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华师大版（2024）八年级下册 第18章 矩形、菱形与正方形 单元测试
一、选择题
1.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图，在矩形中，，则的度数是（　　）
A.45° B.55° C.65° D.70°
3.已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是(　　)
A. B. C. D.
4.如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．的度数等于(　　)

A. B. C. D.
5.如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分，则的长为（　　）

A.12 B.5 C.1 D.3
6.下列说法正确的是(　　)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形
7.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　）
A. B. C. D.
8.四条边都相等的四边形是(　　)
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形
9.如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
10.如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是(　　)

A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
12.如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A.矩形DEFG是正方形
B.∠CEF＝∠ADE
C.CG平分∠DCH
D.
二、填空题
13.如图，四边形中，，，请添加一个条件 ，使四边形是矩形．

14.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ．
15.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为 ．
16.如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，且，则的度数是 ．

17.如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是 ．
三、解答题
18.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
19.如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．

20.如图，在矩形中，、、、分别平分、、、，交于点，交于点．求证：四边形正方形．

21.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE＝CM；
（2）延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形．
22.如图（1），已知矩形，点是射线上一点，将沿翻折，点对应点为．
(1)当，点落在上时，在图（2）中作出并求的长．
(2)如图（3）当点落在的中点时，求的值．
(3)当是直角三角形时，求的长．
华师大版（2024）八年级下册 第18章 矩形、菱形与正方形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，，
∴，
当时，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：A．
2.如图，在矩形中，，则的度数是（　　）
A.45° B.55° C.65° D.70°
【答案】D
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由作图痕迹可知：是的平分线，
∴，
∴．
故选：D．
3.已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴四边形为矩形，
能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即，
故选D．
4.如图，在菱形中摆放了一副三角板．等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点E为的中点含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．的度数等于(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，

∵四边形是菱形，
∴，则，
根据题意知：，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5.如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分，则的长为（　　）

A.12 B.5 C.1 D.3
【答案】C
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
6.下列说法正确的是(　　)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形
【答案】D
【解析】A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误；
B.两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C.两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误；
D.四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
7.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，，
四边形是矩形，故A不符合题意；
，
，
∵，，
四边形是矩形，故B不符合题意；
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，故C不符合题意；
，
，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意；
故选：D．
8.四条边都相等的四边形是(　　)
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形
【答案】C
【解析】四条边都相等的四边形是菱形．
故选：C．
9.如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
【答案】A
【解析】四边形为矩形，，，
，，
设，则，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
解得，
，
故选：A．
10.如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，交于，如图：

四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
11.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
即，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵根据条件无法推出平分，
∴推导不出，
故推导不出，故错误，符合题意．
故选：．
12.如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A.矩形DEFG是正方形
B.∠CEF＝∠ADE
C.CG平分∠DCH
D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形，故A正确；
∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，
∴ACAB＝9，
∴CE+CG＝9，故D正确；
∵△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCH，故C正确；
∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，
∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，
故选：B．
二、填空题
13.如图，四边形中，，，请添加一个条件 ，使四边形是矩形．

【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
故答案为：．
14.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知，可添加：．
则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴， ，
∴四边形是平行四边形，
∵，点E，F分别是的中点，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：、或（答案不唯一）．
15.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝，∠BAD＝90°，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO＝AB＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴AD＝,
∴矩形ABCD的面积＝,
故答案为：．
16.如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，连接，且，则的度数是 ．

【答案】
【解析】连接，

四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
,
∵的垂直平分线交对角线于点，
，
，
，
设，
故，
解得:，
∴，
故答案为:．
17.如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是 ．
【答案】或或
【解析】当点落在的延长线上时，设，
，，，
∴，
，
，
在中，，
，
解得，
；
当点落在的延长线上时，则，
当点落在的延长线上时，
∵，
∴，
∵关于直线对称的三角形记作，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的值为或或．
三、解答题
18.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
．
19.如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．

【答案】解：在菱形中，，
，，
于点，于点，
，
在和中，，
．
20.如图，在矩形中，、、、分别平分、、、，交于点，交于点．求证：四边形正方形．

【答案】证明：∵在矩形中，、、、分别平分、、、，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是正方形．

21.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE＝CM；
（2）延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形．
【答案】证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠FEM＝90°，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEM，
∵EF＝AE，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM，
∴BC＝EM，
∴BC﹣EC＝EM﹣EC，即BE＝CM．
（2）∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠ADN＝90°，AB＝AD，
∵DN＝BE，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，
∵AE＝EF
∴EF＝AN，
∵∠DAN+∠EAD＝∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠EAN＝∠AEF＝90°，
∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形，
∵AE＝EF，
∴四边形AEFN是菱形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFN是正方形．
22.如图（1），已知矩形，点是射线上一点，将沿翻折，点对应点为．
(1)当，点落在上时，在图（2）中作出并求的长．
(2)如图（3）当点落在的中点时，求的值．
(3)当是直角三角形时，求的长．
【答案】解：（1）依题意，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴
设为
∵折叠性质
∴
∴
则，即
解得
∴
（2）如图：
∵四边形是矩形，，
∴，
设为，
∵折叠性质，
∴
∵点落在的中点，
∴，
在中，，
解得（负值已舍去）；
（3）如图：
∵将沿翻折，点对应点为，且当是直角三角形，
∴点无法落在边上，即，
当时，如图，
∵折叠性质，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在直角三角形中，斜边小于直角边，故舍去；
当时，且点E在线段上时，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠性质，
∴，
∴，
∴，
设
在中，，
即，
解得，
此时；
当时，且点E在的延长线上时，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵折叠性质，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
综上的长为或．

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