1）.
解这个方程，得x＝－4.
经检验，x＝－4是原方程的根．
12.＝＋1
13．解：设1号车的平均速度为x km/h，则2号车的平均速度为1.2x km/h.
由题意，得－＝.解得x＝40.
经检验，x＝40是所列方程的根，且符合题意．
∴1.2x＝48.
答：2号车的平均速度为48 km/h.
14．解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x＋6）元．
根据题意，得＝×1.5.解得x＝48.
经检验，x＝48是所列方程的根，且符合题意．
∴x＋6＝54.
答：甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元．
（2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100－m）个．
根据题意，得48m＋54（100－m）≤5 000.解得m≥66.
∵m为整数，∴m的最小值为67.
答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器．
常考训练　1.B　2.D　3.B　4.A　5.－1　6.x＝2　
7.　8.80　
9．解：原式＝÷＝·＝.
10．解：方程的两边都乘2（2x－3），
得x－10＝2（2x－3）.
解这个方程，得x＝－.
经检验，x＝－是原方程的根．
11．C　12.A　
13．解：原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝
＝.
∵a2＋1＝3a，∴a2－3a＝－1.
∴原式＝＝－1.
14．解：（1）方程的两边都乘（x＋2）（x－2），
得2（x＋2）＋mx＝3（x－2）.
整理，得（1－m）x＝10.
①当1－m＝0时，原方程无解，此时m＝1.
②当1－m≠0时，要使原方程无解，则（x＋2）（x－2）＝0，即x＝2或－2.
∴＝2或＝－2.
∴m＝－4或6.综上，m的值为1或－4或6.
（2）∵原方程的解为负数，∴＜0.解得m>1.
由（1），得原方程有解时，m≠1，m≠－4，且m≠6.
∴m的取值范围为m＞1且m≠6.
15．解：（1）根据题意，得＝.
解得a＝1.2.
经检验，a＝1.2是所列方程的解，且符合题意．
∴＝＝5.
答：a的值为1.2，计划用时5小时．
（2）设保持3千米/时的平均速度x小时．
根据题意，得3x＋2（5－x）≥12.5.
解得x≥2.5.∴x的最小值为2.5.
答：至少需要保持3千米/时的平均速度2.5小时．

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