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2025-2026 2学年九年级下学期 3月月考数学试题 7．二次函数 y＝a（x﹣4） +4的图象在﹣1＜x＜1这一段位于 x轴的上方，在 9＜x＜10这一段
位于 x轴的下方，则 a的值为（ ）
一．单项选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分。在每小题列出的四个备选项中， A． B． C． D．﹣1
只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。） 8．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则 sinB的值为（ ）
1．已知点（m，4）在反比例函数 上的图象上，则 m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣8 D．8
2．已知 x＝1是一元二次方程 x2﹣m＝0的一个解，则 m的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 A． B． C． D．
3．若 a，b为一元二次方程 x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则 a2﹣5a+2ab+5的值为（ ） 9．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠A＝130°，则∠C的度数为（ ）
A．4 B．5 C．﹣5 D．﹣4
4．如图是一个小山坡的剖面图，现在要在这个山坡上植树，植树的工作人员发现，沿着山坡每
走 3米，垂直高度就上升 1米，则这个小山坡的坡度为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
A．3 B．1：3 C． D．2：1
10．如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 a、b与 l1、l2、l3分别交于点 A、B、C和点 D、E、F，若 AB：
5．从鱼塘中捕得 120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得
BC＝1：2，DF＝12，则 EF的长为（ ）
100条鱼，发现其中有记号的鱼 10条，可以估计鱼塘中鱼的数量（ ）
A．1000 B．1200 C．800 D．2400
6．如图，在⊙O中，弦 AB所对的圆周角∠C＝45°， ，则⊙O直径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．2 B．1 C． D．
A．向右平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度
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B．向右平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度
C．向左平移 1个单位长度，再向上平移 2个单位长度
D．向左平移 1个单位长度，再向下平移 2个单位长度
12．如图，矩形 ABCD∽矩形 DEFG，连接 AF、CG、DF，要求出△CDG的面积，只需要知道
下面哪个图形的面积（ ）
16．如图，Rt△ABC顶点 A落在 y轴上，斜边上的中线 CD⊥x轴于点 D，O为坐标原点，反比
例函数 经过直角顶点 C，若△BCD的面积为 5，则 k的值为 ．
A．矩形 ABCD的面积 B．四边形 ABCG的面积
C．△DEF的面积 D．△ADF的面积
二．填空题（本大题共 4小题，每小题 3分，共 12分。请将答案填在答题卡上。）
13．已知 ，那么 ．
14．如图，点 D，E分别在△ABC边 AB，AC上，且 DE∥BC，AD＝2，BD＝1，则 的值
三．解答题（本大题共 7小题，共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或浣算步骤。）
是 ．
17．（8分）（1）计算： ；
（2）解下列方程：5x（x﹣1）＝2﹣2x．
18．（10分）如图，一次函数 y＝x+5的图象与反比例函数 （k为常数且 k≠0）的图象相
交于 A（﹣1，m），B两点．
15．如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕点 A逆时针旋转到△ADE，
（1）求反比例函数的表达式；
使 AB的对应边 AD恰好在 AC上，若 AB＝ 1，则旋转过程中 C点经过的路径
（2）在 y轴上有一动点 E，当 EA+EB最小时，求点 E的坐标；
是 ．
（3）将一次函数 y＝x+5的图象沿 y轴向下平移 b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例
函数 的图象有且只有一个交点，求 b的值．
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（2）若⊙O的半径为 3，∠FCG＝30°，求 AC的长．
19．（10分）4月 24日，“中国航天日”主题展在滨湖国际会展中心主展馆举行，掀起了一股航
天热．展后某校在七、八年级举行了“航天点亮梦想”知识比赛．从七、八年级各随机抽取
了 10名学生的比赛成绩（百分制），成绩整理，描述和分析如下：（八年级成绩得分用 x表示，
21．（10分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学 2018年投资 20万元新增一
共分成四组：A.80≤x＜85．B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x＜100）七年级 10名学生的
批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资 33.8万元．
成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84．
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
八年级 10名学生成绩数据中，在 C组中的是：94，90，92．
（2）从 2018年到 2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 96 34.4
22．（12分）如图，点 C为矩形 ABCD和正方形 CEFG的公共顶点，点 E，F在矩形的边 AD，
八年级 92 b 100 50.4
AB上．
根据以上信息，解答下列问题 （1）求证：AE＝CD；
（1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由； （2）连接 GE，若 CD＝4，F是 AB的中点，求 GE的长；
（2）求出统计图中 a的值以及表格中 b的值； （3）在（2）的条件下，猜想 FH和 GH的数量关系，并说明理由．
（3）该校七年级共 680人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（x≥90）的七年级学
生人数是多少？
20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点 D，DF∥AB交 BC于点 E，交⊙O
于点 F，连接 AF，CF，∠FCG＝∠FAC．
（1）求证：直线 CG是⊙O的切线；
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23．（12分）（一）拓展探究
如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D．
（1）兴趣小组的同学得出 AC2＝AD AB．理由如下：
∵∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A，
∴∠A+∠B＝90°， ∴△ABC∽△ACD，
∵CD⊥AB， ∴ ②，
∴∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD AB．
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝①．
请完成填空：① ；② ；
（2）如图②，F为线段 CD上一点，连接 AF并延长至点 E，使∠AEB＝90°，连接 CE，求
证：∠EAB＝∠ECB；
（二）学以致用
（3）如图③，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2， ，平面内一点 D，
满足 AD＝AC，连接 CD并延长至点 E，且∠CEB＝∠CBD，当线段 BE的长度取得最小值时，
求线段 CE的长．
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参考答案 ∴当 x＝﹣1时，m＝﹣1+5＝4，
∴A（﹣1，4），
一．选择题
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
反比例函数解析式：y ；
答案 A A A C B A A B D C B D
（2）根据题意可得：x+5 ，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4，
二．填空题
则 y1＝4，y2＝1，
13． ． 即 B（﹣4，1），A（﹣1，4），
14． ． ∴B（﹣4，1）关于又轴对称点 B′（4，1），
连接 AB′交 y轴与 E点，此时 EA+EB最小，
15． π．
设直线 AB′为：y＝k′x+b′，
16．10．
则 ，
三．解答题
解得： ，
17．解：（1）原式 2+1+2 4
∴直线 AB′为：y x ，
＝3 3；
当 x＝0时，y 0 ，
（2）5x（x﹣1）＝2﹣2x，
5x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， 即 E（0， ）；
（x﹣1）（5x+2）＝0， （3）设一次函数 y＝x+5的图象沿 y轴向下平移 b个单位（b＞0）后为 y＝x+5﹣b，
∴5x+2＝0或 x﹣1＝0， 由于和 y 只有一个交点，
∴x1 ，x ＝1． 根据题意可得：x+5 ，2
则 x2+（5﹣b）x+4＝0，
∴Δ＝（5﹣b）2﹣4×1×4＝0，
18．解：（1）∵一次函数 y＝x+5的图象与反比例函数 （k为常数且 k≠0）的图象相交
解得：b＝1或 b＝9．
于 A（﹣1，m），B两点，
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故 b＝1或 9． ∵AD∥BC交⊙O于点 D，DF∥AB交 BC于点 E，交⊙O于点 F，
∴四边形 ABED是平行四边形，
19．解：（1）七年级成绩更稳定， ∴∠B＝∠D，
理由：∵七年级成绩的方差为 34.4，八年级成绩的方差为 50.4， ∵∠B＝∠AFC，∠D＝∠ACF，
∴七年级成绩的方差小于八年级成绩的方差， ∴∠AFC＝∠ACF，
∴七年级成绩更稳定； ∴AC＝AF，
（2）∵八年级学生成绩落在 C组人数所占百分比为 3÷10×100%＝30%， ∵∠FCG＝∠FAC，∠FCG＝30°，
∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即 a＝40； ∴∠FAC＝30°，
八年级 A、B组人数共有 10×（10%+20%）＝3（人）， ∵AC＝AF，OC＝OF，OA＝OA，
∴八年级成绩的第 5、6个数据分别为 92、94， ∴△AOC≌△AOF（SSS），
所以八年级成绩的中位数 b 93； ∴∠OAC＝∠OAF ∠FAC＝15°，
（3）680 408（人）， ∴AO⊥CF于点 F，∠OCA＝∠OAC＝15°，
∴∠AHC＝90°，∠COH＝∠OCA+∠OAC＝15°+15°＝30°，
答：估计参加此次比赛成绩优秀（x≥90）的七年级学生人数是 408人．
∵OA＝OC＝3，
20．（1）证明：连接 OC、OF，则 OC＝OF， ∴CH OC ，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴OH ，
∵∠FCG＝∠FAC ∠FOC，
∴AH＝OA+OH＝3 ，
∴∠FOC＝2∠FCG，
∵∠OCF+∠OFC+∠FOC＝180°， ∴AC ，
∴2∠OCF+2∠FCG＝180°，
∴AC的长为 ．
∴∠OCG＝∠OCF+∠FCG＝90°，
∵OC是⊙O半径，且 CG⊥OC，
∴直线 CG是⊙O的切线．
（2）解：连接并且延长 AO交 CF于点 H，则 OA＝OC＝OF，
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21．解：（1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 x，根据题意得： 在 Rt△AEF中，∠A＝90°，
20（1+x）2＝33.8， ∴EF 2 ，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3 （不合题意，舍去）．
∵四边形 CEFG是正方形，
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 30%．
∴△EFG是等腰直角三角形，
（2）∵2018年投资 2万元，
∴EG EF＝2 ；
∴2019年投资：20（1+30%）＝26（万元）．
（3）FH＝GH，理由如下：
∴该中学三年为新增电脑共投资：20+26+33.8＝79.8（万元）．
由（1）知：△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE＝CD＝4，AF＝DE＝2＝BF，
22．（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形，四边形 CEFG是正方形，
∴BC＝AD＝AE+DE＝6，
∴EF＝CE，∠A＝∠D＝∠CEF＝90°，
设 BH＝x，则 CH＝BC﹣BH＝6﹣x，
∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠CED＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，四边形 CEFG是正方形，
∴∠AFE＝∠CED，
∴△AEF≌△DCE（AAS）， ∴∠B＝∠FGC＝90°，CG＝EF＝2 ，
∴AE＝CD； ∵∠BHF＝∠CHG，
（2）解：如图，连接 EG， ∴tan∠BHF＝tan∠CHG，
∴ ，
∴ ，
∴GH x，
∵四边形 CEFG是正方形， 在 Rt△GCH中，根据勾股定理得：GC2+GH2＝CH2，
∴EF＝FG， ∴（2 ）2+（ x）2＝（6﹣x）2，
∵AB＝CD＝4，点 F是 AB的中点，
解得 x＝1（负值已经舍去），
∴AF AB＝2，
∴GH x ，
∵AE＝CD＝4，
∵BF＝2，BH＝x＝1，
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∴FH ， 如图，以点 A为圆心，2为半径作⊙A，则 C，D都在⊙A上，延长 CA到 E0，使 CE0＝6，
交⊙A于 D
FH GH 0
，
∴ ＝ ．
23．（1）解：①∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
则 CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴CD CE ＝24＝CD CE，
故答案为：∠ACD 0 0，
②∵△ABC∽△ACD， ∴ ，
∴ ， ∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0∽△D0CD，
故答案为： ；
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
（2）证明：∵∠ADF＝∠AEB＝90°，∠FAD＝∠BAE，
∴点 E在过点 E0且与 CE0垂直的直线上运动，
∴△AFD∽△ABE，
过点 B作 BE'⊥E0E垂足为 E′，BE′即为最短的 BE，连接 CE'，
∴ ， ∵∠BCE0＝∠CE0E'＝∠BE'E0＝90°，
∴AF AE＝AD AB， ∴四边形 CE0E'B是矩形，
由（1）得 AC2＝AD AB， ∴E0E′＝BC＝2 ，
∴AC2＝AF AE，
在 Rt△CE0E′中， ，
∴ ，
∴当线段 BE的长度取得最小值时，线段 CE的长为 2 ．
∴△ACF∽△AEC，
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /2 1 0 :4 2 :1 7；用户：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；邮箱：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；学号：2 4 3 3 5 3 5 3
∴∠ACE＝∠AFC，
∵∠ADF＝∠ACB＝90°，
∴∠EAB＝∠ECB；
（3）解：∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
，
∴CD CE＝CB2＝24，
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