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(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第五节　角平分线
课时2　角平分线（2）
第一章　三角形的证明
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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角平分线的性质与判定的综合应用
例1　（新BS八下P38）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）已知CD＝4 cm，求AC的长；
解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4 cm.
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.
（2）求证：AB＝AC＋CD.
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC＝AE.
∵CD＝DE＝BE，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
训练　1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，DB＝DE，∠B与∠AED互为补角，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC.
证明：如答图1，过点D作DF⊥AB于点F，则∠DFB＝90°.
答图1
∵∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C.
∵∠B与∠AED互为补角，
∴∠B＋∠AED＝180°.
又∵∠DEC＋∠AED＝180°，
∴∠DEC＝∠B.
∴△DCE≌△DFB（AAS）.
∴DC＝DF.
又∵DC⊥AC，DF⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
答图1
（2）猜想并证明AB＋AE与AC之间的数量关系．
解：AB＋AE＝2AC.证明如下：
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）.
∴AC＝AF.
由（1）知，△DCE≌△DFB.
∴CE＝FB.
∴AB＋AE＝AF＋FB＋AC－CE＝2AC.
答图1
三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________的距离相等．
三条边
例2　（新BS八下P38改编、新RJ八上P51改编）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：PD＝PE＝PF，且∠A的平分线经过点P.
证明：∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴PD＝PE.
同理，得PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.
又∵PD⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P.
例3　如图，△ABC的三条角平分线交于点O，并将△ABC分成三个小三角形．若AB＝8，BC＝12，AC＝10，则S△ABO∶S△BCO∶S△ACO＝（　　）
A.1∶1∶1
B.2∶4∶3
C.4∶6∶5
D.4∶6∶10
C
训练　2.如图，△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D.若OD＝3，则△ABC的面积为（　　）
A.24
B.27
C.30
D.33
B
课堂检测
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1．如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，OD，OE，OF分别是点O到△ABC三边的垂线，则OD，OE，OF的大小关系是（　　）
A．OD＝OF≠OE
B．OD＝OE＝OF
C．OD≠OF＝OE
D．OD≠OE≠OF
B
2．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线交于点O，连接BO，AB＝6 cm，BC＝8 cm，△ABO的面积为9 cm2，则△BOC的面积为________cm2.
12
3．如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠A＝60°，则∠BOC的度数为（　　）
A．150°
B．120°
C．110°
D．100°
B
4．如图，AB＝AC，AD∥BC，DE⊥AB，交BA的延长线于点E.若DE＝3，则点D到AC的距离为________．
3
5．（新BS八下P41改编）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC内修建一个油库P.如果要求油库P到这三条公路的距离相等，那么请简述修建方案，并用尺规在图中确定油库P的位置．
答图2
解：如答图2，油库P应修建在△ABC的三条角平分线的交点处，点P即为所求．
6．（新BS八下P39）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.
证明：如答图3，过点F作FP⊥AC于点P.
　答图3
∵F是△ABC的角平分线AD，CE的交点，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FP＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°.
∵AD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠NDF＝90°－∠DAC＝75°，∠MEF＝∠ACE＋∠BAC＝75°.
∴∠MEF＝∠NDF.
∴△EMF≌△DNF（AAS）.
∴FE＝FD.
　答图3
7．（新BS八下P40改编、新RJ八上P51）如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P.求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
证明：如答图4，过点P分别作PK⊥AE于点K，PM⊥BC于点M，PN⊥AD于点N.
答图4
又∵BF是∠CBD的平分线，CG是∠BCE的平分线，
∴PN＝PM，PK＝PM.∴PN＝PM＝PK.
∴点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
（2）点P在∠A的平分线上．
证明：由（1）可知，PK＝PN.
又∵PK⊥AE，PN⊥AD，
∴点P在∠A的平分线上．
答图4
随堂测
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1．如图，△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是(　　)
A．BD＝DC　　　　　　　
B．BE⊥AC
C．FA＝FB　　　　　　　
D．点F到三角形三边的距离都相等
D
2．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D.若ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为(　　)
A．48
B．36
C．24
D．12
C
3．如图，在四边形ABDC中，∠D＝90°，∠ABD＝60°，BC平分∠ABD.若AB＝3，BC＝4，则△ABC的面积为__________．
3
4．如图，已知DA＝DB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N，且PM＝PN.求证：OD平分∠AOB.
证明：∵PM⊥BD，PN⊥AD，PM＝PN，
∴DP平分∠ADB.∴∠BDO＝∠ADO.
∴△OBD≌△OAD（SAS）.
∴∠BOD＝∠AOD.∴OD平分∠AOB.(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节　等腰三角形
课时2　等腰三角形的性质（2）
探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
随堂测
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等边三角形的性质
1．性质：（1）等边三角形是三边都________的特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质；
（2）等边三角形的三个内角都________，并且每个角都等于________．
2．几何语言：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝________＝________，∠A＝∠B＝∠C＝________．
相等
相等
60°
AC
BC
60°
例1　如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，则：
（1）∠B＝∠BAC＝∠C＝________°；
（2）∠BAD＝________°，
∠ADB＝________°；
（3）若BD＝3，则等边三角形的周长为________．
60
30
90
18
例2　（新BS八下P17改编）如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边BC，AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA.
∴△ABE≌△CAD（SAS）.
（2）求∠BFD的度数．
解：由（1）可知，△ABE≌△CAD.
∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BFD＝∠ABE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
训练　1.如图，等边三角形ABC的中线AD，BE相交于点O.
（1）求证：BE＝AD；
证明：∵AD，BE分别是边BC，AC上的中线，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC.∴CD＝CE.
∴△BCE≌△ACD（SAS）.
∴BE＝AD.
（2）∠BOD的度数为________．
60°
若CF是等边三角形ABC的边AB上的中线，则AD，BE，CF之间有怎样的数量关系？
等腰三角形与等边三角形的性质
等腰三角形 等边三角形
（特殊的等腰三角形）
边、角 两腰相等；两底角相等 三条边都相等；三个内角都相等，并且每个角都等于60°
特殊线段 三线合一，且两底角的平分线相等， 两腰上的中线（或高）相等 三线合一，且三个内角的平分线相等，三边上的中线（或高）相等
对称性 轴对称图形，只有1条对称轴 轴对称图形，有3条对称轴
课堂检测
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1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上．若∠DBC＝35°，则∠ADB＝（　　）
A．105°
B．100°
C．95°
D．85°
C
2．如图，等边三角形ABC的周长为18，AD是∠BAC的平分线，那么BD的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
B
3．如图，将一块等边三角形纸板与直尺叠放在一起，且等边三角形纸板的一个顶点落在直尺的一边上，则α与β的数量关系为（　　）
A．α＋β＝180°
B．α＋β＝120°
C．α＝β
D．α－β＝60°
B
4．如图，等边三角形ABC的两条高线BE，CD相交于点O，则∠BOC＝________°.
120
5．（新BS八下P11改编）如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为________．
120°
6．如图，在等边三角形ABC中，延长BC至D，延长CA至E，使AE＝CD，连接AD，BE.求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，且∠BAC＝∠ACB＝60°.
∴∠EAB＝∠DCA＝120°.
∴△ABE≌△CAD（SAS）.∴AD＝BE.
7．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE.
【基本模型】（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
②线段BC，CD，CE的数量关系为______________．
BC＝CD＋CE
【类比探究】（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，则线段BC，CD，CE之间又有怎样的数量关系？请给出证明．
解：CE＝BC＋CD.证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD＝CE.
∵BD＝BC＋CD，
∴CE＝BC＋CD.
随堂测
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1．(2025佛山期中)如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为__________．
9
2．如图，已知△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的平分线，BD＝2，那么AB＋AC的长为(　　)
A．4
B．6
C．8
D．10
C
3．如图，等边三角形ABC的角平分线AD，BE相交于点O，则∠BOD的度数为__________．
60°
4．如图，平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为__________°.
20
5．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE＝CD.


证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝∠CBD＝60°.
∴△ABE≌△CBD（SAS）.∴AE＝CD.(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
问题解决策略：反思
掌握证明两条线段相等的常用．能够针对解决过的问题进行回顾反思．
课标要求
第一章　三角形的证明
随堂测
策略应用
课堂讲练
策略迁移
课堂讲练
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问题 等腰三角形中的相等线段
例1　（新BS八下P42改编）证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线．
求证：BD＝CE.
【问题分析】（1）证明两条线段相等有哪些常用的？分别适用于什么情况？
解：①全等：已知“边的关系（含公共边）”或“边角关系”，要证明的两条线段在两个三角形中；
②等角对等边：已知角度关系，要证的两条线段在同一个三角形中；
③角平分线或垂直平分线的性质：已知角平分线、垂线、垂直平分线．
（2）以BD为边的三角形有_________________，以CE为边的三角形有_________________，其中哪些三角形可能全等？
△ABD和△BCD
△ACE和△BCE
解：△ABD和△ACE、△BCD和△CBE可能全等．
（3）找出两个有可能全等的三角形，要证这两个三角形全等，已知哪些边或角相等，还需证明哪些边或角相等？
解：在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，∠A＝∠A，需证明AD＝AE.
在△BCD和△CBE中，已知BC＝CB，需证明CD＝BE，∠BCD＝∠CBE.
【问题解决】（4）下面有两种思路，请任选一种完成证明．
思路一：通过△ABD≌△ACE，证明BD＝CE.
思路二：通过△BCD≌△CBE，证明BD＝CE.
解：选择思路一．证明如下：
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
又∵AB＝AC，∴AD＝AE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.
（或选择思路二．证明如下：
∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠CBE.
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴△BCD≌△CBE（SAS）.∴BD＝CE.）
【回顾反思】（5）比较两种证明，你更喜欢哪种？说说你的理由．
解：更喜欢思路一．因为已知条件更多，思路更简单．（答案不唯一）
（6）根据题目的条件，你还能得到哪些结论？请任写出一个，并给出证明．
解：如答图1，设BD与CE相交于点O，则BO＝CO.
答图1
证明：由（4）可得△BCD≌△CBE.
∴∠CBD＝∠BCE.
∴BO＝CO.（答案不唯一）
（7）适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
解：将“BD和CE分别是边AC，AB上的中线”改为“BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线”，其余条件不变，求证：BD＝CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABD＝∠ACE.
∴△ABD≌△ACE（ASA）.
∴BD＝CE.
（答案不唯一）
（8）将题干中的条件与结论互换，并改变部分条件，该命题是否成立？如本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等．反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明上述命题的正确性吗？（提示：重心到三角形某一顶点的距离∶重心到该顶点所对的边的距离＝2∶1）
解：已知：如答图2，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD＝CE.
答图2
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如答图2，取BC的中点F，连接AF，AF，BD，CE相交于
点G，则点G是△ABC的重心．
又∵BD＝CE，∴BG＝CG.
∵F是BC的中点，∴GF⊥BC，即AF⊥BC.
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
答图2
解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：①条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论；②适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条件或者类似的条件），探究结论是否仍然成立；③探究是否可以将一些条件和结论互换．
策略应用
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1.求证：全等三角形对应边上的中线相等．
已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的________．
求证：____________．
证明：
△ABC≌△A′B′C′
中线
AD＝A′D′
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）.
∴AD＝A′D′.
2.根据上述思考方向，小丽提出一个左边题目的变式，即“求证：全等三角形对应角的平分线相等”．请你完成填空并进行解答．
已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的____________．
求证：______________．
证明：
△ABC≌△A′B′C′
平分线
AD＝A′D′
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
∵AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
∴△BAD≌△B′A′D′（ASA）.
∴AD＝A′D′.
策略迁移
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3.将0～9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大．
解：填数如答图3所示．（答案不唯一）
答图3
参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别．
随堂测
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1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∴△BDE≌△CDF（HL）.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFB＝90°.
∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）.∴∠A＝∠B.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.
∴△ABC是等边三角形．(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节　三角形内角和定理
课时2　三角形内角和定理（2）
理解三角形外角的概念；掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（运算能力、几何直观、推理能力、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
课堂检测
课堂讲练
随堂测
课堂讲练
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三角形的外角的概念
三角形内角的一条边与另一条边的______________组成的角，称为三角形的外角．
反向延长线
例1　如图，∠1是△ABC的一个外角．请在图中画出△ABC其他外角．
解：如答图1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6即为所求．
答图1
训练　1.如图，∠1是△ABC的外角的是________．（填序号）
②
三角形的外角的性质
性质1：三角形的一个外角等于和它__________的两个内角的和．
性质2：三角形的一个外角________任何一个和它不相邻的内角．
几何语言：如图，∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
不相邻
大于
例2　如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
（1）若∠A＝60°，∠B＝50°，则∠ACD＝________°；
（2）若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝________°.
110
50
训练　2.如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A＝________°.
40
例3　（新BS八下P5）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴AD∥BC.
训练　3.（新BS八下P7）已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠DAC＝∠B.
求证：∠ADC＝∠BAC.
证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠DAC＝∠B，
∴∠ADC＝∠DAC＋∠BAD.
又∵∠BAC＝∠DAC＋∠BAD，
∴∠ADC＝∠BAC.
你还有别的证明吗？
例4　（新BS八下P5改编）已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个________（外角的定义），
∴∠BPC >∠PDC（_________________________________________
___________）.
∵_________________________（外角的定义），
∴∠PDC>∠A（__________________________________________）.
∴∠BPC>∠A.
外角
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的
内角
∠PDC是△ABD的一个外角
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
训练　4.如图，小明在证明例4时，连接AP并延长，交BC于点D.请写出他的证明过程．
证明：∵∠BPD是△ABP的一个外角，
∴∠BPD＞∠BAP.
∵∠CPD是△APC的一个外角，
∴∠CPD＞∠CAP.
∴∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，
即∠BPC＞∠BAC.
你还有其他的证明吗？
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1．将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，则∠1的度数为（　　）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
C　
2．如图，AB∥CD，∠BED＝68°，∠C＝∠D，则∠B的度数为________°.
34
3．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝32°.求∠BAC的度数．
解：∵∠3＝∠4，∠DAC＝32°，
∴∠BAC＝∠1＋∠DAC＝37°＋32°＝69°.
4．如图，点A，B，C，D中的任意三点都不在一条直线上．求证：∠1＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：如答图1，延长AD交BC于点E.
答图1
∵∠2是△ABE的一个外角，
∴∠2＝∠A＋∠B.
∵∠1是△CDE的一个外角，
∴∠1＝∠2＋∠C.
∴∠1＝∠A＋∠B＋∠C.
5．（2025广州期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
（1）若∠B＝30°，∠E＝25°，则∠BAC＝________°；
80
（2）猜想 ∠BAC ，∠B，∠E之间的数量关系，并证明．
解：∠BAC＝∠B＋2∠E.证明如下：
∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE.
∵∠BAC＝∠E＋∠ACE，
∴∠BAC＝∠E＋∠ECD.
∵∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E，
即∠BAC＝∠B＋2∠E.
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1．在下列四个图形中，∠1＜∠2一定成立的是(　　)

C
2．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为(　　)
A．110°
B．100°
C．55°
D．45°
B
3．将一副三角板按如图所示的方式叠放，其中∠A＝30°，∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
D
4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CE平分∠ACB，则∠AEC＝__________°.
85
5．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
证明：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，
∴∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠ACB＋∠BAC，
∠3＝∠BAC＋∠ABC.
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠ABC＋∠ACB＋∠ACB＋∠BAC＋∠BAC＋∠ABC＝2（∠BAC＋∠ACB＋∠ABC）.
在△ABC中，∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节　直角三角形
课时2　直角三角形全等的判定
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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1．【尺规作图】如图，已知线段a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，BC＝a.
解：作Rt△ABC如答图1所示．
答图1
斜边
一条直角边
　AB＝A′B′
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利用“HL”判定直角三角形全等
例1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°.
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴∠ABC＝∠BAD.
训练　1.如图，点E，F在线段BD上，AF⊥BD于点F，CE⊥BD于点E，AD＝CB，DE＝BF.
求证：AF＝CE.
证明：∵DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF，
即DF＝BE.
∵AF⊥BD，CE⊥BD，∴∠AFD＝∠CEB＝90°.
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）.∴AF＝CE.
利用直角三角形全等解决实际问题
例2　（新BS八下P26）如图，两根长度均为12 m 的绳子，一端系在旗杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
解：两个木桩到旗杆底部的距离相等．理由如下：
由题意，得∠AOB＝∠AOC＝90°，AB＝AC.
又∵AO＝AO，∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）.
∴OB＝OC.
训练　2.下图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，AB，AC是伞骨，DM，EM是连接弹簧M和伞骨的支架，支架等长，且与伞骨垂直，垂足分别为D，E，试证明点D，E到伞骨顶端A的距离相等．
证明：由题意，得∠ADM＝∠AEM＝90°，DM＝EM.
又∵AM＝AM，∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL）.
∴AD＝AE，即点D，E到伞骨顶端A的距离相等．
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1．（2025佛山期中）下列命题中，假命题是（　　）
A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
A
2．如图，∠A＝∠B＝90°，AD＝BE，请添加一个条件__________，使得可用“HL”判定Rt△ADC≌Rt△BEC.
CD＝CE
3．（新BS八下P27）已知：如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠DFB＝∠DEC＝90°.
∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）.∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是边AB上一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：DE⊥CE.
证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.∴∠AED＝∠BCE.
∵∠B＝90°，∴∠BCE＋∠BEC＝90°.
∴∠AED＋∠BEC＝90°.
∴∠DEC＝90°.∴DE⊥CE.
5．如图1，小朋友在荡秋千，秋千在摆动过程中的侧面示意图如
图2所示，静止时秋千位于铅垂线BD上（BD⊥DE），转轴B到地面的距离BD＝2.5 m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5 m（AC⊥BD于点C），当秋千从A处摆动到A′处时，测得点A′到BD的距离A′F＝BC（A′F⊥BD于点F），已知秋千的绳长固定不变（BA＝BA′），求FD的长．

解：∵AC⊥BD，A′F⊥BD，
∴∠ACB＝∠BFA′＝90°.
∴Rt△ACB≌Rt△BFA′（HL）.
∴BF＝AC＝1.5 m.
∵BD＝2.5 m，
∴FD＝BD－BF＝2.5－1.5＝1（m）.
6．【动点问题】如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8 cm，BC＝
4 cm，点P从点A出发，沿AC方向以2 cm/s的速度向点C运动，到点C时停止运动；点Q在射线AM上，且PQ＝AB.若在某一时刻△PQA和△ABC全等，求此时点P的运动时间．
解：设点P的运动时间为t s，∴AP＝2t.
∵∠C＝∠CAM＝90°，PQ＝AB，
∴△PQA和△ABC全等，有以下两种情况：
①当Rt△QPA≌Rt△ABC时，AP＝BC，∴2t＝4.解得t＝2.
②当Rt△PQA≌Rt△ABC时，AP＝AC，∴2t＝8.解得t＝4.
综上所述，点P的运动时间为2 s或4 s.
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1．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，则可以直接判定Rt△ABC≌Rt△ADC 的依据是(　　)
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
D
2．如图，已知AD⊥BC于点O，且O是BC的中点．若在不添加辅助线的情况下，增加一个条件后可直接利用“HL”判定Rt△AOB≌Rt△DOC，则所增加的条件是__________．
AB＝DC
3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD＝BC，∠A＝50°，则∠DBC的度数为__________°.
40
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC于点E，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12，求AC的长．

解：∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.
∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL）.∴AC＝FE＝12.(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节　三角形内角和定理
课时2　三角形内角和定理（2）
理解三角形外角的概念；掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（运算能力、几何直观、推理能力、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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三角形的外角的概念
三角形内角的一条边与另一条边的______________组成的角，称为三角形的外角．
反向延长线
例1　如图，∠1是△ABC的一个外角．请在图中画出△ABC其他外角．
解：如答图1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6即为所求．
答图1
训练　1.如图，∠1是△ABC的外角的是________．（填序号）
②
三角形的外角的性质
性质1：三角形的一个外角等于和它__________的两个内角的和．
性质2：三角形的一个外角________任何一个和它不相邻的内角．
几何语言：如图，∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD>∠A，∠ACD>∠B.
不相邻
大于
例2　如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
（1）若∠A＝60°，∠B＝50°，则∠ACD＝________°；
（2）若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝________°.
110
50
训练　2.如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A＝________°.
40
例3　（新BS八下P5）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
∴AD∥BC.
训练　3.（新BS八下P7）已知：如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠DAC＝∠B.
求证：∠ADC＝∠BAC.
证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠DAC＝∠B，
∴∠ADC＝∠DAC＋∠BAD.
又∵∠BAC＝∠DAC＋∠BAD，
∴∠ADC＝∠BAC.
你还有别的证明吗？
例4　（新BS八下P5改编）已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个________（外角的定义），
∴∠BPC >∠PDC（_________________________________________
___________）.
∵_________________________（外角的定义），
∴∠PDC>∠A（__________________________________________）.
∴∠BPC>∠A.
外角
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的
内角
∠PDC是△ABD的一个外角
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
训练　4.如图，小明在证明例4时，连接AP并延长，交BC于点D.请写出他的证明过程．
证明：∵∠BPD是△ABP的一个外角，
∴∠BPD＞∠BAP.
∵∠CPD是△APC的一个外角，
∴∠CPD＞∠CAP.
∴∠BPD＋∠CPD＞∠BAP＋∠CAP，
即∠BPC＞∠BAC.
你还有其他的证明吗？
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1．将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，则∠1的度数为（　　）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
C　
2．如图，AB∥CD，∠BED＝68°，∠C＝∠D，则∠B的度数为________°.
34
3．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝32°.求∠BAC的度数．
解：∵∠3＝∠4，∠DAC＝32°，
∴∠BAC＝∠1＋∠DAC＝37°＋32°＝69°.
4．如图，点A，B，C，D中的任意三点都不在一条直线上．求证：∠1＝∠A＋∠B＋∠C.
证明：如答图1，延长AD交BC于点E.
答图1
∵∠2是△ABE的一个外角，
∴∠2＝∠A＋∠B.
∵∠1是△CDE的一个外角，
∴∠1＝∠2＋∠C.
∴∠1＝∠A＋∠B＋∠C.
5．（2025广州期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
（1）若∠B＝30°，∠E＝25°，则∠BAC＝________°；
80
（2）猜想 ∠BAC ，∠B，∠E之间的数量关系，并证明．
解：∠BAC＝∠B＋2∠E.证明如下：
∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE.
∵∠BAC＝∠E＋∠ACE，
∴∠BAC＝∠E＋∠ECD.
∵∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E，
即∠BAC＝∠B＋2∠E.
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1．在下列四个图形中，∠1＜∠2一定成立的是(　　)

C
2．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为(　　)
A．110°
B．100°
C．55°
D．45°
B
3．将一副三角板按如图所示的方式叠放，其中∠A＝30°，∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
D
4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CE平分∠ACB，则∠AEC＝__________°.
85
5．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？
证明：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，
∴∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠ACB＋∠BAC，
∠3＝∠BAC＋∠ABC.
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠ABC＋∠ACB＋∠ACB＋∠BAC＋∠BAC＋∠ABC＝2（∠BAC＋∠ACB＋∠ABC）.
在△ABC中，∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节　等腰三角形
课时3　等腰三角形的判定（1）
探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．通过实例体会反证法的含义．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
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第一章　三角形的证明
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等腰三角形的判定定理
1．（衔接回顾）性质：（1）等边对________；
（2）三线合一．
2．判定：有两个角________的三角形是等腰三角形，简述：____________．
几何语言：
如图，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，
∴________．
等角
相等
等角对等边
AB＝AC
3.定理证明：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.
证明：如答图1，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D.
答图1
∴∠BAD＝∠CAD.
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB＝AC.（答案不唯一）
例1　（新BS八下P12）已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形．
证明：在△ABD和△DCA中，
∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠ADB＝∠DAC.
∴AE＝DE.
∴△AED是等腰三角形．
训练　1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BP和CQ相交于点O.求证：△BCO是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BP平分∠ABC，CQ平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴OB＝OC.
∴△BCO是等腰三角形．
反证法
证明时，先假设命题的________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相________的结果，从而证明命题的结论一定________，这种证明称为反证法．
结论
矛盾
成立
例2　（新BS八下P13改编）用反证法证明“一个三角形中不能有两个直角”，补全下列证明过程．
已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设________________，
即________＝90°，________＝90°.
∴__________________________________．
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“________________”的假设不成立．
所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
∠A和∠B是直角
∠A
∠B
∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠C＞180°
∠A和∠B是直角
利用反证法证明的关键是要确定结论的反面是什么，然后寻求与已知相矛盾的结果．
常见的几组相反概念：至少有一个&没有一个；都&不都；≥&＜.
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1.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°.若AB＝6 cm，则AC的长为（　　）
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
C
2.（2025深圳期中）用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设（　　）
A.∠A＝∠B B．AB＝AC
C．∠A＝∠C D．∠B＝∠C
D
3．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，在添加下列条件后，仍不能判断△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．BD＝DC
B．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠DAC
D．S△ABD＝S△ACD
C
4.【应用意识】（新BS八下P18改编）如图，一艘轮船从A处出发，以18 n mile/h的速度向正北航行，经过10 h到达B处．分别从A，B两处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从B处到灯塔C的距离为________n mile.
180
5．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP＝CD.求证：△DBP是等腰三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD平分∠ABC.
∵CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP.
又∵∠ACB＝∠CPD＋∠CDP＝60°，
∴∠CPD＝30°.∴∠CPD＝∠DBC.
∴DB＝DP.∴△DBP是等腰三角形．
6．【结论发现】（1）如图1，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN按如图所示的位置摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC相交于点P.猜想△DOP的形状，并进行证明．
图1
解：△DOP是等腰三角形．证明如下：
∵OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠BOP.
∵DN∥EM，即DP∥OM，∴∠DPO＝∠BOP.
∴∠DOP＝∠DPO.∴OD＝DP.∴△DOP是等腰三角形．
归纳：角平分线＋平行线→等腰三角形．
【结论应用】（2）如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BD，CD分别平分∠ABC与∠ACB，过点D作直线EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，求△AEF的周长．
图2
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB.
∵BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB.
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD.
∴ED＝EB，FD＝FC.
∵AB＝5，AC＝6，
∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝5＋6＝11.
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1．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设(　　)
A．a，b中至多有一个是0
B．a，b中只有一个是0
C．a，b中没有一个是0
D．a，b都是0
C
2．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形．

证明：∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB.
∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B.
∴CE＝CB.
∴△CEB是等腰三角形．
3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．在边AB上截取BE＝BC，连接DE.除了△ABC之外，图中还有几个等腰三角形？请选择其中一个加以证明．
解：图中还有4个等腰三角形（△ADE，△BDE，△BCD和△ABD）．
选择△BCD.证明如下：
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝72°.
∴∠BDC＝∠C.∴BC＝BD.
∴△BCD是等腰三角形．
（答案不唯一．从4个中任选1个进行证明即可）(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节　三角形内角和定理
课时1　三角形内角和定理（1）
探索并证明三角形的内角和定理．（运算能力、几何直观、推理能力、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________．
例1　如图，已知△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.下面已经给出两种添加辅助线的，请将证明过程补充完整．
180°
一　证明：如图，延长BC到点D，过点C作射线CE，使CE∥BA.
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
二　证明：如图，过点A作直线DE，使DE∥BC.
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠BAC＋∠1＋∠2＝180°.
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
例2　在△ABC中．
（1）若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C＝________°；
（2）若∠A＝50°，则∠B＋∠C＝________°；
（3）若∠A＝30°，∠B＝2∠A，则∠C＝________°.
80
130
90
训练　1.写出下列各图中α的度数．
①α＝________；
②α＝________；
③α＝________．
60°
60°
53°
例3　在△ABC中，∠B＝∠A＋30°，∠A＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∵∠B＝∠A＋30°，∠A＝∠C，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋（∠A＋30°）＋∠A＝180°.
解得∠A＝50°.
∴∠B＝50°＋30°＝80°，∠C＝50°.
训练　2.在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，
∴可设∠A＝3x，∠B＝2x，∠C＝x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋2x＋x＝180°.解得x＝30°.
∴3x＝90°，2x＝60°.
∴∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°.
例4　（新BS八下P3）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
三角形内角和与高、角平分线的综合
解：在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.
∵∠B＝38°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°－38°－62°＝80°.
在△ADB中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°.
∵∠B＝38°，∠BAD＝40°，
∴∠ADB＝180°－38°－40°＝102°.
训练　3.（新BS八下P8改编）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°.
在△AEC中，∠CAE＋∠AEC＋∠C＝180°.
∵∠C＝60°，∠AEC＝90°，∴∠CAE＝180°－60°－90°＝30°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝10°.
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1．在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠A＋50°，则∠A的度数为________，∠B的度数为________，∠C的度数为________．
40°
50°
90°
2．（2018广东）如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
3．【跨学科】如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去．若∠1＝∠2，则∠2的度数为________．
30°
4．（新BS八下P8）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.
求证：∠A＝∠DCB.
证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
在△BCD中，∠DCB＋∠B＋∠CDB＝180°.
∴∠DCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠DCB.
5．（新BS八下P4改编）我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，请用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它．
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠C＝180°－（∠A＋∠B），∠F＝180°－（∠D＋∠E）.
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
又∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
6．（新BS八下P8改编）如图，F为△ABC内一点，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB.
（1）若∠A＝70°，求∠F的度数；
解：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
∵∠A＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°.
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
在△FBC中，∵∠F＋∠FBC＋∠FCB＝180°，
∴∠F＝180°－∠FBC－∠FCB＝125°.
（2）猜想∠F与∠A的数量关系为__________________．
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1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝100°，则∠C的度数为(　　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
B
2．在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为(　　)
A．18° B．36°
C．54° D．90°
C
3．如图，AB∥CD，∠A＝55°，∠CED＝60°，则∠D的度数为(　　)
A．45°
B．60°
C．65°
D．75°
C
4．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________°.
300
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2.求证：△ADE为直角三角形．
证明：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.
∴△ADE为直角三角形．(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第四节　线段的垂直平分线
课时1　线段的垂直平分线（1）
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（几何直观、空间观念、推理能力、模型观念）
课标要求
第一章　三角形的证明
随堂测
课堂讲练
课堂检测
课堂讲练
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线段垂直平分线的性质定理
1．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．
2．几何语言（如图）：
∵CP是AB的垂直平分线，
∴________．
相等
PA＝PB
3.定理证明：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．求证：PA＝PB.
证明：当点P不与点C重合时，∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°.
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴PA＝PB.
当点P与点C重合时，明显PA＝PB.
例1　如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接DB.
（1）∠AED＝∠BED＝________，AE＝________，AD＝_______；
（2）若AE＝12，DE＝5，则BD的长为________；
（3）若AC＝12，BC＝5，则△BCD的周长为________.
90°
BE
BD
13
17
例2　（新BS八下P30）已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点．
求证：∠ECF＝∠EDF.
证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，点E，F在AB上，
∴EC＝ED，FC＝FD.
又∵EF＝EF，
∴△ECF≌△EDF（SSS）.
∴∠ECF＝∠EDF.
训练　1.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若AE平分∠BAC，求∠C的度数．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝60°.
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝90°.
线段垂直平分线的判定定理
1．定理：到一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平分线上．
2．几何语言（如图）：
∵________，
∴点P在AB的垂直平分线上．
（请尝试证明它）
相等
PA＝PB
例3　如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB.则下列说法正确的是（　　）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.点P在AB的垂直平分线上
D.直线l是AB的垂直平分线
C
例4　（新BS八下P29）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，O都在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AO垂直平分线段BC.
训练　2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上的点，BC＝DC，过点D作DE⊥AC，交AB于点E.求证：CE垂直平分线段BD.
证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°.
∴Rt△ECB≌Rt△ECD（HL）.∴BE＝DE.
又∵BC＝DC，
∴点C，E均在线段BD的垂直平分线上．
∴CE垂直平分线段BD.
课堂检测
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1．（2025深圳期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
C
2．（2025梅州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接AE.若∠BAE＝22°，则∠C的度数是（　　）
A．30°
B．32°
C．34°
D．36°
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE，BD和CE相交于点O.求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.
∴∠CBD＝∠BCE，即∠CBO＝∠BCO.∴BO＝CO.
∴点O在线段BC的垂直平分线上．
4．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，
点A，B是方格纸中的两个格点（正方形的顶点），在图中找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
B
5.（2025佛山期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）用尺规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
解：如答图1，直线DE即为所求．
答图1
（2）连接BD，求证：DE＝CD.
证明：如答图1.
答图1
∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，DE⊥AB.
∴∠DBE＝∠A＝30°，∠DEB＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°－∠A＝60°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠DBE＝30°.
在Rt△DEB和Rt△DCB中，∠DBE＝∠CBD＝30°，
随堂测
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1．线段AB的垂直平分线上有一点P，若PA＝3，则PB的长为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．无法确定
B
2．如图，AB＝AD，则添加一个条件_______________________，即可得到AC是BD的垂直平分线．
CB＝CD（答案不唯一）　
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＋AD＝BC，则点D在(　　)
A．BC的中点处
B．∠BAC的平分线上
C．AB的垂直平分线上
D．AC的垂直平分线上
D
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝9，BC＝6，DE是AB的垂直平分线．
(1)连接BE，求∠CBE的度数；
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.∴∠A＝∠ABE.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝55°，∠ABE＝35°.
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝20°.
(2)求线段CE的长．
解：设CE＝x，则AE＝AC－CE＝9－x.
∴BE＝9－x.
在Rt△BCE中，∠C＝90°，
∴CE2＋BC2＝BE2，即x2＋62＝（9－x）2.
解得x＝2.5.
∴线段CE的长为2.5.(共39张PPT)
第一章 章末复习
第一章　三角形的证明
典例精析&变式训练
知识要点&对点训练
随堂测
知识点1　三角形内角和定理
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2．推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1.在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A＝3∠B－∠C，则∠B＝________．
45°
2．如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1的度数为（　　）
A．120°
B．105°
C．60°
D．45°
B
知识点2　等腰三角形
性质 1．两底角相等（简述：等边对等角）；
2．顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简述：“三线合一”）
判定 1.（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；
2．有两个角相等的三角形是等腰三角形（简述：等角对等边）
3.在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝50°，则△ABC是________三角形．
等腰
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝53°，则∠B的度数为（　　）
A．37°
B．45°
C．53°
D．60°
A
知识点3　等边三角形
性质 1．三边相等；
2．三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
3．“三线合一”
判定 1．三边都相等的三角形是等边三角形；
2．三个角都相等的三角形是等边三角形；
3．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
5．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC上一点．
（1）若∠DBC＝40°，则∠ABD的度数为________．
（2）若点D为AC中点，AB＝4，则△ABD面积为________．
20°
知识点4　直角三角形
性质 1．两个锐角互余；2．两直角边的平方和等于斜边的平方；
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
判定 1．有两个角互余的三角形是直角三角形；
2．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简述：“斜边、直角边”或“HL”）
C
7.（2025揭阳期中）如图，已知AB＝EF，AD＝EC，BC⊥AE，FD⊥AE，垂足分别为C，D.求证：BC＝FD.
证明：∵AD＝EC，∴AD－CD＝EC－CD，即AC＝ED.
∵BC⊥AE，FD⊥AE，∴∠ACB＝∠EDF＝90°.
∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL）.
∴BC＝FD.
知识点5　反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明称为反证法．
8.（2025茂名期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角
B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角
A
知识点6　逆命题与逆定理
1.逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的________．
2.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的________．
逆命题
真
逆定理
9.（2025梅州期末）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；
②偶数一定能被2整除；③末位数字是5的数，能被5整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
知识点7　线段的垂直平分线
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
拓展：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
3.尺规作图：①已知底边及底边上的高作等腰三角形；②过直线外一点作已知直线的垂线．
10．（2025梅州期中）如图，在△ABC中，点E在BC上，DE垂直平分AB于点D，AE⊥AC，若∠B＝30°，则∠C＝________．
30°
11.已知Rt△ABC，用尺规作边BC上的高AD.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如答图1，线段AD即为所求．
答图1
知识点8　角平分线
1.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
12.如图，OC是∠AOB的平分线，点D在OC上，DP⊥OA于点P，DP＝4，Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
D
C
2.在△ABC中，AB＝8，∠BAC和∠ABC的平分线相交于O，OD⊥AB于点D，△ABO的面积是12，△ABC的面积是45，则AC＋BC为（　　）
A.20
B.21
C.22
D.23
C
3.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.
（1）∠E的度数为________；
30°
（2）求证：BM＝EM.
证明：如答图2，连接BD.
答图2
∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，
由（1）知，∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E＝30°.∴DB＝DE.
又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F.
（1）若∠CAD＝36°，则∠AEF的度数为________；
72°
（2）求证：∠AEF＝∠AFE.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°.
∴∠AEF＝∠BFD.
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE.
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD于点F，延长BF交AC于点E.
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AD，
∴∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝∠AFE＝90°.
∴∠ABE＝90°－∠BAF，∠AEB＝90°－∠EAF.
∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.
∴△ABE为等腰三角形．
（2）连接DE，若∠C＝36°，求∠EDC的度数．
解：∵AB＝AE，AD⊥BF，
∴AD垂直平分BE.∴DB＝DE.
∴∠EBC＝∠BED.∴∠EDC＝2∠EBC.
∵∠ABE＝∠AEB＝∠C＋∠EBC，
∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝2∠C，
∴∠C＋∠EBC＋∠EBC＝2∠C.
∴∠C＝2∠EBC＝36°.∴∠EDC＝36°.
6.（2025河源期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD＝CE，BE＝CF.
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴△DBE≌△ECF（SAS）.∴DE＝EF.
∴△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
解：当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形．
理由：∵∠A＝60°，AB＝AC，
∴∠B＝∠A＝60°.
∵△BDE≌△CEF，∴∠EDB＝∠FEC.
∵∠DEC＝∠DEF＋∠FEC＝∠B＋∠EDB，
∴∠DEF＝∠B＝60°.
又∵DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．
随堂测
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三角形的证明
知识梳理
180°
和
大于
三角形的证明
相等
高
60°
相等
结论
相等
60°　
一半
三角形的证明
互余
互余
两直角边
直角三角形
逆命题
斜边
三角形的证明
两个端点
相等
两边
平分线
易错集训
易错点1　反证法
1．用反证法证明“在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＞∠A，则∠A＜45°”时，应先假设(　　)
A．∠B＜∠A
B．∠B≤∠A
C．∠A＞45°
D．∠A≥45°
D
易错点2　直角三角形全等的判定条件
2．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是__________．
①两条直角边对应相等；②两个锐角对应相等；③一条直角边和斜边对应相等；④一个锐角和一条边对应相等
②
易错点3　与等腰三角形有关的分类讨论
3．(2025梅州期末)若一个等腰三角形有一个内角为82°，则它的底角为__________．
82°或49°
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4 cm，AC＝12 cm.动点P从点A 开始沿AB边以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以
3 cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒(0(1)AQ的长为__________．(用含t的式子表示)
12－3t
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．①当∠APQ＝90°时，
∵∠A＝60°，∴∠AQP＝30°，AP＝t.
②当∠AQP＝90°时，
∵∠A＝60°，∴∠APQ＝30°.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第五节　角平分线
课时1　角平分线（1）
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离________．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，________，________，垂足分别为M，N.
求证：________．证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴________＝________．
∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴________＝________＝90°.
又∵OP＝OP，∴△POM≌△PON（________）.
∴PM＝PN.
相等
PM⊥OA
PN⊥OB
PM＝PN
∠MOP
∠NOP
∠PMO
∠PNO
AAS
2．角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离________的点在这个角的平分线上．
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，且________．
求证：OP平分∠AOB.证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴________＝________＝90°.
相等
PC＝PD
∠PCO
∠PDO
OP
OP
HL
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角平分线的性质
例1　如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于点D，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
C
训练　1.（2025梅州期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，S△DBC＝24，BC＝8，则DE的长为（　　）
A．6　　　　　
B．4
C．3　　　　　
D．不能确定
A
例2　如图，P为∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B.求证：OP⊥AB.
证明：∵OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°.
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
∴OA＝OB.
∴OP是AB的垂直平分线，即OP⊥AB.
训练　2.（新BS八下P40）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴EB＝FC.
角平分线的判定
例3　如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE和BF相交于点D，且BD＝CD.求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∴△BDE≌△CDF（AAS）.∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．
训练　3.如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F.若BD＝CD，∠DBE＝∠C.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠CFD＝90°.
∴△BDE≌△CDF（AAS）.∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
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1．（2025佛山期末）如图，两个完全一样的三角板摆放在△ABC的内部，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
A
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.若AB∶AC＝4∶3，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）
A．4∶3
B．3∶4
C．16∶9
D．9∶16
A
在△ABD和△ACD中，AB∶AC的值与BD∶CD的值有什么数量关系？
3.【实际应用】（新BS八下P37）如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图上标出它的位置（比例尺1∶20 000）．
答图1
解：工地所在位置如答图1所示．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是边AC上一点，且DE⊥AB于点E，AC＝3CD，求∠ABD的度数．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝60°.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠A＝30°，∴AD＝2DE.
∵AC＝AD＋CD＝3CD，∴AD＝2CD.∴DE＝CD.
又∵∠BED＝90°，∠C＝90°，∴BD平分∠ABC.
5．（新RJ八上P53改编）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
（1）求证：AE平分∠BAD；
证明：如答图2，过点E作EF⊥AD于点F.
答图2
又∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，∴CE＝FE.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.∴BE＝FE.
又∵∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD.
（2）判断线段AB，CD，AD之间的数量关系，并说明理由．
解：AD＝AB＋CD.
理由：由（1）知，FE＝CE.
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）.
∴FD＝CD.
同理可得AF＝AB.
∴AD＝AF＋FD＝AB＋CD.
答图2
随堂测
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1．如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上一点，连接PN.若PM＝5，则PN的长不可能是(　　)
A．7
B．6
C．5
D．4
D
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若DE＝5，则DF的长为(　　)
A．2.5
B．4
C．5
D．10
C
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD＝DE，∠B＝20°，则∠BCD的度数为__________°.
35
4．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.(共25张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节　等腰三角形
课时1　等腰三角形的性质（1）
理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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性质定理——等边对等角
1．性质：等腰三角形的两底角______，简述：等边对等角．
2．几何语言：如图，∵AB＝AC，∴____________．
相等
∠B＝∠C
3．定理证明：如图，取BC的中点D，连接AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC，________，AD＝AD，
∴△ABD≌________（SSS）.
∴___________．
BD＝CD
△ACD
∠B＝∠C
例1　下列各图中，AB＝AC，请直接写出x的值．
　
（3） x＝________ 　（4）x＝________
　
（1） x＝________ 　（2）x＝________
70
55
35
60
例2　（新BS八下P11改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC的三等分点，求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D，E是BC的三等分点，∴BD＝CE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴AD＝AE.
训练　1.（新BS八下P16）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.若BD＝BC，则∠A等于多少度？
解：设∠ABD＝x°.∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝x°，∠ABC＝2∠ABD＝2x°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝2x°.
在△BDC中，∠DBC＋∠BDC＋∠C＝180°.
∴x＋2x＋2x＝180.解得x＝36.
∴∠A＝∠BDC－∠ABD＝x°＝36°.
三线合一
等腰三角形顶角的________、底边上的________、底边上的________重合．简述：三线合一．
平分线
中线
高
例3　（新BS八下P16改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠BAC＝108°，求∠BAD的度数；
（2）若AB＝3，BD＝2，求△ABC的周长．
解：∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4.
∵AB＝3，∴AC＝3.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝3＋3＋4＝10.
训练　2.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在边AC上，连接AD，DE.
（1）若∠BAC＝72°，则∠C＝________°；
（2）若EA＝ED，求证：ED∥AB.
54
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.∴∠BAD＝∠CAD.
∵EA＝ED，∴∠CAD＝∠ADE.
∴∠BAD＝∠ADE.∴ED∥AB.
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，下列结论中不一定正确的是（　　）
A.AD⊥BC
B．BD＝CD
C．AB＝2BD
D．∠B＝∠C
C
2．【易错】（1）若等腰三角形的一个底角是40°，则它的顶角的度数是________°；
（2）（2025深圳期中）若等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是____________．
100
50°或80°
在等腰三角形中，若顶角或底角不确定，则需要分类讨论.
3．【应用意识】某城市道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路CD与DF的夹角∠CDF＝54°.若城市规划部门想新修一条道路BF，要求BE＝EF，则∠B的度数为________．
27°
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．已知∠CAD＝20°，求∠BEC的度数．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.
∴∠BAC＝2∠CAD＝40°，∠ADC＝90°.
∴∠ACB＝90°－∠CAD＝70°.
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ACE＝40°＋35°＝75°.
5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE.
（1）若AD是边BC上的高．
①若∠BAD＝20°，则∠EDC＝________°；
②若∠BAD＝50°，则∠EDC＝________°.
10
25
（2）思考：通过以上计算，你发现∠EDC与∠BAD有什么数量关系？请用式子表示：________________.
（3）如图2，若AD不是边BC上的高，其他条件不变，∠EDC与∠BAD是否仍满足上述数量关系？请说明理由．
解：满足．理由如下：
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
又∵∠AED＝∠EDC＋∠C，∴∠ADE＝∠EDC＋∠C.
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝（∠EDC＋∠C）＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
随堂测
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)若∠B＝72°，则∠C＝__________°，∠A＝__________°；
(2)若∠A＝40°，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.
72
36
70
70
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝6，则BD的长为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
A
3．【应用意识】如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚从点A运动到了点A′，则∠OAA′的度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．55°
D．65°
B
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝30°，则∠C 的度数为(　　)
A．45°
B．50°
C．52°
D．55°
B
5．如图，已知AB＝BC＝EC，BE⊥AC于点D.求证：EC∥AB.
证明：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠BCA.
∵BC＝EC，BE⊥AC，
∴AC平分∠BCE.
∴∠ECA＝∠BCA.
∴∠ECA＝∠A.
∴EC∥AB.(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二节　等腰三角形
课时4　等腰三角形的判定（2）
探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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等边三角形的判定
1．（衔接回顾）性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个角都等于________．
2．判定：①三边都相等的三角形是等边三角形（定义）；②三个角都________的三角形是等边三角形；③有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形．
60°
相等
60°
例1　（新BS八下P17）已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°.
∴△ADE是等边三角形．
训练　1.如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC.求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°.
∴∠FAC＝∠DBA＝∠BCE＝30°.
∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°.
∴△DEF是等边三角形．
例2　如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且AD＝CD＝BD，∠B＝30°.求证：△ACD是等边三角形．
证明：∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠BCD＝∠B＝30°.
∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝60°.
又∵AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形．
训练　2.如图，已知△ABC和△ADE，点C在线段AD上，AD平分∠BAE，AB＝AD，∠B＝∠D，连接CE，∠ACE＝60°，求证：△ACE是等边三角形．
证明：∵AD平分∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE.
∴△ABC≌△ADE（ASA）.∴AC＝AE.
又∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________．
几何语言：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝________AB.
你能证明这个结论吗？
一半
例3　如图，在△ABC中，∠C＝90°.
（1）若∠A＝30°，AB＝8，则BC的长为________．
（2）若∠B＝60°，BC＝5，则AB的长为________．
4
10
例4　如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，E是边AB上一点，且BE＝CE.若AE＝2，求AB的长．
解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵BE＝CE，∴∠BCE＝∠B＝30°.
∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.
在Rt△ACE中，∠A＝90°，∠ACE＝30°，∴CE＝2AE.
又∵BE＝CE，AE＝2，
∴AB＝AE＋BE＝AE＋CE＝3AE＝6.
证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠BDC＝90°.
∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠B＝30°.
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1．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　）
A．AB＝BC＝AC
B．∠A＝∠B＝60°
C．∠B＋∠C＝120°
D．∠B＝60°，AB＝AC
C
2.（2025佛山期中）如图，一棵笔直的树被台风吹倒，折断处距离地面 3 m，倒下的部分与地面成 30°角，则这棵树在折断前的高度为________m.
9
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A＝60°.求证：△ABD是等边三角形．
证明：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形．（解法不唯一）
4．【整体思想】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在边BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BE＋CF＝4，则AB＝________．
8
5．如图，一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，轮船以10 海里/时的速度航行2 h后，在B处测得小岛P在北偏西30°方向上．若轮船继续向北航行，则轮船与小岛的最短距离为________海里．
10
6．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E，F分别是边AD，CD上的点，且DE＝CF，连接BE，EF，FB.
求证：（1）△ABE≌△DBF；
证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠A＝∠BDF＝60°，AB＝AD＝DB＝CD.
∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF.
∴△ABE≌△DBF（SAS）.
（2）△BEF是等边三角形．
证明：由（1），得△ABE≌△DBF.
∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF.
∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠EBD＋∠ABE＝∠ABD＝60°.
∴△BEF是等边三角形．
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1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有__________(填序号).
①②③④
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，则BC＝(　　)
A．3
B．4
C．6
D．不确定
A
3．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为∠B＝∠C＝60°，BC＝48 m，则AC的长为(　　)
A．45 m
B．48 m
C．50 m
D．52 m
B
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D是边AB的中点．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
又∵∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形．
(2)若BD＝4，求△ACD的周长．
解：∵AD＝BD，BD＝4，
∴AD＝4.
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD＝4.
∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝12.(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第一节　三角形内角和定理
课时1　三角形内角和定理（1）
探索并证明三角形的内角和定理．（运算能力、几何直观、推理能力、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于________．
例1　如图，已知△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.下面已经给出两种添加辅助线的，请将证明过程补充完整．
180°
一　证明：如图，延长BC到点D，过点C作射线CE，使CE∥BA.
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
二　证明：如图，过点A作直线DE，使DE∥BC.
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠BAC＋∠1＋∠2＝180°.
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
例2　在△ABC中．
（1）若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C＝________°；
（2）若∠A＝50°，则∠B＋∠C＝________°；
（3）若∠A＝30°，∠B＝2∠A，则∠C＝________°.
80
130
90
训练　1.写出下列各图中α的度数．
①α＝________；
②α＝________；
③α＝________．
60°
60°
53°
例3　在△ABC中，∠B＝∠A＋30°，∠A＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∵∠B＝∠A＋30°，∠A＝∠C，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋（∠A＋30°）＋∠A＝180°.
解得∠A＝50°.
∴∠B＝50°＋30°＝80°，∠C＝50°.
训练　2.在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，求∠A，∠B，∠C的度数．
解：∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，
∴可设∠A＝3x，∠B＝2x，∠C＝x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋2x＋x＝180°.解得x＝30°.
∴3x＝90°，2x＝60°.
∴∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°.
例4　（新BS八下P3）如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
三角形内角和与高、角平分线的综合
解：在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.
∵∠B＝38°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°－38°－62°＝80°.
在△ADB中，∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°.
∵∠B＝38°，∠BAD＝40°，
∴∠ADB＝180°－38°－40°＝102°.
训练　3.（新BS八下P8改编）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－40°－60°＝80°.
在△AEC中，∠CAE＋∠AEC＋∠C＝180°.
∵∠C＝60°，∠AEC＝90°，∴∠CAE＝180°－60°－90°＝30°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝10°.
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1．在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠A＋50°，则∠A的度数为________，∠B的度数为________，∠C的度数为________．
40°
50°
90°
2．（2018广东）如图，AB∥CD，且∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
B
3．【跨学科】如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去．若∠1＝∠2，则∠2的度数为________．
30°
4．（新BS八下P8）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.
求证：∠A＝∠DCB.
证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
在△BCD中，∠DCB＋∠B＋∠CDB＝180°.
∴∠DCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠DCB.
5．（新BS八下P4改编）我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，请用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它．
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠C＝180°－（∠A＋∠B），∠F＝180°－（∠D＋∠E）.
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
又∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
6．（新BS八下P8改编）如图，F为△ABC内一点，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB.
（1）若∠A＝70°，求∠F的度数；
解：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
∵∠A＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝110°.
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
在△FBC中，∵∠F＋∠FBC＋∠FCB＝180°，
∴∠F＝180°－∠FBC－∠FCB＝125°.
（2）猜想∠F与∠A的数量关系为__________________．
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1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝100°，则∠C的度数为(　　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
B
2．在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为(　　)
A．18° B．36°
C．54° D．90°
C
3．如图，AB∥CD，∠A＝55°，∠CED＝60°，则∠D的度数为(　　)
A．45°
B．60°
C．65°
D．75°
C
4．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________°.
300
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2.求证：△ADE为直角三角形．
证明：∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠2＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADE＝90°.
∴△ADE为直角三角形．(共30张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第三节　直角三角形
课时1　直角三角形的性质与判定
第一章　三角形的证明
随堂测
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理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）
课标要求
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直角三角形中角的性质与判定
互余
互余
例1　在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC是（　　）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
A
训练　1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是________．
60°
例2　（新RJ八上P14改编）如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE＝∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE.
训练　2.如图，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠ADC＝90°.
∴△ACD是直角三角形．
直角三角形中边的性质与判定
斜边
平方
B
训练　3.已知直角三角形的两边长分别为5和12，则这个直角三角形的第三边的长为__________．
例4　如图，在△ABC中，AB＝20，BC＝16，AC＝12，点D是BC上一点，且BD＝7.
（1）试判断△ABC的形状；
解：∵AB2＝202＝400，BC2＝162＝256，AC2＝122＝144，
∴AB2＝BC2＋AC2.
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
（2）求AD的长．
解：∵BC＝16，BD＝7，∴CD＝BC－CD＝9.
在Rt△ACD中，AC＝12，CD＝9，
训练　4.（新BS八下P23改编）如图，在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，BC边上的中线AD＝12 cm.
（1）求证：△ABD是直角三角形；
证明：∵AD是BC边上的中线，BC＝10，
在△ABD中，AB2＝132＝169，AD2＝122＝144，BD2＝52＝25，
∴BD2＋AD2＝AB2.∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°.
（2）求AC的长．
解：由（1），得∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
逆命题与逆定理
逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和________，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的________．
逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的________．
结论
条件
逆命题
真
逆定理
例5　写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假．
（1）等腰三角形有两个相等的角；
（2）等边三角形是锐角三角形；
（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
解：（1）逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．原命题和逆命题都是真命题．
（2）逆命题：锐角三角形是等边三角形．原命题是真命题，逆命题是假命题．
（3）逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.原命题是假命题，逆命题是真命题．
训练　5.下列说法：①每个命题都有逆命题；②每个定理都有逆定理；③真命题的逆命题是真命题；④假命题的逆命题是真命题；⑤命题“若a＝b，则a3＝b3”的逆命题是假命题．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
　原命题成立时，逆命题不一定成立．同样地，原命题不成立时，逆命题也可能成立．
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C
2．【跨学科】如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
D
4．下列命题：①内错角相等，两直线平行；②如果a＝b，那么ac＝bc；③等边三角形的三个角都相等；④锐角与钝角互为补角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
C
5.（新BS八下P47改编）如图，在四边形BCDE中，∠C＝∠BED＝90°，∠B＝60°，延长CD，BE，两线相交于点A.已知CD＝2，DE＝1，求Rt△ABC的面积．
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°－∠C－∠B＝30°.
∵∠C＝∠BED＝90°，DE＝1，
∴AB＝2BC，AD＝2DE＝2.
∵CD＝2，
∴AC＝AD＋CD＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
即42＋x2＝（2x）2.
设BC＝x，则AB＝2x.
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1．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，∠B＝34°，则∠C的度数为__________．
56°
3.如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB为1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板AC搭成一个斜面，已知BC的距离为2 m，则木板AC的长为(　　)
A．2 m
B．2.2 m
C．3 m
D．2.5 m
D
4．写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假．
(1)如果x＝y，那么x2＝y2；
(2)直角三角形中有两个锐角．

解：（1）逆命题：如果x2＝y2，那么x＝y.原命题是真命题；逆命题是假命题．
（2）逆命题：有两个锐角的三角形是直角三角形．原命题是真命题；逆命题是假命题．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，BC＝10，CD＝6，求∠ADC的度数．
解：如答图1，连接BD.
答图1
∵AB＝AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．
∴BD＝8，∠ADB＝60°.
又∵BC＝10，CD＝6，
∴BD2＋CD2＝82＋62＝102＝BC2.
∴△BDC为直角三角形，且∠BDC＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°.(共26张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第四节　线段的垂直平分线
课时2　线段的垂直平分线（2）
能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．（几何直观、空间观念、推理能力、应用意识）
课标要求
第一章　三角形的证明
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已知底边及底边上的高作等腰三角形
例1　（新BS八下P31）如图，已知线段a，h.用尺规作△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h.
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
　答图2
解：如答图2，△ABC即为所求．
已知底边a和底边上的高h作等腰三角形ABC（BC为底边）的一般步骤：①作线段BC，使BC＝a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在l上作线段DA，使DA＝h；④连接AB，AC.△ABC即为所求．
过一点作已知直线的垂线
例2　（新BS八下P31改编）如图，已知直线l和一点P.求作：过点P的直线n，使n⊥l.
答图3
　答图4
解：如答图3、答图4，直线n即为所求．
训练　2.（新BS八下P33改编）如图，已知△ABC，完成下列尺规作图：（不要求写出作法）
（1）AC边上的高；
（2）BC边上的高．
答图5
解：（1）如答图5，线段BD即为所求．
（2）如答图5，线段AE即为所求．
过直线外一点（点P）作已知直线（直线l）的垂线的一般步骤：①任取一点Q，使点Q与点P在直线l的两旁；②以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B；③作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线．
三角形三边垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
例3　（新BS八下P32改编、新RJ八上P11改编）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P，连接PA，PB，PC.
（1）求证：PA＝PB＝PC；
证明：∵点P分别在边AB，BC的垂直平分线上，
∴PA＝PB，PB＝PC.
∴PA＝PB＝PC.
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得出什么结论？
解：∵PA＝PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
训练　3.如图，△ABC三条边的垂直平分线相交于点P，且∠BAC＝50°，则：
（1）AP＝________＝________；
（2）∠ABP＋∠ACP＝________°；
（3）∠PBC＋∠PCB＝________°；
（4）∠PBC＝________°，∠BPC＝________°.
∠BAC与∠BPC之间满足什么数量关系？
BP
CP
50
80
40
100
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1．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交边BC于点O.若BO＝3，则BC的长为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
B
2．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P，连接PA，PB，PC.若∠PAD＝45°，则∠ABC＝________°.
45
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，G，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接AD，AE.若△ADE的周长为13，DE＝2，则BC的长为________．
9
4．【应用意识】如图，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富居民的文生活，社区拟建一个文活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文活动中心（用点D表示）的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
答图6
解:如答图6，点D即为所求．
5．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，且AB＝AD，AE是边BC上的高，垂足为E.
（1）根据题目已知信息补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
答图7
解：补全图形如答图7所示．
（2）若AC＝24，AB＝13，求BD的长．
解：∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE.
∴BD＝2BE.
∵AC＝24，∠C＝30°，
∴BD＝2BE＝10.
答图7
6．（新BS八下P34改编）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴BD＝AD，FA＝FC.
∴∠BAD＝∠B＝30°，∠CAF＝∠C＝50°.
∴∠DAF＝∠BAC－∠BAD－∠CAF＝100°－30°－50°＝20°.
（2）若△DAF的周长为18，求BC的长．
解：由（1），得BD＝AD，FA＝FC.
又∵△DAF的周长为18，
∴BC＝BD＋CF＋DF＝AD＋AF＋DF＝18.
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1．如图，O是△ABC内一点，且OA＝OB＝OC，则点O是△ABC(　　)
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
D
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC.若PA＋PB＋PC＝12，则PB＝__________．
4
4．如图，求作等腰三角形，使它的底边和底边上的高均等于已知线段a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).
解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1

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