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沪科版（2024）八年级下册 第19章 四边形 单元测试
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝32°，点D为AB的中点，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A.32° B.64° C.58° D.54°
2.如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
3.过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A.五 B.六 C.七 D.八
4.如图，在平行四边形中，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
5.如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　）
①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD．
A.①③ B.②③ C.②④ D.①②③
7.在菱形ABCD中，如果∠B＝110°，那么∠D的度数是（　　）
A.35° B.70° C.110° D.130°
8.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　）
A.64 B.32 C. D.
10.在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.4
12.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（　　）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④
二、填空题
13.若六边形的一个内角为，则其余五个内角之和为 ．
14.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件
是　 　（只需添加一个即可）
15.若一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是 ．
16.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则 .
17.如图，在 ABCD中，AC⊥BC，点M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，N为CD的中点，连接MN．若AD＝8，MN＝1，则AB的长为 　 　．
三、解答题
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数．
19.已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OM⊥BC于点M，且BM＝CM，求证： ABCD是矩形．
20.如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标．
21.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接DE，DF，BE，BF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）当AB＝AD时，求证：四边形DEBF为菱形．
22.如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝5，OG＝2，∠ABD＝45°，求AB的长．
沪科版（2024）八年级下册 第19章 四边形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝32°，点D为AB的中点，连接CD，则∠ADC的度数为（　　）
A.32° B.64° C.58° D.54°
【答案】B
【解析】∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝32°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝32°+32°＝64°，
故选：B．
2.如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【解析】
解：∵点A的坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
故选：C．
3.过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）．
A.五 B.六 C.七 D.八
【答案】B
【解析】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线，
∴这个多边形的边数为；
故选：B．
4.如图，在平行四边形中，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：C．
5.如图，是正方形的对角线，以为边向正方形内部做等边三角形，边交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6.下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　）
①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD．
A.①③ B.②③ C.②④ D.①②③
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴当AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确；
故选：C．
7.在菱形ABCD中，如果∠B＝110°，那么∠D的度数是（　　）
A.35° B.70° C.110° D.130°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝110°，
∴∠D＝110°．
故选：C．
8.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】如图所示：
当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形；
当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形；
当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形．
故符合题意的有3个点．
故选：C．
9.已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　）
A.64 B.32 C. D.
【答案】D
【解析】
如图，四边形ABCD是菱形，
连接AC，过点A作AE⊥CD于E，
∵四边形菱形的边长是8，一个内角是60°，
∴AD＝CD＝8，∠D＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴DECD＝4，
∴AE4，
∴菱形的面积＝CD AE＝8×432．
故选：D．
10.在正方形中，两条对角线相交于点，点是上一点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：如图，作于点，
∵正方形，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
11.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　）
A.2.4 B.3 C.4.8 D.4
【答案】A
【解析】连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4，
由勾股定理得CD5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCDOC ODCD OE，
∴OE2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
12.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（　　）
①；
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OGCDAB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
二、填空题
13.若六边形的一个内角为，则其余五个内角之和为 ．
【答案】/600度
【解析】解：∵六边形的内角和为：，
∴其余五个内角之和为，
故答案为：．
14.如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件
是　 　（只需添加一个即可）
【答案】∠ABC＝90°或AC＝BD．
【解析】条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
15.若一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是 ．
【答案】
【解析】解：菱形的面积＝，
故答案为：．
16.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则 .
【答案】6
【解析】解：在中，点E是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵E，D分别是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：6．
17.如图，在 ABCD中，AC⊥BC，点M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，N为CD的中点，连接MN．若AD＝8，MN＝1，则AB的长为 　 　．
【答案】．
【解析】∵AD＝8，四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝90°，
∵点M在∠CAD的平分线上，
∴，又∵AM⊥DM，
∴∠ADM＝45°，
如图，延长DM交AC于点E，
∵∠CAD＝90°，∠ADM＝45°，
∴∠DEA＝45°＝∠ADM，
∴AD＝BC＝AE＝8，
∵A M平分∠CAD，
∴DM＝ME，
∵N为CD的中点，
∴DN＝NC，
∴，
∵MN＝1，
∴CE＝2，
∴AC＝AE+EC＝8+2＝10，
∴，
故答案为：．
三、解答题
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAD的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴∠EAD∠BAD90°＝67.5°．
19.已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OM⊥BC于点M，且BM＝CM，求证： ABCD是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵BM＝CM，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM∥AB，
∵OM⊥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形．
20.如图，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB与x轴的位置关系是什么？BC与x轴的位置关系怎样？并写出A，B，C，D各点的坐标．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB⊥AD，BC∥AD
∵AD⊥x轴
∴AB∥x轴，BC⊥x轴，
∵AB＝BC＝CD＝AD，点O是AD中点，
∴AO＝OD＝2
∴点A（0，2），点D（0，﹣2），点B（4，2），点C（4，﹣2）
21.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接DE，DF，BE，BF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）当AB＝AD时，求证：四边形DEBF为菱形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O A＝O C，O B＝O D，
∵点E，F分别是AO，CO的中点，
∴，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF；
（2）∵AB＝AD，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即BD⊥EF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形．
22.如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝5，OG＝2，∠ABD＝45°，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴ODOG＝2，
∴BD＝2OD＝4，
如图，过D作DM⊥AB于M，
则△BDM是等腰直角三角形，
∴DM＝BMBD＝4，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM3，
∴AB＝AM+BM＝3+4＝7，
即AB的长为7．

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