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2025-2026学年下学期九年级第一次综评数学试卷
一．选择题（每小题 3分，满分 24分）
1．a的相反数是 2025，则 a的值为（ ） A．30° B．35° C．20° D．15°
A．2025 B．﹣2025 C． D． 6．关于函数 y＝﹣x+2有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点（3，﹣1）
2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中图案是轴对称图形的是（ ）
B．若点 A（0，y1），B（3，y2）在图象上，则 y1＞y2
C．图象向下平移 2个单位长度后，图象经过点（0，1）
A． B． D．当 x＞2时，y＜0
7．如图，在正方形 ABCD中，E是 BC的中点，F是 CD上一点，且 ．给出下面四
个结论：
C． D． ①AE平分∠BAF；
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点 E，若△ABC的面积为 7，DE＝2， ②AE2+EF2＝AF2；
AB＝4，则 AC长是（ ） ③AB+CF＝AF；
④AB+BE＞AF．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④
8．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3），与 x轴的一
A．2 B．3 C．4 D．5
个交点是 B（4，0），点 P在抛物线上，且在直线 AB上方，则下列结论正确的是（ ）
4．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3＝a6 2 3 5
A．abc＞0
B．a +a ＝a
3 2 B．方程 ax
2+bx+c＝3有两个不相等的实数根
C．a ÷a ＝a D．（a+b）2＝a2+b2
5．如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边△DCE，连接 AC，AE，则∠EAC的度数为（ ） C．点 P到直线 AB的最大距离
D．x（ax+b）≤a+b
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二．填空题（每小题 3分，满分 18分）
9．分解因式：4x2y﹣36y＝ ．
10．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，∠1+∠2＝ °．
14．在边长为 4的菱形 ABCD中，∠D＝120°，点 E为 AB中点，点 F、G是对角线 AC上两点，
且 ．则四边形 EFGB周长最小值为 ．
11．有一种塑料杯子的高度是 10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则 8个这种
杯子叠放在一起高度是 cm．
12．已知△ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，CA＝CD，求△ABC 三．解答题（共 12小题，满分 78分）
和△CDE的面积之比． 15．（4分）计算： ．
16．（4分）下面是小星同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：去分母，得 2（1﹣x）﹣（3x﹣2）＜
6…第一步
去括号，得 2﹣2x﹣3x+2＜6…第二步
移项，得﹣2x﹣3x＜6﹣2﹣2…第三步
13．如图，反比例函数 （k≠0）的图象与矩形 OABC在第一象限相交于 D，E两点，OC
合并同类项，得﹣5x＜2…第四步
＝2OA＝8，连接 OD，OE，DE，若△ODE的面积为 12，则 k的值为 ．
两边都除以﹣5，得 第五步
（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是 ；
（2）上述求解过程中的第 步发生错误，具体错误为 ；
（3）该不等式的解集应为 ．
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17．（6分）先化简，再求值： ，其中 x＝3． 22．（6分）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果
树的单价多 40元，购买 2棵桂花树和 3棵芒果树共需 380元．
18．（6分）如图，已知△ABC∽△DEF，且 DE＝2AB，AM为△ABC的边 BC上的高，请用尺
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
规作图法在 EF上求作一点 N，连接 DN，使得 DN＝2AM．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若该村一次性购买这两种树共 45棵，且桂花树不少于 25棵，求出该村按怎样的方案
购买时，费用最低？最低费用为多少元？
23．（6分）为宣传 6月 6日世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋
生物多样性”的知识竞赛活动，为了解全年级 800余名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，
随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出不完整的统计表（如表）和扇形统计图（如
19．（6分）如图，在 Rt△ABC和 Rt△ADE中，∠ABF＝∠ADE＝90°，BC与 DE相交于点 F，
图），请根据图表信息解答以下问题：
且 AB＝AD，AC＝AE，连接 CD，EB．求证：∠CAD＝∠EAB．
表格：知识竞赛成绩统计表
组别 分数/分 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 20
20．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．某校在校门
口处安排了 A，B，C三个测温通道，同学们可随机选取其中一个通道测温进校园．某天早晨， C 80≤x＜90 28
甲，乙两位同学准备测温进校，请用所学的概率知识解决下列问题： D 90≤x＜100 36
（1）甲同学在 A入口处测量体温的概率是 ； （1）本次调查一共随机抽取了 个参赛学生的成绩；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲，乙两位同学从同一入口处测量体温进校的概率． （2）表 1中 a＝ ；
21．（6分）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点 A出发，途经点 B后到达山顶 P，其中 （3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 ；
AB＝400米，BP＝200米，且 AB段的运行路线与水平方向的夹角为 15°，BP段的运行路线 （4）请你估计，该校八年级竞赛成绩达到 90分以上（含 90分）的学生约有多少人．
与水平方向的夹角为 30°，求垂直高度 PC．（结果精确到 1米，参考数据：sin15°≈0.259，
cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）
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24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC交⊙O于点 D，交 BC于点 E， 26．（10分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D是直线 BC上一点，点 E
连接 AD交 BC于点 F，过点 B作⊙O的切线交 OD的延长线于点 G，连接 CD． 是射线 CB上一点，∠DAE＝∠CAB．
（1）求证：∠CDA＝∠G； （1）如图 1，当 AB＝BE时，求 CD的长；
（2）若 ，求 和 的值． （2）当点 D在射线 CB上时，设 CD＝x，BE＝y，求 y关于 x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点 B作 BF⊥AB，交射线 AE于点 F，如果以 D为圆心，CD为半径的圆与以点 F为
圆心，FB为半径的圆有且只有一个交点，求 CE的长．
25．（10分）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，
如图是一名男生投实心球时，实心球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系图
象，掷出时起点处高度为 ，当水平距离为 4m时，实心球行进至最高点 3m处．
（1）求 y关于 x的函数表达式；
（2）根据高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点
的水平距离大于等于 9.60m时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．
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参考答案
一．选择题
17．解：原式＝[ ]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
＝（ ）
答案 B． C B C A C D D

二．填空题 ＝x+1，
9．4y（x+3）（x﹣3）． 当 x＝3时，原式＝3+1＝4．
10．270．
11．38． 18．解：过点 D作 DN⊥EF于点 N，如图，点 N即为所求．
12．1：2．
13．16．
14． ．
三．解答题
15．解：原式
．
理由：根据在 EF上求作一点 N，连接 DN，使得 DN＝2AM，由作法得：DN⊥EF，
∵△ABC∽△DEF，且 AM为△ABC的边 BC上的高，
16．解：（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是不等式的性质 1，
故答案为：不等式的性质 1； ∴ ，
（2）上述求解过程中的第五步开始错误，具体错误是没有改变不等号的方向； ∵DE＝2AB，
故答案为：五，没有改变不等号的方向； ∴DN＝2AM．
（3）该不等式的解集应为 x ．
19．证明：在 Rt△ABC和 Rt△ADE中，
故答案为：x ．
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∴BE＝AB sin15°≈400×0.259＝103.6（米），
，
∴CD＝BE＝103.6米，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
在 Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠DAE﹣∠BAD＝∠EAB，∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD， ∴DP BP＝100（米），
∴∠CAD＝∠EAB． ∴PC＝PD+DC≈204（米），
20．解：（1）∵有 A，B，C三个测温通道， ∴垂直高度 PC约为 204米．
∴甲同学在 A入口处测量体温的概率是 ．
22．解：（1）设桂花树的单价是 x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元，
故答案为： ．
2x+3（x﹣40）＝380，
（2）画树状图如下：
x＝100，
x﹣40＝100﹣40＝60，
（2）设购买桂花树的棵数为 n，总费用为 w元，
w＝100n+60（45﹣n）＝40n+2700，
∴w＝40n+2700，
∵40＞0，
共有 9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学从同一入口处测量体温进校的结果有 3种，
∴w随 n的增大而增大，
∴甲，乙两位同学从同一入口处测量体温进校的概率为 ．
∵桂花树不少于 25棵，
∴n≥25，
21．解：过点 B作 BD⊥PC，垂足为 D，过点 B作 BE⊥AC，垂足为 E，
∴n＝25时，w取最小值，最小值为 40×25+2700＝3700（元），
此时 45﹣n＝45﹣25＝20（棵）．
答：购买桂花树 25棵，购买芒果树 20棵时，费用最低，最低费用为 3700元．
23．解：（1）36÷36%＝100（个），
由题意得：CD＝BE，
即本次调查一共随机抽取了 100个参赛学生的成绩．
在 Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米，
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故答案为：100． ∴∠DEF＝90°，
（2）100×16%＝16，即 a＝16． 又∵∠AFC＝∠DFE，
故答案为：16． ∴△ACF∽△DEF，
（3）将竞赛成绩从小到大排列后处在第 50、51位的数都落在 C组，因此中位数落在 C组． ∴ ，
故答案为：C组．
设 DE＝x，EF＝a，则 AC＝2x，CF＝2a，
（4）样本中成绩达到 90分以上（含 90分）的学生占比为 36%，由此估计全年级 800名学
∵OD⊥BC，
生中成绩达到 90分以上（含 90分）的学生占比为 36%，为 800×36%＝288（人）．
∴CE＝BE＝3a，
答：该校八年级竞赛成绩达到 90分以上（含 90分）的学生约有 288人．
∵∠CAD＝∠DBE，
24．（1）证明：∵BG是⊙O的切线，
∴tan∠CAD＝tan∠DBE，
∴∠GBO＝∠ABC+∠GBE＝90°，
∴ ，
∵OD⊥BC，
∴∠G+∠GBE＝90°， ∴ ，
∴∠G＝∠ABC， ∴x2＝3a2，
∵∠ABC＝∠CDA， 在 Rt△DEF中，DF2＝EF2+DE2，
∴∠CDA＝∠G； ∴DF2＝a2+x2＝4a2，
（2）解：如图，连接 AC、BD， 在 Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，
∴CD2＝（3a）2+x2＝12a2，
∴ ，
∴ （负值已舍），
∵∠GBD+∠DBO＝90°，∠DBO+∠DAB＝90°，
∴∠GBD＝∠DAB，
∵∠DCF＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠GBD＝∠DCF，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠G＝∠CDF，
∵OD⊥BC，
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∴△CDF∽△BGD， ∵AB＝BE＝5，
∴CE＝BE+BC＝5+4＝9，
∴ ，
∴∠BAE＝∠E，
∴ ， ．
∴∠CAD＝∠E，
25．解：（1）实心球行进路线是一条抛物线，当水平距离为 4m时，实心球行进至最高点 3m
设 CD＝m，
处，
∴tan∠CAD＝tan∠E，
∴抛物线顶点为（4，3），
∴ ，即 ，
∵掷出时起点处高度为 m，
解得：m＝1，
设函数表达式为 y＝a（x﹣4）2+3（a≠0），
∴CD的长为 1；
把（0， ）代入得： （2）如图 1，过点 E作 AB的垂线交 AB延长线于点 H，
a（0﹣4）2+3 ，
解得 a ，
∴y关于 x的函数表达式为 y （x﹣4）2+3；
由∠ABC＝∠EBP，
（2）令 y＝0，即为 （x﹣4）2+3＝0， 设 BE＝y＝5n，
解得 x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴EH＝3n，BH＝4n，
∵10＞9.60， ∵∠DAE＝∠CAB，
∴该男生在此项考试中得满分． ∴tan∠CAD＝tan∠HAE，
∴ ，即 ，
26．解：（1）在三角形 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
解得： ，
由勾股定理得：AB 5，
∴ ；
∵∠DAE＝∠CAB，
（3）如图 2，D在线段 BC上时，过 F作 FM⊥BE于 M，连接 DF，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AB＝BE，
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，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠CAB+∠ACB＝90°，∠FMB+∠ACB＝90°， ∴ ，
∴∠MFM＝∠CAD，
∴ ；
∵∠ABC＝∠EBP，
当点 D在线段 BC延长线上时，
∴△ACD∽△AFB，
∴ ，
∴ ，
解得：BF ，
∴ ，
∴MD＝CB＝4，
此时有且仅有⊙D和⊙F外切，DF＝CD+BF，
∴ ，
同理： ，
∵ ，
，
∴ ，
解得： ，
∵∠ACD＝∠DMF，
∴△ACD～△DMF， ∴ ，
∴∠CAD＝∠MDF， ∴ ，
∴∠ADF＝90°，
∵MF∥AC，
此时⊙D和⊙F外切符合；
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∴△MFE∽△CAE，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， ．
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