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第一章　三角形的证明
第一节　三角形内角和定理
培优点1　与折叠有关的内角和问题
1．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处．若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为(　　)
第1题图
A．30° B．37° C．54° D．63°
2．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
第2题图
培优点2　三角形内角和定理的应用
3．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与吊绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2的度数为(　　)
第3题图
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图，小慧想知道黑板上的两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量．于是她设计了间接测量的方案，测得∠1＝120°，∠2＝100°，则直线a，b所夹锐角的大小为(　　)
第4题图
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．图1是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其平面示意图如图2所示，其中AB∥EF，CG⊥EF.若∠ACD＝105°，∠B＝69°，则∠A＋∠BDC的度数为(　　)
第5题图
A．15° B．21° C．36° D．48°
培优点3　与角平分线有关的内角和问题
6．如图，已知△ABC两个内角的平分线交于点D，△DBC两个内角的平分线交于点E.若∠BEC＝152°，则∠A＝(　　)
第6题图
A．68° B．70° C．52° D．63°
7．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线相交于点A1，得∠A1；分别作∠A1BC和∠A1CD的平分线，两条平分线相交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2 025，则∠A2 025的度数是(　　)
第7题图
A．α B．90°＋α C． D．
8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，下列结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC＋∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°－∠CDB.其中正确的结论有(　　)
第8题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二节　等腰三角形
培优点1　方程思想
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，DB＝DE＝AE，BE＝BC，则∠BAC的度数为(　　)
第1题图
A．60° B．75° C．30° D．45°
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则∠MCN＝(　　)
第2题图
A．30° B．45° C．60° D．55°
培优点2　等面积法
3．【转化思想】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在BC边上运动，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长为________．
第3题图
4．如图，P为边长为12的等边三角形ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F.若PE＝2，则PD＋PF的长为________．
第4题图
培优点3　规律问题
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(0，1)，以OA为边在右侧作等边三角形OAA1；过点A1作x轴的垂线，垂足为O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2；再过点A2作x轴的垂线，垂
足为O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3；……按此规律继续作下去，则点A2 026的纵坐标为________．
第5题图
培优点4　动点问题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝60°，AD平分∠BAC，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB＋EF的最小值是________．
第6题图
　
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝8，在△ABC所在平面内取点P，使得△ABP为等边三角形，连接CP，则CP的长为________．
第7题图
8．在等边三角形ABC中，E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED.
(1)如图1，若E是AB的中点，则BD与AE的数量关系为________．
(2)如图2，若E不是AB的中点，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请说明理由．
第8题图
第三节　直角三角形
培优点1　等面积法
1．如图，在3×3的正方形网格中，每个正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为________．
第1题图
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝________．
第2题图
培优点2　勾股定理
3．(2025佛山期中)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC(∠ACB＝90°)的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE.若S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16，则CE的长为(　　)
第3题图
A．3 B．8 C． D．
培优点3　存在性问题
4．如图，B为x轴上的一个动点，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(4，1)，CE⊥x轴于点E，当点B的坐标为________时，△ABC是以AC为直角边的直角三角形．
第4题图
5．如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形，动点M，N同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．
(1)若点M的运动速度是2 cm/s，点N的运动速度是4 cm/s，当点N到达点C时，M，N两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，则△BMN是________三角形．
(2)若点M，N的运动速度都是2 cm/s，当点M到达点B时，M，N两点都停止运动．设运动时间为t s，则当t为何值时，△BMN是直角三角形？
第5题图
培优专题1　三角形中常见全等模型
类型1　“手拉手”模型
图形 条件 结论
AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE　 △ABD≌△ACE；BD＝CE
1.在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点(点D不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)请判断∠BAC与∠DCE之间的数量关系，并证明你的结论．
第1题图
2．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上一点，连接AE.若AD＝5，BD＝12，则DE的长为(　　)　 　　　 　　　　
第2题图
A．11 B．13 C．12 D．25
3．如图，AB＝3，AC＝，连接BC，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，连接AE，BD，当AE最长时，BC的长为(　　)
第3题图
A．2 B．3 C． D．
类型2　一线三垂直模型
图形 条件 结论
∠1＝∠2＝∠3＝90°，AC＝CE △ABC≌△CDE
4.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，AD＝7 cm，BE＝3 cm，则DE的长是(　　)
第4题图
A．3 cm B．3.5 cm C．4 cm D．4.5 cm
5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，E为BC上一点，连接AE，ED，且AE＝ED＝5，AD＝5，BE＝4，求AB＋DC的值．
第5题图
第四～五节　线段的垂直平分线与角平分线
培优点1　线段的垂直平分线
1．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且点M，N分别在PA，PC的垂直平分线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为(　　)　　　 　　　　
第1题图
A．120° B．125° C．130° D．135°
2．如图，在△ABC中，∠A＝56°，PD，PE分别垂直平分AB，BC，分别交AB，BC于点D，E，连接BP，CP，则∠BPC的度数为________．
第2题图
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC＝3，BC＝4，PA＝1，求线段DE的长．
第3题图
培优点2　角平分线
4．如图，在△ABC中，P是三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，点P，O均在△ABC的内部，若∠BOC＝124°，则∠BPC的度数为(　　)
第4题图
A．121° B．122° C．123° D．124°
5．已知△ABC，AD是其中一条角平分线．
【探究发现】(1)如图1，若AD是∠BAC的平分线，则可得到结论 ＝.证明如下：
过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴________．
∴＝＝________．
又∵＝＝，∴________．
第5题图
【类比探究】(2)如图2，AD是△BAC其中一个外角的平分线，交BC的延长线于点D.求证：＝.
本章重难压轴
1．【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”(如图1)，现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组开展了如下探究活动：
任务一　实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区的平面图(如图2)，并测量了某些道路的长度如表格所示，进一步抽象成几何图形(如图3)，其中主干道AC与BE相交于点F，BE∥CD.小组成员又借助电子角度仪测得∠BCE＝90°，∠CEB＝∠CED.
道路 AE AB BC BF EF DE
长度/m 40 30 30 18 32 25
任务二　数学计算
(1)求道路CD的长；
(2)道路AC＝________m.
任务三　方案设计
(3)根据以上探究，请你在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置(用点G表示)，并画出需要增设的小路CG，DG.
(4)“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为________m(结果保留根号).
第1题图
2.已知△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】(1)如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接CE，则CE，CD，AC之间的数量关系是________________．(不需证明)
【迁移运用】(2)如图2，F是边AC上一点，以DF为一边作等边三角形DEF.求证：CE＋CD＝CF.
【类比探究】(3)如图3，F是边AC的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF.试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由．
第2题图
第一章　三角形的证明
第一节　三角形内角和定理
1．C　2.60°　3.C　4.B　5.C　6.A　7.D　8.B
第二节　等腰三角形
1．D　2.B　3.　4.4　5.　6.6　7.2或2
8．解：（1）BD＝AE.
（2）成立．理由如下：
如答图1，过点E作EF∥BC交AC于点F.
答图1
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.
∴△AEF是等边三角形，∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.
∴AE＝EF.
∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠FCE.
在△DEB和△ECF中，
∴△DEB≌△ECF（AAS）.∴BD＝EF.∴BD＝AE.
第三节　直角三角形
1.　2.9.6　3.C　4.或（－3，0）
5．解：（1）等边．
（2）在△BMN中，BM＝（12－2t） cm，BN＝2t cm，0≤t≤6.
①当∠BNM＝90°时，∠B＝60°，∴∠BMN＝30°.
∴BN＝BM.∴2t＝（12－2t）.解得t＝2.
②当∠BMN＝90°时，∠B＝60°，∴∠BNM＝30°.
∴BM＝BN.∴12－2t＝×2t.解得t＝4.
综上所述，当t＝2或t＝4时，△BMN是直角三角形．
培优专题1　三角形中常见全等模型
1．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∠BAC＋∠DCE＝180°.证明如下：
∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE.
∵∠DCE＝∠ACE＋∠ACB，∴∠DCE＝∠B＋∠ACB.
∵∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠DCE＝180°.
2．B　3.D　4.C
5．解：∵∠ABC＝90°，AE＝5，BE＝4，
∴AB＝＝＝3，∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE＝ED＝5，AD＝5，
∴AE2＋ED2＝25＋25＝50，AD2＝50.
∴AE2＋ED2＝AD2.
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°.
∴∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD（AAS）.
∴BE＝DC＝4.∴AB＋DC＝3＋4＝7.
第四～五节　线段的垂直平分线与角平分线
1．C　2.112°
3．解：（1）DE⊥DP.理由如下：
∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED.∴∠B＝∠EDB.
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠PDA＋∠EDB＝90°.
∴∠PDE＝180°－90°＝90°.∴DE⊥DP.
（2）如答图1，连接PE.
答图1
设DE＝x，则BE＝DE＝x，CE＝4－x.
∵AC＝3，PA＝1，
∴PC＝AC－PA＝2，PD＝PA＝1.
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2.
∴22＋（4－x）2＝12＋x2.
解得x＝.∴DE＝.
4．A
5．（1）解：DE＝DF　　＝.
（2）证明：如答图2，过点D分别作DE⊥BA于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，过点A作AG⊥BD于点G.
答图2
∵AD平分∠EAF，∴DE＝DF.
∴＝＝.
又∵＝＝，∴＝.
本章重难压轴
1．解：（1）∵BE∥CD，∴∠CEB＝∠DCE.
∵∠CEB＝∠CED，∴∠CED＝∠DCE.
∴DE＝CD＝25.∴道路CD的长为25 m.
（2）48.　【提示】由表格数据易得EB＝50.
故AE2＋AB2＝EB2.所以∠EAB＝90°.
进而由S△AEB＋S△EBC＝AE·AB＋EC·BC＝EB·AC即可求解．
（3）如答图1，AD，EB的交点G，CG，DG即为所求．
答图1
（4）（50＋）.
2．（1）解：CE＋CD＝AC.
（2）证明：如答图2，过点D作DG∥AB，交AC于点G.
答图2
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.
∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B＝60°.
∴△CDG为等边三角形．∴CD＝DG＝CG.
∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°.
∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠CDE＝∠GDF.
在△CDE和△GDF中，
∴△CDE≌△GDF（SAS）.∴CE＝GF.
∴CE＋CD＝GF＋CG＝CF.
（3）解：CD＋CF＝CE.理由如下：
如答图3，过点D作DG∥AB，交AC于点G，
答图3
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60.
∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B＝60°.
∴△CDG为等边三角形．∴CD＝DG＝CG.
∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠FDE＝60°.
∴∠GDC＋∠CDF＝∠EDF＋∠CDF，即∠GDF＝∠CDE.
在△CDE和△GDF中，
∴△CDE≌△GDF（SAS）.∴CE＝GF.
∵GF＝CF＋CG＝CF＋CD，∴CD＋CF＝CE.

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