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第7章计数原理
一、 单项选择题
1 A＋C的值为(　　)
A. 13 B. 16
C. 23 D. 26
2 (2－)6展开式中的常数项为(　　)
A. 120 B. －120
C. 240 D. －240
3 (2025南昌期末)小花准备将一颗黄色小番茄、一颗红色小番茄、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗小番茄不相邻，则不同的串法有(　　)
A. 36种 B. 48种
C. 72种 D. 144种
4 (2025南阳期末)(x2－x＋1)(x＋1)5的展开式中，x4项的系数为(　　)
A. －55 B. 1
C. 5 D. 11
5 (2025天津滨海新区期中)对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的涂色方法有(　　)
A. 120种
B. 360种
C. 420种
D. 240种
6 (2025江西期初)将6本不同的书(包括1本物理书和1本历史书)平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是(　　)
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
二、 多项选择题
7 (2025无锡期末)已知f(x)＝(2x－3)n的展开式的二项式系数的和为512，且f(x)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＋a2＋…＋an＝1
B. |a0|＋|a1|＋…＋|an|＝39
C. f(6)除以8所得的余数为1
D. a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝18
8 (2025眉山期中)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论中正确的有(　　)
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
三、 填空题
9 (2025台州期初)若(1＋x)n的展开式中x2的系数为15，则n＝________．
10 (2024郑州期中)若C＋C＋C＋C＋…＋C＝C，则m＝________．
11 (2025南京期初)有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有________种．
四、 解答题
12 (2025莆田期末)
(1) 求 展开式中的常数项；
(2) 求(1＋2x)4的展开式中，二项式系数最大的项；
(3) 已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求a1＋a2＋a3＋a4的值．
13 在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．
(1) 从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的选法有多少种？
(2) 从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？
1. C　A＋C＝5×4＋＝23.
2. C　(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6-r·(－x-1)r＝C(－1)r26-rx，令＝0，得r＝2，故常数项为T3＝C(－1)2×24＝240.
3. C　先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序，然后将两颗小番茄插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中，从4个空位中抽取2个空位进行排序，由插空法可知，不同的串法有AA＝72(种).
4. C　因为(x2－x＋1)(x＋1)5＝(x3＋1)(x＋1)4＝x3(x＋1)4＋(x＋1)4，(x＋1)4的二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx4-r，所以x4项的系数为C＋C＝5.
5. C　如图，设四棱锥为PABCD.由题意，点P，A，B分别有5种，4种，3种涂法，当点C与点A颜色相同时，点C有1种涂色方法，此时点D有3种涂色方法；当点C与点A颜色不相同时，点C有2种涂色方法，此时点D有2种涂色方法．综上，不同的涂色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种).
6. B　第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，有A种分配方法；第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有×A种分配方法，所以共有A××A＝12(种)分配方法．
7. BCD　根据题意可知2n＝512，则n＝9，故(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9.对于A，令x＝2，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，则－1＝a0，故a1＋a2＋…＋a9＝2，故A错误；对于B，(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，故a0，a2，…，a8为负值，a1，a3，…，a9为正值，且当x＝0时，(－3)9＝a0－a1＋a2－…－a9，则|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝－a0＋a1－a2＋…＋a9＝－(a0－a1＋a2－…－a9)＝39，故B正确；对于C, f(6)＝99＝(1＋8)9＝1＋C81＋C82＋…＋C89，故f(6)除以8所得的余数为1，故C正确；对于D，对(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9求导可得18(2x－3)8＝a1＋2a2(x－1)＋…＋9a9(x－1)8，令x＝2，则a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18，故D正确．故选BCD.
8. AC　对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有A＝24(种)方法，故A正确；对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有44－24＝256－24＝232(种)方法，故B错误；对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，再对三个盒子全排共有CCA＝144(种)方法，故C正确；对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有C种，另外三球三盒不能对应共2种，则共有C×2＝8(种)方法，故D错误．故选AC.
9. 6　设二项展开式中的第k＋1(k∈N)项含有x2，即Cxk1n－k中含有x2项，令k＝2，可得C＝15，解得n＝6.
10. 4或16　因为C＝C，所以C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C.又C＋C＝C，所以C＋C＋C＋…＋C＝C＝C，所以m＝4或m＝16.
11. 48　先从四对双胞胎中选出一对，有4种选择，然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有3×2×2＝12(种)选择，根据分步计数原理，总共有4×12＝48(种)选法．
12. (1) 的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6-r·＝Cx12-3r2r，
令12－3r＝0，得r＝4，
故常数项为T5＝C·24＝240.
(2) 根据二项式系数的性质，当n为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大，
故(1＋2x)4的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，T3＝C·(2x)2＝24x2.
(3) 在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1;
令x＝0，得(0－3)4＝a0＝81，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)－a0＝1－81＝－80.
13. (1) 没有女志愿者的选法有C＝6(种)，
所以有女志愿者的选法共有C－C＝21－6＝15(种).
(2) 方法一：第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有CA＝240(种)；第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有CA＝240(种)；第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有CA＝240(种).由分类计数原理，得共有240＋240＋240＝720(种)不同的安排方法．
方法二：男志愿者甲、女志愿者乙都不在内，有CA＝120(种)，则男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有CA－CA＝720(种)不同的安排方法．

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