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第8章 概率
一、 单项选择题
1 (2024天津西青期末)某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为(　　)
A. B. C. D.
2 (2025沧州期初)设随机变量X服从正态分布N(3，4)，若P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，则实数a的值为(　　)
A. 5 B. 3 C. D.
3 (2024西城期末)袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄球，2个白球．现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是(　　)
A. B. C. D.
4 (2025沧州期初)已知随机变量ξ的概率分布为
ξ －1 0 1
P a c
若D(ξ＋2)＝，则E(ξ＋1)等于(　　)
A. 或 B. 或
C. 或－ D.
5 (2024浙江期中)从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为(　　)
A. B. C. D. 2
6 (2025安徽期初)甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动．已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，那么周日游泳的概率为0.7；如果周六游泳，那么周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 下列关于随机变量X的说法中，正确的是(　　)
A. 若X服从二项分布B(4，)，则E(X)＝
B. 若X服从超几何分布H(4，2，10)，则E(X)＝
C. 若X的方差为D(X)，则D(2X－3)＝2D(X)－3
D. 若X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.7，则P(18 (2025辽宁期末)假设A，B是两个事件，且P()＝，P()＝，P(B|A)＝P(B)，则下列结论中正确的是(　　)
A. P(AB)＝ B. P(A)＝
C. P(A|B)＝ D. P(A＋B)＝
三、 填空题
9 (2025榆林期初)已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则P(2≤X≤3)的值为________．
10 (2025潍坊期初)已知随机变量X～N(2，σ2)(σ>0)，若P(X<4)＝0.8，则P(211 (2025徐州期初)阿尔法围棋是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款D级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金；若获胜两次，则可以获得5千元奖金；若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金．已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为X千元，则D(X)的值为________．
四、 解答题
12 (2025南昌期末)袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球．
(1) 求取出的3个球中有2个白球的概率；
(2) 设X表示取到的红球个数，求X的概率分布与数学期望．
13 (2025南通一模)近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个，且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色(分别记为红色、黄色、蓝色)的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为，，.
(1) 若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；
(2) 若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒．若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他．为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．
1. D　记“至少有两次击中目标”为事件A，连续射击三次击中目标的次数为X.由每次射击击中目标的概率均为，得未击中目标的概率均为1－＝，则P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C＋C＝＋＝.
2. D　因为随机变量X服从正态分布N(3，4)，P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，所以根据正态密度曲线的对称性，得2a－3＋a＋2＝6，解得a＝.
3. D　设事件A为“取出的3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则P(A)＝＝.
4. B　由概率分布的性质，得a＋c＋＝1，即a＋c＝①，且E(ξ)＝(－1)×a＋0×＋1×c＝c－a，E(ξ2)＝(－1)2×a＋0×＋12×c＝c＋a.因为D(ξ＋2)＝D(ξ)＝，所以D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2＝(c＋a)－(c－a)2＝②.联立①②，得(c－a)2＝，所以c－a＝±.当c－a＝时，a＝，c＝；当c－a＝－时，a＝，c＝，因为E(ξ＋1)＝E(ξ)＋1＝c－a＋1，所以E(ξ＋1)＝或E(ξ＋1)＝.
5. A　由题意，得抽到的女生人数X的可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
6. D　设事件A为“周六跑步”，事件B为“周日跑步”，则事件为“周六游泳”，事件为“周日游泳”，所以P(A)＝0.6，P(|A)＝0.7，P(B|)＝0.9，P()＝0.4，P(|)＝0.1，所以P()＝P(|A)P(A)＋P(|)P()＝0.7×0.6＋0.1×0.4＝0.46，所以P(A|)＝＝＝＝.
7. AB　对于A，若X服从二项分布B(4，)，则E(X)＝4×＝，故A正确；对于B，若X服从超几何分布H(4，2，10)，则E(X)＝＝，故B正确；对于C，若X的方差为D(X)，则D(2X－3)＝22D(X)＝4D(X)，故C错误；对于D，若X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.7，则P(18. BCD　因为P()＝，P()＝，所以P(A)＝，P(B)＝.对于A，因为P(B|A)＝，P(B|A)＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝，故A错误；对于B，因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立，所以A与相互独立，则P(A)＝P(A)P()＝×＝，故B正确；对于C，因为P(A|B)＝＝P(A)，所以P(A|B)＝，故C正确；对于D，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故D正确．故选BCD.
9. 　因为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，所以＋＋＋＝1，解得a＝，所以P(2≤X≤3)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10. 0.3　因为随机变量X～N(2，σ2)(σ>0)，所以正态密度曲线的对称轴为直线x＝2，所以P(X>2)＝0.5.又P(X<4)＝0.8，所以P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.8＝0.2，所以P(22)－P(X≥4)＝0.5－0.2＝0.3.
11. 　由题意，得X的可能取值为0，2，5，10，则P(X＝0)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝5)＝C＝，P(X＝10)＝C＝，所以E(X)＝0×＋2×＋5×＋10×＝.又E(X2)＝02×＋22×＋52×＋102×＝，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
12. (1) 设“取出的3个球中有2个白球”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2) 由题意，得X的可能取值为0，1，2，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13. (1) 设“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件A，
则P(A)＝C××＝.
(2) 记该顾客打开盲盒的次数为X，
则X的可能取值为1，2，3，4，
且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝＋＋＋＝，
即该顾客的平均花费为元．

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