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9．2　独立性检验
一、 单项选择题
1 (2024九江期末)设有两个变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
y1 y2
x1 a b
x2 c d
根据下列选项中的数据计算χ2的值，其中χ2最大的一组为(　　)
A. a＝60，b＝50，c＝40，d＝30
B. a＝60，b＝40，c＝50，d＝30
C. a＝40，b＝30，c＝50，d＝60
D. a＝30，b＝40，c＝50，d＝60
2 (2024龙岩月考)设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下，当X与Y的关系最弱时，m的值为(　　)
y1 y2
x1 10 18
x2 m 26
A. 8 B. 9 C. 14 D. 19
3 (2025襄阳期末)某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，下列结论中最准确的是(　　)
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：χ2＝.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.789
A. 有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
4 (2025本溪期初)某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下2×2列联表：
去年体检人数 去年未体检人数 合计
高中教师 70 30 100
初中教师 e f 100
合计 m n 200
若根据列联表得χ2＝，则这200名教师中，去年未体检的人数为(附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d)(　　)
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
5 (2024天津滨海新区期初)在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法中正确的是(参考数据：P(χ2≥6.635)＝0.01)(　　)
①若χ2的观测值满足χ2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若χ2的观测值满足χ2≥6.635，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误．
A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①④
6 为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：
患流感 未患流感
服药 2 18
未服药 8 12
根据表中数据，计算χ2＝，若由此认为“该药物有效”，则在最准确的估计下，该结论出错的概率不超过(　　)
附：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
A. 0.05　　 B. 0.1 C. 0.01　　 D. 0.005
二、 多项选择题
7 (2025辽宁重点中学协作校期中)统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数x0如下表所示．
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关
B. 若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关
C. 若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关
D. 若P(χ2<6)＝a，P(χ2<7)＝b，则a≤b
8 (2025常州期末)为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了2×2列联表如下(个别数据暂用字母表示)：
男 女 合计
优秀 m 27 70
非优秀 58 n 110
合计 a b 180
经计算得χ2≈1.315，参照下表：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则下列选项中正确的为(　　)
A. m＝43
B. b＝79
C. 可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”
D. 没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”
三、 填空题
9 已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ2≈4.328，部分临界值表如下：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
则最大有________的把握认为变量X，Y有关系．
10 为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得到以下数据：
无效 有效 合计
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100
设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的观测值k≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性不超过________．
11 (2025南通期初)随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男、女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N*).通过计算有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为________．
支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
四、 解答题
12 (2025河南期初)某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验．甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法．学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀(550分及以上)和非优秀(550分以下)两个等级，以下是实验结果的列联表：
优秀 非优秀 合计
甲校 150
乙校 200
合计 270 400
(1) 请根据以上信息，完成列联表；
(2) 根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
13 (2025杭州学军中学月考)手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞．若某人一天的行走步数超过8 000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”．从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据：
积极型 懈怠型 合计
男
女 10
合计 70
(1) 能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2) 以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率．若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为X，求随机变量X的数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.050 0.025 0.010 0.005
x0 3.841 5.024 6.635 7.879
9．2　独立性检验
1. C　对于A，χ＝＝；对于B，χ＝＝；对于C，χ＝＝；对于D，χ＝＝，显然χ最大，故C正确．
2. C　在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.
3. D　依题意可得列联表如下：
男生 女生 合计
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
合计 150 50 200
所以χ2＝≈6.06<6.635，所以没有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，进而没有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，故A，B错误；又χ2≈6.06>3.841>2.706，最准确的是在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，故D正确．
4. D　由于χ2＝＝＝(*)，又m＝70＋e，n＝30＋f，100＝e＋f，200＝m＋n，则m＝200－n，f＝n－30，e＝130－n，代入(*)式可得38n2－4 600n＋135 000＝0，解得n＝50或n＝(舍去).
5. D　若χ2的观测值满足χ2≥6.635，则我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，而得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有1%的可能性使推断出现错误，但不能说明100个吸烟的人中约有99人患有肺病，也不能说明每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病．故①④正确，②③错误．
6. A　由题意，得χ2＝＝4.8>3.841，由临界值表可知，认为“该药物有效”，且该结论出错的概率不超过0.05.
7. ACD　对于A，因为χ2＝12.502，P(χ2≥10.828)＝0.001，12.502>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A正确；对于B，因为χ2＝11.483，P(χ2≥10.828)＝0.001，11.483>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故B错误；对于C，因为χ2＝11.004，P(χ2≥3.841)＝0.05，11.004>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为A与B有关，故C正确；对于D，因为χ2分布是单调递增的累积分布函数，所以P(χ2<6)≤P(χ2<7)，即a≤b，故D正确．故选ACD.
8. ABD　对于A，B，由2×2列联表知，m＝70－27＝43，n＝110－58＝52，b＝27＋n＝79，故A，B正确；对于C，D，由χ2≈1.315<2.706<3.841知，C错误，D正确．故选ABD.
9. 95%　因为χ2≈4.328>3.841，所以最大有95%的把握认为变量X，Y有关系．
10. 4.882　5%　由题意，得χ2＝≈4.882>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有不超过5%的可能性出错．
11. 66　因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以≥3.841，即(m－10)2≥28.807 5.因为函数y＝(m－10)2在10≤m≤20时单调递增，且m∈N*，(15－10)2<28.807 5，(16－10)2>28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66.
12. (1)
优秀 非优秀 合计
甲校 150 50 200
乙校 120 80 200
合计 270 130 400
(2) 根据列联表中的数据，得
χ2＝≈10.256>7.879，
故有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关．
13. (1) 2×2列联表如下：
积极型 懈怠型 合计
男 20 30 50
女 10 40 50
合计 30 70 100
则χ2＝≈4.762>3.841，
所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
(2) 从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为p＝＝，
随机变量X的可能值为0，1，2，3，X～B，
则P(X＝0)＝C×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C×＝，
所以X的概率分布如下：
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝.

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