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第9章统计
一、 单项选择题
1 (2024南阳月考)某老师很喜欢某APP中的“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对的题数y 14 16 18 21 21 a 27
根据最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为＝2x＋12，则a的值为(　　)
A. 22 B. 23 C. 24 D. 25
2 (2025徐州期初)为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如表，则两个变量的线性相关程度(参考数据：＝1 375，＝59 051，＝8 285）(　　)
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A. 很强 B. 很弱 C. 无相关 D. 不确定
3 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：cm），下面图1为选取的15名志愿者身高x与臂展y的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其经验回归方程为＝1.16x－30.75，则下列结论中正确的为(　　)
图1 图2
A. 15名志愿者身高的极差大于臂展的极差
B. 身高相差10 cm的两人臂展都相差11.6 cm
C. 身高为190 cm的人臂展一定为189.65 cm
D. 15名志愿者身高和臂展呈正相关关系
4 (2024陕西月考)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生喜欢观看体育比赛直播是否与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据(5≤m≤15，m∈N).
喜欢观看 不喜欢观看
男生 80－m 20＋m
女生 50＋m 50－m
通过计算，有95%以上的把握认为大学生喜欢观看体育比赛直播与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
A. 55 B. 57 C. 58 D. 60
5 (2025南阳期初)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下：
广告费用x/万元 4 2 3 5
销售额y/万元 49 26 39 54
根据上表可得经验回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时的销售额为(　　)
A. 9.1万元 B. 9.2万元
C. 67.7万元 D. 65.5万元
6 某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”，调查结果如下表所示，则下列结论中正确的是(　　)
高消费群 非高消费群 合计
男 15 35 50
女 10 40 50
合计 25 75 100
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A. 有90%以上的把握认为“高消费群”与性别有关
B. 没有90%以上的把握认为“高消费群”与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“高消费群”与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“高消费群”与性别有关
二、 多项选择题
7 某同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析并绘制表格，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为＝0.65x－1.8，若a，b，c成等差数列，则下列结论中正确的是(　　 )
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A. 变量x与y的样本相关系数r<0
B. b＝3
C. 当x＝6时，残差为－0.1
D. 当x＝20时，y的预测值为11.2
8 (2025甘南模拟)某农科所发明了一种防治玉米病虫害的新药，为了解该药的效果，选用了100粒玉米种子进行试验栽种，栽种后发现这批玉米种子抗病虫害的概率为0.8.在制作2×2列联表时，由于某些因素，缺失了部分数据，得到如下的2×2列联表，则下列结论中正确的是(　　)
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过 该药处理 60
种子没有经 过该药处理 14
合计 100
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A. 这100粒玉米种子没有经过该药处理且抗病虫害的有20粒
B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C. χ2的观测值为13.42
D. 按99.9%的可靠性要求，可以认为“治疗玉米病虫害的新药有效”
三、 填空题
9 (2024长沙月考)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其经验回归方程为＝－2.2x＋，且＝5，＝9，则相应于点(13，－9)的残差为________．
10 (2025河北期初)若两个分类变量X与Y的2×2列联表为
Y
y1 y2 合计
X x1 10 15 25
x2 40 16 56
合计 50 31 81
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率不超过________．
11 已知一种植物一年生长的高度y与发芽期的平均温度x的关系可以用模型y＝c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程为＝0.2x＋，则当x＝35时，估计该植物一年生长的高度y的值为________．
四、 解答题
12 体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020—2030)》明确提出：青少年学生每天在校内需参与不少于60min的中高强度身体活动．随着此方案的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到显著改善．某中学为了了解体育运动对学生成绩的影响情况，从校内随机抽取100名学生，调查他们平均每天的运动情况及成绩情况，得到如下数据：
成绩优秀 成绩一般
每天运动不少于60min 20 40
每天运动不足60min 5 35
(1) 是否有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关？
(2) 用频率近似概率，为了更进一步了解体育运动是否对学生成绩有影响，现从该校每天运动不少于60min的学生中随机抽取3人，记这3人中成绩优秀的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13 (2025沧州期初)近年来，共享单车行业在我国各城市迅猛发展，单车为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在某省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的A指标x和B指标y，数据如下表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标x 2 4 5 6 8
B指标y 3 4 4 4 5
(1) 试求y与x间的样本相关系数r，并说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|≥0.75，则认为y与x具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系)；
(2) 建立y关于x的经验回归方程，并预测当A指标为7时，B指标的估计值；
(3) 若某城市的共享单车的A指标x在区间(－3s，＋3s)的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响，交通管理部门将进行治理，直至A指标x在区间(－3s，＋3s)内．现已知该省某城市共享单车的A指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由．
参考公式：经验回归方程＝x＋中，斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－，样本相关系数r＝.
参考数据：s＝＝2，≈0.55，≈0.95.
1. B　因为＝4，＝，所以＝2×4＋12，解得a＝23.
2. A　由题可得＝15，＝108.6，则r＝＝≈0.982 6，因为相关系数很接近于1，所以两个变量的线性相关程度很强．
3. D　对于A，身高极差大约是18cm，臂展极差大约是23cm，故A错误；对于B，身高相差10 cm的两人臂展的估计值相差11.6 cm，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故B错误；对于C，身高为190 cm，代入回归方程可得臂展的估计值为189.65 cm，但不是准确值，故C错误；对于D，根据散点图以及回归方程，得身高和臂展呈正相关关系，故D正确．
4. C　由χ2＝＝＝>3.841，得(15－m)2>≈43.69，又5≤m≤15且m∈N，所以15－m≥7，解得m≤8，故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.
5. D　＝＝，＝＝42，因为经验回归方程＝x＋经过样本中心，所以42＝9.4×＋，所以＝9.1，所以＝9.4x＋9.1，当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5.
6. B　根据2×2列联表，得χ2＝≈1.33<2.706，所以没有90%以上的把握认为“高消费群”与性别有关．
7. BCD　由0.65>0，得变量x与y的样本相关系数r>0，故A错误；由表格中的数据可得＝＝8，＝＝.因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，则＝.根据经验回归方程＝0.65x－1.8，得＝0.65×8－1.8，解得b＝3，故B正确；当x＝6时，＝0.65×6－1.8＝2.1，所以残差为2－2.1＝－0.1，故C正确；当x＝20时，＝0.65×20－1.8＝11.2，所以y的预测值为11.2，故D正确．故选BCD.
8. AD　这100粒玉米种子中抗病虫害的有100×0.8＝80(粒)，可得2×2列联表如下：
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60 6 66
种子没有经过该药处理 20 14 34
合计 80 20 100
由以上2×2列联表可知，A正确，B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝≈14.44>10.828，因此按99.9%的可靠性要求，可以认为“治疗玉米病虫害的新药有效”，故C错误，D正确．故选AD.
9. －0.4　将＝5，＝9代入＝－2.2x＋，得9＝－2.2×5＋，解得＝20，所以＝－2.2x＋20，故当x＝13时，＝－2.2×13＋20＝－8.6，所以残差为－9－(－8.6)＝－0.4.
10. 0.01　由列联表数据，可求得χ2＝≈7.227>6.635，因为P(χ2≥6.635)＝0.01，所以“x与y之间有关系”出错的概率不超过0.01.
11. e5　由表格数据可得＝×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，＝×(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，代入＝0.2x＋，得＝3－0.2×25＝－2，所以＝0.2x－2，即ln y＝0.2x－2，所以＝e0.2x-2，则当x＝35时，＝e5.
12. (1) 由题意，得χ2＝≈5.556>3.841，
所以有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关．
(2) 从该校每天运动不少于60min的学生中随机抽取1人，此人成绩优秀的概率为＝.
由题意，得X的所有可能值为0，1，2，3，且X～B，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
故数学期望E(X)＝3×＝1.
13. (1) 由题意，得＝＝5，
＝＝4，
＝2×3＋4×4＋5×4＋6×4＋8×5＝106，
所以＝5s2＝20，
＝－5＝6，
＝2，
所以r＝＝≈0.95，
因为0.95>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．
(2) 由(1)得＝＝0.3，＝4－0.3×5＝2.5，
所以经验回归方程为＝0.3x＋2.5.
当x＝7时，＝0.3×7＋2.5＝4.6，
即当A指标为7时，B指标的估计值为4.6.
(3) 该城市的交通管理部门需要进行治理，理由如下：
由题意，得(－3s，＋3s)＝(－1，11)，
因为13>11，所以该城市的交通管理部门需要进行治理．

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