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21.3.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
复习引入
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
问题3 你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
思考 你还有其他的判定方法吗？
学生探索
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，AB∥DC
∵AC=BD，BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴∠ABC=∠DCB
∵AB∥DC
∴∠ABC+∠DCB=1800
∴∠ABC=900
∴平行四边形ABCD是矩形
矩形的判定定理1：
知识要点
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD
（或OA=OC=OB=OD）
∴四边形ABCD是矩形
想一想
前面我们回顾了“矩形的四个角都是直角”这个性质，那么它的逆命题成立吗？即“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？或者说至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证一证
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD // BC , AB // CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
知识要点
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
典例精析
例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=OD，
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
∵∠OAD=50°
∴∠OAB=40°.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是矩形。
例3 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的角平分线
∴∠AFB=90° ∴∠GFE=90°
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴MN＝BD，
∴四边形NDMB为矩形．
课堂小结
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 .
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 .
课堂练习
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
2.如图 ， ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，
BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB//CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
∵AB=5，BC=12，AC=13，
13 =5 +12
∴AB +BC =AC
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

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