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2026届合肥八中高三下学期数学阶段性检测四
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知 ，若对任意实数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 如图，直三棱柱 中， ，点 P为侧面 上的任意一点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知函数 ，任取 ，定义集合： ，点 ， 满足
.设 分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记 .则函数 的最小值是
（ ）
A． B．1 C． D．2
5. 下列说法中，正确的有（ ）
①回归直线 恒过点 ，且至少过一个样本点；
②根据 列列联表中的数据计算得出 ，而 ，则有 的把握认为两个分类
变量有关系，即有 的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③ 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当 的值很小时可以推断两类变量不相关；
④某项测量结果 服从正态分布 ，则 ，则 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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6. 已知数列 ， ，且 ，将 与 的公共项按从大到小的顺序排列组成
一个新数列 ，则 的前 10项和为（ ）
A． B． C． D．
7. 设函数 ，其中 ，若 有两个零点且 取最小整数 P时，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8. 设 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．若 表示正数 的整数部分，则
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为 3）的平均数为 3，若添加一个新数据 3组成一个新样本，则新样本的平均数
不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据 ，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为 40，则这组数据的第 m百分
位数为 79
D．依据小概率值 的独立性检验推断两个分类变量 X与 Y之间是否有关联，经计算得
，则可以认为“X与 Y没有关联”
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 在 上是增函数
B．当 时， 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若 在 上为减函数，则
D．当 时，若函数 有且只有一个零点，则
11. 把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，
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则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递增
D．若 在区间 上存在极大值点和极小值点，则实数 的取值范围为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. 已知正方形 ABCD的边长为 2，且 ， ，则 ．
13. 已知函数 ，若函数 与 的图象有且仅有三个交点，则实
数 的取值范围是 .
14. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线交 轴于点 ，交椭
圆 于 ， 两点（ 点在 点左侧）， ，则椭圆 的离心率为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于 2025年 4月联合举办第四届全市中小学机
器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可
挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金 2000元，
该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金 1000元，
否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为 ，第一次挑战失败但第二次挑
战该项目成功的概率为 ；两个项目是否挑战成功相互独立.
(1)设事件 “甲参赛队两个项目均挑战成功”，求 ；
(2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量 ，求 的分布列；
(3)假设本届比赛共有 36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数
的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.
16.（15分）已知 的三边 所对的角分别为 ．
(1)求证： ；
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(2)若 ，求 的取值范围．
17.（15分）如图，在三棱台 中， 平面 ABC， ， ， ，
，M为 的中点．
(1)证明： 平面 AMC；
(2)求平面 和平面 AMC夹角的余弦值．
18.（17分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
19.（17分）已知双曲线 ： 与曲线 ： 有 4个交点 A，B，C， 按逆时
针排列
(1)若方程 有 4个实数根 ， ， ， 证明：
(2)设 O为坐标原点，证明： 为定值；
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(3)求四边形 ABCD面积的最大值．
第 5页(共 5页)2026届合肥八中高三下学期数学阶段性检测四参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 【答案】D
【详解】由 ，得 ，解得 ，所以 ，
，由 ，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
2. 【答案】C
【详解】因为 是 内的单调递增函数，并且是奇函数，所以
,所以“ ”是“ ”
充分必要条件，故选：C.
3. 【答案】C
【详解】如图取 AB中点为原点 O，建立空间直角坐标系，设 ，
其中 ， ， ， ，
， ， ，
当 ，且 或 时， 取最大值 4，
当 ，且 时， 取最小值 2，所以 的取值范围为 ．故选：C
4. 【答案】B
【详解】如图所示， 的图象，此时，函数的最小正周期为 ，点 ,当
1
点 在 点时，点 在曲线 上， ，
当点 在曲线上从 接近 时， 减小，所以 逐渐增大；当点 在 点时，
，当点 在曲线上从 接近 时， 减小， 逐渐减小，
当点 在 点时， ，当点 在曲线上从 接近 时， 增大, 逐
渐增大， 当点 在 点时， ，当点 在曲线上从 接近 时，
增大, 逐渐见减小，当点 在 点时， ,综上可得 的最小值是 1。故
选：B
5. 【答案】B
【详解】回归直线 的性质是恒过样本点的中心 ，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所
以说法①错误. 在独立性检验中，我们先提出一个假设 .当根据 列联表中的数据计算得出 ，
且 时，这意味着在假设 成立的条件下，出现这样的 值是一个小概率事件.小概率事
件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设 ，从而有 的把握认为
两个分类变量有关系，同时也就意味着有 的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说
法②正确.
是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当 的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变
量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使 值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝
对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误.
已知某项测量结果 服从正态分布 ，正态分布具有对称性，其对称轴为 .又因为 ，这
表明 与 关于对称轴 对称.根据正态分布的对称性可知， 与 之和为 ，已知
，那么 ，所以说法④正确. 故选：B.
6. 【答案】C
2
【详解】因为数列 是正奇数数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 ，为奇数；
当 为偶数时，设 ，则 ，为偶数，
所以 ，由数列的函数特性知 为递减数列，
又 ，
所以 ，故选：C．
7. 【答案】B
【详解】令 ，函数 定义域为 ，求导得
，当 时， ，函数 在 上单调递
增， 最多一个零点，不符合题意，当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
当 从大于 0的方向趋近于 0时， 值趋近于正无穷大；当 趋近于正无穷大时， 值趋近于正无穷
大，由 有两个零点，得 ，即 ，
函数 在 上都递增，则函数 在 上递增，
，因此存在 ，使得 ，
则不等式 成立时 ， 的最小整数值为 3，即 ，
由 ，得 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，B正确.故选：B
8. 【答案】B
【详解】对于 A，令 ，可得 ，故 A正确；
3
对于 B，令 ，可得 ，故 B错误；
对于 C，令 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故 C正确；
对于 D，
所以 ，故 D正确；故选：B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 【答案】AC
【详解】一个样本（数据不全为 3）的平均数为 3，若添加一个新数据 3组成一个新样本，则新样本的平均
数不变，根据方差公式，可知方差变小，故 A正确；
两个变量的相关系数 越小，则两者的线性相关程度越弱，故 B错误;
除 m外，剩余数据的极差为 ，因为所有数据的极差为 40，且 ，所以
把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，
由 ，所以这组数据的第 m百分位数为第 9个，为 故 C正确;
零假设为 与 Y相互独立，即 X与 Y没有关联，由 ，
可知依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，可以认为“X与 Y有关联”，故 D错误.
故选：AC.
10. 【答案】BD
【详解】对于 A， 为增函数， 时 趋向负无穷， 时 趋向正无穷，
4
所以存在 使 ，故 上 在 上为减函数，错；
对于 B，由题设 ，则 ，且 ，所以 在 处的切线方程为
，切线与 轴的交点坐标为 ，与 轴交点坐标为 ，
所以 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，对；
对于 C，因为函数 在 上为减函数，
则在 上 恒成立，即 ，
令 ，则 ，易知 时 ， 时 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，错；
对于 D，函数 有且只有一个零点，
即 有唯一解，则 ，
令 且 ，则 ，
令 ，显然在 上为增函数， ，
则 ，使得 ，易知 时 ， 时 ，
则 在 为减函数，在 为增函数，则 ，
当 时， ，
所以 有且只有一个解时， ，即 ，对.故选：BD
11. 【答案】ABD
【详解】 ，
由 关于原点对称，得 ， ，
而 ，则 ， ，
5
对于 A， 的最小正周期 ，A正确；
对于 BC，由 ，得 ，直线 是 的图象一条对称轴，B正确，C
错误；
对于 D，由 ，得 ，而 在 上有极大值点又有极小值点，
则 ，解得 ，D正确，故选：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. 【答案】 /0.5
【详解】由题意， ，则 ，所以 ，
，所以
，解得 ．故答案为： ．
13. 【答案】 .
【详解】当 时，则 ，令 ，
求导可得 ，令 ，解得 ，可得下表：
单调递增 极大值 单调递减
由函数 的极大值为 ，则存在唯一零点，所以函数 与函数 在 上有且
6
仅有一个交点；当 时， ，令 ，
求导可得 ，显然 上 ，则函数 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， ，由 ，则函数 在
上存在唯一零点，所以函数 与函数 在 上有且仅有一个交点；
由题意可得函数 与函数 在 上有且仅有一个交点，当 时， ，令
，令 ，整理可得 ，
当方程有两个相等的实数解时， ，解得 ，此时 ，符合题
意，当方程在 有一个实数根时，可得 ，解得 ，综上可得 .
故答案为： .
14. 【答案】
【详解】由题设，令直线为 ，
易得 ，因为 ，可得 ，又 ，可得： ，再结合
，可得 ，代入椭圆方程 ，又 ，所以
，化简可得： ，因为 ，易知
所以 ，即 ，所以 ，故答案为： .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7
15.（13分） (1) (2)答案见解析；(3) 元
【详解】（1）每个项目挑战成功的概率 ，则 .
（2）甲参赛队获得奖金数为随机变量 的所有可能取值为 4000，3000，2000，1000，0.
； ；
； ； .
∴甲获得奖金数 的分布列为：
4000 3000 2000 1000 0
（3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望
元，
因为假设本届比赛共有 36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为 元
16.（15分） (1)证明见解析 (2)
【详解】（1）由正弦定理得 ，
．
（2）
，令 ,
由于 在 上单调递增，
则原函数也是在 上单调递增. ，即 的取值范围为 ．
17.（15分） (1)证明见解析 (2) ．
8
【详解】（1）（1）如图，连接 ，由题意知 平面 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，因为 M是 的中点，所以 ．因为 平面 ABC，所以 ，又
， ，所以 平面 ，所以 ．因为 ，所以 平面
AMC．
（2）以 A为坐标原点，以直线 AB，AC， 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
， ， ， ， ，
所以 ， ．设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，由（1）知平面 AMC的一个法向量为 ，
因为 ，所以平面 和平面 AMC夹角的余弦值为 ．
18.（17分） (1) (2)答案见解析 (3) 或
【详解】（1）由题意 的定义域为 ，当 时， ，
， ，又 ， 在 处的切线方程为 ，即
（2） ， ，
当 ，即 时， ， 在 上单调递减，
当 ，即 时，在 上， ，在 上 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，综上， 时， 在 上单调递减；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）方程 有两个不同实根，等价于方程 有两个不同实根,
9
设 ，则 且 ，
当 时， 时， 时， ，此时函数 只有一个零点 ，方程只有一
个根，不符合题意；当 时， 在 上单调递增，
当 时， ， 存在 使 ，
在 上 ，在 上 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，又 ，设 ，则 ，
当 时， 单调递减，又 ， ，又 ，
在 上和 上各有一个零点，符合题意；当 时， ，
在 上 ，在 上 ， 在 上单调递增，在 上单调递增，
， 只有 一个零点，不符合题意；
当 时， ， ，
存在 使得 ， 在 上 单调递减，在 上 单调递
增， ， ，
又 当 时， 单调递增，又 ， ， 在 上
存在一个零点，又 ， 时 有两个零点，符合题意；
综上，方程 有两个不同实根时， 或 .
19.（17分） (1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)
【详解】（1）由题意可得：
，
对比系数得： ， .
（2）由 ，得 ，
平方得 ，将 代入，化简得
10
，
设 ， ， ， ，
由（1）知 ， ，
且 ， ， ， ，
所以
（3）记 ， ， ， ，
当 O在内部时，设 ， ， ， ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，
当且仅当 时，等号成立，可得 ，
当且仅当四边形 ABCD为正方形 ，等号成立；
当 O在外部时，设 ， ， ， ，
11
可得
，当且仅当 时，等号成立，
可得 ；综上所述：四边形 ABCD面积最大值为
12

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