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9.1.1　变量的相关性
一、 单项选择题
1 (2025徐州期初)下列两个变量中，成正相关的两个变量是(　　)
A. 汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B. 正方形的面积与边长
C. 花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩
D. 期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
2 (2025天津期初)以下散点图经过标准化后，样本相关系数最大的是(　　)
A B C D
3 (2025青岛期初)某景区对2017－2022年景区内农家乐接待人数(单位：万人)进行了统计，得到数据如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份编号x 1 2 3 4 5 6
接待人数y万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2
则接待人数与年份编号的样本相关系数约为(参考数据：≈17.94)(　　)
A. 0.65 B. 0.71 C. 0.89 D. 0.97
4 (2024辽宁期末)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－2x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A. 2 B. －2
C. －1 D. 1
5 (2024上海浦东期中)通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格(单位：百元)与该商品消费者年需求量(单位：kg)的散点图．若去掉图中右下方的点A后，则下列说法中正确的是(　　)
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的样本相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的样本相关系数变小
6 北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一，白色冰面融化变成颜色相对较暗的海水，被称为“北极变暗”现象.21世纪以来，北极的气温变化是全球平均水平的2倍，被称为“北极放大”现象．下图为北极的年平均海冰面积(单位：106 km2)与年平均CO2浓度(单位：ppm)图，则下列说法中正确的是(　　)
A. 北极的年平均海冰面积逐年减少
B. 北极的年平均海冰面积减少速度不断加快
C. 北极的年平均海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关
D. 北极的年平均海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关
二、 多项选择题
7 下列有关样本相关系数的说法中，正确的是(　　)
A. |r|≥1，且|r|越接近1，线性相关程度越大
B. |r|≤1，且|r|越接近0，线性相关程度越小
C. |r|≤1，且|r|越接近1，线性相关程度越大
D. 样本相关系数用来衡量变量x与y的线性相关程度
8 (2025衡水月考)下列关系中，是相关关系的是(　　)
A. 角度和它的正弦值之间的关系
B. 某商场搞促销活动与销售量之间的关系
C. 作文水平与课外阅读量之间的关系
D. 底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系
三、 填空题
9 (2024赣州期中)甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为r1＝0.66，r2＝－0.97，r3＝0.92，r4＝0.89，则这四人中，________研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
10 如图，有5对数据，去掉点________对应的数据后，剩下的4对数据的线性相关程度更强．
11 (2024天津期末)学习之于信仰和才干，犹如运动之于健康体魄，持之以恒、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答 对的题数y 12 15 16 18 21 24 27
参考数据：＝4，＝19，＝140，＝2 695，＝600，≈2.45，样本相关系数r＝＝.
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是________相关(填“正”或“负”)，其样本相关系数r≈________(结果保留两位小数).
四、 解答题
12 (2025长沙期初)2023年3月6日，中华人民共和国国务院新闻办公室举行“权威部门话开局”系列主题新闻发布会，介绍“加快推进新型工业化做强做优做大实体经济”有关情况．经综合研判，今年我国新能源汽车产业将保持良好的发展态势，生产和销售将实现稳定增长．据统计，2022年10月至2023年2月某品牌新能源汽车的市场销售量如下表．
月份x 10月 11月 12月 1月 2月
销售量y/万辆 0.6 0.7 1.0 1.3 1.6
(1) 根据数据作出散点图；
(2) 判断x与y之间的相关关系．
13 (2024陕西月考)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，＝0.247 4.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01).
附：样本相关系数r＝，≈1.377.
9.1.1　变量的相关性
1. A　对于A，一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确；对于B，正方形的面积与边长是函数关系，故B错误；对于C，一般情况下，若花费在体育活动上面的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不成正相关，故C错误；对于D，期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误．
2. A　对于A，散点呈上升趋势，样本相关系数为正数，这些点紧密地聚集在一条直线的附近，线性相关性强；对于B，散点分布呈曲线趋势，线性相关程度比A弱；对于C，散点呈下降趋势，样本相关系数为负数；对于D，散点分布比较分散，线性相关程度比A弱．综上，样本相关系数最大的是A.
3. D　由题意，得＝3.5，＝6.1，(xi－)2＝17.5， (yi－)2＝4.6， (xi－)(yi－)＝8.7，所以r＝＝＝≈0.97，故接待人数与年份编号的样本相关系数约为0.97.
4. C　因为所有的样本点都在直线y＝－2x＋1上，所以样本相关系数r满足|r|＝1.又－2<0，所以r<0，所以r＝－1.
5. D　对于A，去掉图中右下方的点A后，根据图象，两个变量还是负相关，故A错误；对于B，C，D，去掉图中右下方的点A后，相对来说数据会更集中，相关程度会更高，但因为是负相关，所以样本相关系数会更接近－1，则样本相关系数会变小，故D正确，B，C错误．
6. C　对于A，B，由统计图可知北极的年平均海冰面积较前一年有增加有减少，故A，B错误；对于C，D，由统计图可知随着年平均二氧化碳浓度的增加，北极的年平均海冰面积总体呈下降趋势，所以北极的年平均海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关，故C正确，D错误．
7. BCD　由样本相关系数的定义可得|r|≤1，故A错误；|r|越接近0，线性相关程度越小，|r|越接近1，线性相关程度越大，故B，C正确；样本相关系数和x与y的线性相关程度有关，故D正确．故选BCD.
8. BC　AD选项两个变量之间的关系是函数关系，BC选项两个变量之间的关系是相关关系．故选BC.
9. 乙　因为|r2|>|r3|>|r4|>|r1|，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
10. D　去掉点D对应的数据后，其余四个点大致在一条直线附近，线性相关性更强．
11. 正　0.99　由表中数据，得y随x的增大而增大，所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，r＝＝≈≈0.99.
12. (1) 作出散点图如下：
(2) 由散点图可知，5组样本数据呈正相关关系．
13. (1) 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06，样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2) r＝
＝
＝
＝≈≈0.97.

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