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第一课时 菱形及其性质
21.3.2 菱形
问题1 : 什么叫平行四边形？什么叫矩形？
复习引入
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有一个角是直角
平行四边形
矩形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
问题2：平行四边形和矩形之间的关系是什么？
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形。
平行
四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
D
C
B
几何语言：
∵ ABCD, AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形也是常见的几何图形. 有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.
你还能举出一些例子吗
思考
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，但由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开.观察图形，思考以下问题:
(3)菱形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴，分别是什么，对称轴之间有什么位置关系
(2)你能得到哪些特殊三角形
(1)你能看出图中哪些线段或角相等
菱形的四条边都相等；对角相等
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
4个等腰三角形；4个直角三角形
动手操作，发现问题
猜想1：菱形的四条边都相等.
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角.
A
B
C
O
D
证明猜想1
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AB = BC = CD =AD.
证明：∵ ABCD
∴AB = CD，AD = BC
又∵AB = AD
∴AB = BC = CD =AD.
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等.
符号语言：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
A
B
C
O
D
证明猜想2
已知：如图，在 ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明： ∵ ABCD, ∴OB = OD
∵AB = AD,
∴ AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥ BD，
AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，
BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
能.
过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD = 底×高
= BC·AE.
A
B
C
D
E
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
思考
探究 :菱形的面积公式
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC ·(BO+DO)
= AC·BD.
例3 如图，菱形花坛ABCD 的边长为20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)
解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB= 2AO·B0=200 ≈346. 4 (m2).
例题讲析
巩固练习：课本P73
1.四边形 ABCD 是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，且AB=5，A0=4.求AC，BD的长以及菱形ABCD 的面积。
巩固练习：课本P73
2.如图，在菱形ABCD中，BD=4, A: ABC=1：2.求△ABD的周长。
A
B
C
D
巩固练习：课本P73
3.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证：△DEF 是等边三角形.
课堂小结
布置作业
课本P79 习题21.3 第4题
同步学习P71--73

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