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安徽省亳州2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分是150分，考试时间是120分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷” 一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1.实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2.在年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅度的协同动作，其重复定位精度可达米数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是一种斗形构件“三才升”的示意图，则它的主视图为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.若实数是满足的整数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.若，为一次函数图象上两点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知实数，满足，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，为中点，以为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点欧几里得在几何原本中利用该图解释了现以点为圆心，为半径作圆弧交线段于点，连结，记的面积为，图中阴影部分的面积为若点，，在同一直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式：______．
12.若，则的值为 ．
13.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是 ．
14.如图，矩形的边为，为，是的中点，是上的动点，过点作分别交边，于点，．
：的值为 ；
的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中，．
16. (本小题8分)
某服装店购进，两种款式夏季恤衫共件，这两种恤衫的进价与售价如下表：
款式 进价元件 售价元件
款
款
如果购进这两种夏季恤衫花费元，那么，两种夏季恤衫分别购进多少件？
销售完这批夏季恤衫获得的利润是多少元？
17. (本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的；
以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为，并写出点的坐标；
仅利用无刻度直尺在线段上找一点，使得A.
18. (本小题8分)
实验是培养学生创新能力的重要途径如图是近期初三某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．
求试管口与铁杆的水平距离的长度；结果用含非特殊角的三角函数表示
实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点点，，，在一条直线上，经测得：，，求线段的长度结果用含非特殊角的三角函数表示
19. (本小题10分)
综合与实践
主题：设计多功能桌．
素材：若干圆形桌面材料．
步骤：如图，圆形材料圆心为、半径为，从中裁去一个以点为圆心、为半径的圆，得到如图所示的圆环：
步骤：将圆环等分，得到个扇形环桌面；
步骤：重复上述步骤制作若干扇形环．
猜想与证明：
若拼接后的桌面尺寸如图所示，则______，______；
用中算出的数据求图中多功能桌面的面积．
20. (本小题10分)
如图，在中，，与相切于点，且经过边的中点，连接并延长交于点．
求证：．
若，求的半径．
21. (本小题12分)
【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
一现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成个小组表示成绩，单位：米进行整理组：；组：；组：；组：；组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图不完整规定为合格，为优秀．
二该项活动中有名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩单位：个分钟进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
成绩个分钟
人数
【数据分析与应用】
任务一掷实心球的女生有______人，其中成绩合格的有______人；
任务二掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由；
任务三将跳绳个数在的选手依次记为，，，从中随机抽取两名选手做经验交流请用树状图或列表法求恰好抽取到选手，的概率．
22. (本小题12分)
已知，如图，正方形中，为边中点，将沿折叠得到对应，交于点．
求证：；
如图，延长交于点，求的值；
如图，连接，相交于点，连接，求证：．
23. (本小题14分)
已知二次函数的图象过点，点和点．
若点，求二次函数表达式．
当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
若且，求证：．
【参考 答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.
12.2026
13.
14.

15. 化简为，值为．
16. 种夏季恤衫购进件、种夏季恤衫购进件 销售完这批夏季恤衫获得的利润是元
17. 关于轴对称的，如图即为所求； 它与的相似比为的，如图即为所求；
使得的点，如图即为所求．

18.
19.
20. 【小题】
证明：如图，连接．
与相切于点，
，
．
，
．
，，
，
，
，
；
【小题】
解：，
．
又，，
，
边的中点，
，
如图，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
即的半径为．

21.
22. 【小题】
证明：如图，连接．
将沿折叠得到对应，
，
为边中点，
，
，，
，
．
【小题】
解：如图，连接，
，
，
平分，
，
，，
．
设，
，
，
，，
，，，
．
【小题】
解：如图，连接，作，垂足为．
平分，平分，
平分．
又平分，
由可知，，
，，
，
，
．

23. 解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
解：抛物线解析式为，
即，
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最值，
当时，时，；，，
，
，
解得；
当时，时，；，，
，
，
解得；
综上所述，的值为或；
证明：，，
，
，，
，
即．

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