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9．1.2　一元线性回归模型
一、 单项选择题
1 (2024驻马店月考)用最小二乘法得到一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)的经验回归方程为＝3x－14，若＝45，则等于(　　)
A. 53 B. 65 C. 13 D. 11
2 （2025抚顺开学考试）观测两相关变量的如下数据：,
x －1 －2 －3 －4 －5
y －9 －7 －5 －3 －1
则两变量间的经验回归方程为(　　)
A. ＝x－1 B. ＝－2x－11
C. ＝2x＋ D. ＝－2x＋4
3 (2024台州一模)已知变量x与y的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为＝1.6x＋，若＝10，＝15，则等于(　　)
A. 6.6 B. 5
C. －1 D. －14
4 (2025日照期末)已知x，y之间的一组数据：
x 1 2 3 4
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足经验回归方程＝x＋6，则的值为(　　)
A. － B. － C. D.
5 (2025江西期初)某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其经验回归方程为＝4x＋，＝2 250，＝16 000.若该市某位初中男生的脚长为25 cm，据此估计其身高为(　　)
A. 166 cm B. 168 cm C. 170 cm D. 172 cm
6 （2025常州期末）已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)组成的一个样本，得到经验回归方程为＝2x＋0.75，且＝1.125，增加两个样本点(－2，5)和(1，3)后，得到新样本的经验回归方程为＝3x＋．在新的经验回归方程下，样本(3，9.3)的残差为(　　)
A. 1.1 B. 0.5 C.－0.5 D. －1.1
二、 多项选择题
7 (2025驻马店期初)国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长．某企业根据市场调研得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下，则下列叙述中正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 3 5 7 8 8 9
A. ＝4，＝6
B. 由散点图知变量x和y正相关
C. 样本相关系数r>0
D. 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋0.5
8 某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：
单价x/元 8 8.5 9 9.5 10
销量y/万件 89 85 80 78 68
根据以上数据得到y与x具有较强的线性关系，若用最小二乘法得到经验回归方程为＝－9.8x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. 样本相关系数r>0 B. 点(9，80)一定在经验回归直线上
C. ＝168.2 D. 当x＝9.5时，对应销量的残差为－2.9
三、 填空题
9 (2024天津滨海新区期末)在下表的统计量中，有一个数值不清晰，用m表示．
x 1 2 3 4 5
y 6.3 7.4 8.1 8.7 m
已知表中数据的经验回归方程＝＋x同时满足：①过点(3，8)；②x每增加一个单位，y增加0.77个单位，则m＝________；当x＝6时，＝________．
10 (2025江门期初)已知x，y之间的一组数据：
x 1 4 9 16
y 1 2.98 5.01 7.01
若y与满足经验回归方程＝＋，则此曲线必过点________．
11 根据下面的数据：
x 1 2 3 4
y 31.6 52.5 72 91.9
求得y关于x的经验回归方程为＝20x＋12，则这组数据相对于所求的经验回归方程的4个残差的方差为________．
四、 解答题
12 (2025秦皇岛一模)近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加．下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中x为年份代号，y(单位：万辆)代表新增新能源汽车的数量．
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号x 1 2 3 4 5
新增新能源汽车y/万辆 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8
(1) 计算样本相关系数r，判断是否可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系．当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性；
(2) 求y关于x的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量．
参考数据：≈6.603.参考公式：＝，＝－，r＝.
13 (2025安徽期初)某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
锻炼时长x/h 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
体重减少量y/kg 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
并计算得：＝172，＝29.3，＝70.6.
(1) 根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用样本相关系数加以说明；
(2) 求经验回归方程＝＋x(结果精确到 0.01)；
(3) 该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2h，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8kg.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释．
参考公式：样本相关系数r＝，经验回归方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－.
参考数据：≈1.732，≈1.550.
9．1.2　一元线性回归模型
1. B　因为＝45，所以＝9，代入＝3x－14，得＝13，所以＝13×5＝65.
2. B　由表中数据可得＝＝－3，＝＝－5，所以样本中心为(－3，－5)，代入选项中检验B正确．
3. C　因为经验回归方程为＝1.6x＋，且＝10，＝15，所以a∧＝15－1.6×10＝－1.
4. B　由表可得＝(1＋2＋3＋4)＝，＝(5.5＋4＋3.5＋3)＝4.因为经验回归方程＝bx＋6过样本中心，所以b＋6＝4，解得b＝－.
5. C　由＝2 250，＝16 000，得样本中心为(22.5，160)，则160＝4×22.5＋，解得＝70，因此经验回归方程为＝4x＋70，当x＝25 cm时，＝4×25＋70＝170(cm).
6. C　因为xi＝1.125×8＝9，所以增加两个样本点后x的平均数为＝0.8.因为＝2×1.125＋0.75＝3，所以yi＝3×8＝24，所以增加两个样本点后y的平均数为＝3.2，所以3.2＝3×0.8＋，解得＝0.8，所以新的经验回归方程为＝3x＋0.8，则当x＝3时，＝9.8，所以样本(3，9.3)的残差为9.3－9.8＝－0.5.
7. ABC　由表可得＝＝4，＝＝6，故A正确；根据表格作出散点图，因为散点图的分布从左下到右上，所以x和y正相关，故B正确；由B可知样本相关系数r>0，故C正确；由A知，样本中心为(4，6)，则经验回归直线过点(4，6).当x＝4时，1.5×4＋0.5＝6.5≠6，故D错误．故选ABC.
8. BC　由＝－9.8x＋可得y与x负相关，故A错误；由表中数据，得＝＝9，＝＝80，所以样本中心为(9，80)，故点(9，80)在经验回归直线上，故B正确；将点(9，80)代入＝－9.8x＋，得80＝－9.8×9＋，解得＝168.2，故C正确；当x＝9.5时，＝－9.8×9.5＋168.2＝75.1，所以残差为78－75.1＝2.9，故D错误．故选BC.
9. 9.5　10.31　由题意，得＝＝3，＝＝.因为经验回归方程＝＋x过点(3，8)，所以＝8，解得m＝9.5.由8＝0.77×3＋，可得＝5.69，则＝0.77x＋5.69，当x＝6时，＝0.77×6＋5.69＝10.31.
10. (6.25，4)　设t＝，则＝t＋．由经验回归直线的性质可得点(，)在直线＝t＋上，又＝＝2.5，＝＝4，所以点(2.5，4)在直线＝t＋上，故点(6.25，4)在曲线＝＋上．
11. 0.105　根据＝20x＋12，分别将x为1，2，3，4代入，求得分别为32，52，72，92，则4个残差分别为－0.4，0.5，0，－0.1，残差的平均数为0，故残差的方差为s2＝×[(－0.4－0)2＋(0.5－0)2＋(0－0)2＋(－0.1－0)2]＝0.105.
12. (1) 由题意，得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.8)＝2.5，
x＝55，y＝35.61，xiyi＝44.1，
则r＝
＝
＝
＝≈≈0.999 5.
因为0.999 5>0.75，所以认为两个变量有很强的线性相关性，故可以用一元线性回归模型拟合y与x的关系．
(2) 由题意，得＝＝＝＝0.66，
＝－＝2.5－0.66×3＝0.52，
则＝0.66x＋0.52，
当x＝7时，＝0.66×7＋0.52＝5.14，
所以估计该市2026年新增新能源汽车5.14万辆．
13. (1) 由表可知＝＝4，＝＝1.64，
所以r＝
＝
＝≈≈0.93.
因为y与x的样本相关系数r≈0.93接近1，
所以y与x的线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合y与x的关系．
(2) 由题可知＝＝，
＝－＝1.64－×4≈－0.03，
所以＝0.42x－0.03.
(3) 由(2)可知根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量约增加0.84kg，与实际增加值0.8kg较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值．
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，比如睡眠、饮食、锻炼强度以及效果等．

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