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沪科版（2024）八年级下册 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测试
一、选择题
1.如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）

A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）

A.小时 B.2小时 C.小时 D.4小时
4.八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（ ）米．
A.7 B.8 C. D.
5.在中，，，，则的面积为（ ）
A.60 B.30 C.65 D.78
6.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
7.在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.不确定哪个角是直角
8.在中，，，，则以为边的正方形的周长是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.25
9.若一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ）
A.3 B. C.或3 D.不确定
10.如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
11.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（ ）
A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A.10 B.15 C.30 D.50
二、填空题
13.若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是 ．
14.如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里．
15.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
16.已知：、、是的三边，且满足：，面积等于 .
17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） .
三、解答题
18.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积．
19.如图，△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AB－BD=AC－CD，求证AB=AC．
20.如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D处．已知楼顶D处离地面的距离DA为8m，云梯的长度为9m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为3m，云梯的顶部能到达D处吗？为什么？
21.在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；
（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．
沪科版（2024）八年级下册 第18章 勾股定理及其逆定理 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，东西方向上有两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（ ）

A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
【答案】A
【解析】设最快经过x小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得：
千米，千米，
∵，
则，
解得：．
即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距6千米．
故选：A．
2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
3.如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）

A.小时 B.2小时 C.小时 D.4小时
【答案】C
【解析】，
连接，
中，
巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，
故选C．
4.八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（ ）米．
A.7 B.8 C. D.
【答案】A
【解析】如图，设风筝下降到点M处，连接，则，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故选：A．
5.在中，，，，则的面积为（ ）
A.60 B.30 C.65 D.78
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴的面积．
故选：B．
6.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
【答案】D
【解析】解：①，，
∴，
整理得，
故①满足题意；
②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；
③或，
∴，
故③符合题意；
④或，
∴，
∴，
故④满足题意；
故选：D
7.在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.不确定哪个角是直角
【答案】A
【解析】∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且，
∴．
∴b、c是两直角边，a是斜边，
∴．
故选：A．
8.在中，，，，则以为边的正方形的周长是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.25
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∴以为边的正方形的周长是，
故选C.
9.若一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ）
A.3 B. C.或3 D.不确定
【答案】C
【解析】当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是： ；
当长是5的边是斜边时，第三边是： ．
第三边长是：和3．
故选C．
10.如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．故选B.
11.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（ ）
A.4 B.3 C.2.5 D.2.4
【答案】D
【解析】∵一个三角形的三边的长分别是3，4，5，
又∵，
∴该三角形为直角三角形．
设这个三角形最长边上的高为h，
根据3×4=5h，
∴这个三角形最长边上的高为：．
故选D．
12.在△ABC中，∠C=90°，若AB=5，则AB2+AC2+BC2=( )
A.10 B.15 C.30 D.50
【答案】D
【解析】根据题意可知AB为斜边，因此可根据勾股定理可知=25，因此可知=25×2=50.
故选D.
二、填空题
13.若，，之间满足的等量关系是，则边长为，，的三角形是 ．
【答案】直角三角形
【解析】因为，
所以边长为6，8，10的三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
14.如图，两艘轮船在港口补给完毕后分别沿着北偏东和北偏西的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时海里和每小时海里，行驶两小时后分别到达和处，此时两艘轮船之间的距离是 海里．
【答案】100
【解析】由题意可得，(海里)，(海里)，
(海里)．
此时两艘轮船之间的距离是海里．
故答案为：．
15.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB的长度．如图．他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达D的位置，测得推送的水平距离为6m，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为 m．
【答案】10
【解析】由题意可知：，，，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：10．
16.已知：、、是的三边，且满足：，面积等于 .
【答案】60
【解析】证明：∵，
∴a 8＝0，b 15＝0，c 17＝0，
∴a＝8，b＝15，c＝17，
∵82＋152＝172，
∴三角形为直角三角形，
∴的面积为：8×15÷2＝60．
故答案为60．
17.如图，在△中，，分别是，上的点，⊥，⊥，垂足分别是，，若，，那么下面四个结论：①；②//；③△≌△；④，其中一定正确的是（填写编号） .
【答案】①，②
【解析】解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
三、解答题
18.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，求这块菜地的面积．
【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积的面积的面积
答：这块菜地的面积为．
19.如图，△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AB－BD=AC－CD，求证AB=AC．
【答案】∵AD⊥BC，
在Rt△ADB与Rt△ADC中，由勾股定理可得：AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2，即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD
∵AB-BD=AC-CD，
∴AB+BD=AC+CD，
两式相加，得2AB=2AC，
∴AB=AC．
20.如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D处．已知楼顶D处离地面的距离DA为8m，云梯的长度为9m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为3m，云梯的顶部能到达D处吗？为什么？
【答案】解：∵在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，
∴AB＝＝＝，
∵＞3，
∴梯的顶部能到达D处．
21.在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

【答案】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，
即梯子为斜边，梯子底部到墙的距离线段为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段为另一个直角边，
所以梯子顶端到地的距离为252-72=242，所以梯子顶端到地为24米．
（2）当梯子顶端下降4米后，梯子底部到墙的距离变为252-（24-4）2=152，
15-7=8所以，梯子底部水平滑动8米即可．
22.定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；
（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．
【答案】（1）解：①当CD为最大线段时，
∵点C、D是线段AB的勾股分割点
∴CD===5
②当BD为最大线段时，
∵点C、D是线段AB的勾股分割点
∴CD===
综上，CD的长为5或．
（2）证明：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，连接HE
∵∠BAF+∠DAE=90°-∠MAN=90°-45°=45°，∠BAF=∠DAH
∴∠DAH+∠DAE=45°
即∠EAH=45°
在△EAH和△EAF中
∴△EAH≌△EAF（SAS）
∴EH=EF
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线
∴∠ABF=∠ADB=45°
∴∠ADH=∠ABF=∠ADB =45°
∴∠HDE=90°
在Rt△DHE中，HE2=DH2+DE2
∵DH=BF，EF=HE
∴EF2=BF2+DE2
∴E、F是BD的勾股分割点．

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