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2025-2026学年九年级下学期 3月月考数学试题 A．55° B．70° C．65° D．35°
6．下列计算正确的是（ ）
A．x2 x4＝x8 B．（x2）4＝x8
一．选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分.每小题只有一个选项符合要求。
C．（x3y）2＝x5y2 D．x6÷x2＝x3
1．有理数 a在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
7．下列关于方程 x2﹣8x+10＝0实数根的情况，说法正确的是（ ）
A．没有实数根
A．1＞a＞﹣a B．1＞﹣a＞a C．﹣a＞1＞a D．a＞﹣a＞1
B．有一个实数根
2．下列图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
8．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）
A． B． C． D． 的可变电阻 R1（Ω）（如图 1），当人站上踏板时，电阻 R1随人的质量 m的变化而变化，此时
3．如图所示的几何体是由 5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（ ） 可通过电压表显示的读数 U0换算为人的质量 m（kg）．已知 U0随 R1的变化而变化（如图 2），
R1与踏板上人的质量 m的关系见表，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．截止 2025年末，六安市常住人口为 434.3万人，其中 434.3万用科学记数法表示为（ ）
A．43.43×105 B．4.343×106 C．4.343×107 D．0.4343×108
5．如图，一束光线 AB先后经平面镜 OM，ON 信息窗反射后，反射光线 CD与 AB平行，已知∠ABM
OBC ABM 35 BCD R1与 m之间满足 R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）＝∠ ，当∠ ＝ °时，∠ 的度数为（ ）
A．在一定范围内，U0越小，R1越大
B．当 U0＝4V时，R1的阻值为 30Ω
C．当踏板上人的质量为 95kg时，U0＝2V
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
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9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点 A，C为圆心，以大于 的长
为半径作弧，两弧分别相交于点 P、Q，作直线 PQ交 BC于点 D，连接 AD．以下结论不正
确的是（ ）
14．如图，将正方形 AOBC绕点 O逆时针旋转 30°后得到正方形 DOEF，则点 D的坐标
为 ．
A．∠BAD＝72° B．BD＝AC
C． D．
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＜0；②abc＞0；
③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＞0；⑤a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
15．如图，AB是⊙O的一条弦，点 C是⊙O上一动点，且∠ACB＝45°，点 E，F分别是 AC，
BC的中点，直线 EF与⊙O交于 G，H两点．若⊙O的半径是 4，则 GE+FH的最大值
是 ．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．若点 A（3，5）与点 B（m，n）关于 y轴对称，则 m+n的值为 ．
12．已知 是方程组 的解，则 m﹣n＝ ． 三．解答题：本题共 8小题，共 75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦．C为⊙O上一点，∠ACB＝45°，连接 AO并延长至点 16．（6分）（1）计算： ．
D，过点 D作 DE∥AC交 BC于点 E，连接 CD，AE．当 AD＝8时，四边形 ACDE面积的最
（2）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．
大值为 ．
17．（7分）先化简，再求值：当 时，求代数式（a ） 的值．
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18．（8分）如图，为了测量山坡上一根电线杆 PQ的高度，小李在点 A处利用测角仪测得电线
杆顶 P的仰角为 45°，然后他沿着正对电线杆 PQ的方向前进 18米到达点 B处，此时测得
电线杆顶 P和电线杆底 Q的仰角分别是 60°和 30°，设 PQ垂直于 AB，且垂足为 C．
（1）求∠PBQ的度数；
（2）求电线杆 PQ的高度（结果保留根号）．
数据分析与 根据以上信息解决下列问题：
应用 （1）本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是
分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校 1200名学生的模型设计成绩不低于 80分的人数；
19．（10分）为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展“逐梦科技强国”主题活动．下
（4）学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同
面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的
模型设计水平调查报告
概率．
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 20．综合与实践
调查目的 通过数据分析，获取信息，发展数据观念和应用意识． 如图 1，在左边托盘 A中放置一个固定的重物，在右边托盘 B中放置一定质量的砝码（可左
调查对象 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘 B与点 O的距离，记录相应的托盘 B中的砝码质
数据收集与 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用 x表示），并整理， 量，得到如下表：
表示 将其分成如下四组： 托盘 B与点 O的距离 x/cm 10 15 20 25 30
A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100． 托盘 B中的砝码质量 y/g 30 20 15 12 10
下面给出了部分信息：
其中 C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，
87，87，88，88，89，89，89．
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（1）依据实验得出，x与 y的对应点，请您在本题图 2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当 0＜x＜3时，在抛物线上求一点 E，使△CBE的面积有最大值；
（2）当砝码质量为 24g时，求托盘 B与点 O的距离； （3）连接 AC，点 N在 x轴上，点 M在对称轴上，是否存在点 M，N，使以 C、P、M、N
（3）当托盘 B向左移动 6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘 B中的砝码 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘 B中的砝码质量．
21．（10分）如图，已知 AB是⊙O的直径，点 F在⊙O上，点 C为 AB延长线上一点，AE⊥CF， 23．（12分）问题提出
垂足为 E，AF平分∠EAC，AG＝BG，连接 AG，BF． （1）如图（1），在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交 AB，AC于点D，E，则
（1）求证：EC是⊙O的切线；
．（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）若 ，AF＝8，求线段 EF的长．
问题探究
（2）如图（2），BD是△ABC的角平分线，过点 D作 DE∥AB交 BC于点 E，求证：DE AC
＝AD BC．
问题拓展
22．（12分）如图（1），直线 y＝﹣x+3与 x、y轴分别交于点 B（3，0）、点 C（0，3），经过 B、
2 （3）如图（3），在菱形 ABCD中，∠ADC＝60°，点 G在射线 CD上，且 CG＝3BC．连接C两点的抛物线 y＝x +bx+c与 x轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
BG交 AC于点 F，过点 F作 CD∥FH交 BC于点 H，若 ，求
BG的长．
（1）求该抛物线的解析式与点 P的坐标；
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参考答案 ；
一．选择题 当 a 1时，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
原式
答案 C B C B． B B D C C C
二．填空题
11．2．
．
12．7．
13． ． 18．解：（1）∠PBQ＝60°﹣30°＝30°；
14．（﹣1， ）． （2）∵∠PBC＝60°，∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝30°；
15． ．
∴∠BPC＝∠PBQ＝30°，
∴BQ＝PQ
三．解答题
设 PQ＝BQ＝2x米，
16．解：（1）原式 在 Rt△BCQ中，∠CBQ＝30°，
∴CQ＝x米，
＝2； ∴BC x，
（2）原式＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25） ∴AC＝18 x，PC＝3x
＝4a2﹣12a+9﹣a2+25
在 Rt△APC中，∠PAC＝45°，
＝3a2﹣12a+34．
∴AC＝PC，
∴3x＝18 x，
17．解：原式
∴x＝9+3 ，

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∴PQ＝2x＝（18+6 ）米． 共有 12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有 2种，即（甲，丙），（丙，
甲），
答：电线杆 PQ的高度约为（18+6 ）米．
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为 ．
20．解：（1）描点并连线，函数图象如图所示，
19．解：（1）本次共抽取的学生人数为 10÷20%＝50（名），
∴成绩的中位数是第 25个和第 26个成绩的平均数 83.5（分），
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 360° 144°，
故答案为：50，83.5，144°；
由图象可得 y与 x之间是反比例函数关系，
（2）B组的人数为 50×30%＝15（人），
∴设 ，
补全频数分布直方图如下：
∵当 x＝10时，y＝30，
∴ ，
解得 k＝300，
∴ ．
（2）当 y＝24时，代入得， ，
（3） （人）， 解得 x＝12.5，
∴当砝码质量为 24g时，托盘 B与点 O的距离是 12.5cm．
答：估计全校 1200名学生的模具设计成绩不低于 80分的人数为 720人；
（3）设移动前托盘 B中的砝码质量为 mg，托盘 B与点 O的距离 acm，
（4）列表如下：
ma＝300，2m（a﹣6）＝300，
甲 乙 丙 丁
解得 m＝25．
甲 （甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）
∴在移动前托盘 B中的砝码质量为 25g．
乙 （乙，甲） （乙，丙）（乙，丁）
21．（1）证明：如图，连接 OF，
丙 （丙，甲）（丙，乙） （丙，丁） ∵OA＝OF，
丁 （丁，甲）（丁，乙）（丁，丙） ∴∠OAF＝∠OFA，
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∵AF平分∠EAC， ∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴∠OAF＝∠EAF， ∴顶点 P的坐标为（2，﹣1）；
∴∠EAF＝∠OFA， （2）当 0＜x＜3时，如图（2），在此抛物线上任取一点 E，连接 CE、BE，经过点 E作 x轴
∴OF∥AE， 的垂线 FE，交直线 BC于点 F，
∵AE⊥CF，
∴OF⊥CF，
∵OF是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
设点 F（x，﹣x+3），则点 E（x，x2﹣4x+3），
∴∠AGB＝∠AFB＝90°，
∴EF＝﹣x2+3x，
∵BG＝AG＝6 ，
∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF
∴AB 12，
∴BF 4 ，
∵∠E＝∠AFB，∠EAF＝∠FAB，
，
∴△AEF∽△AFB，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴当 时，S△CBE有最大值，
解得：EF ．
此时， ，
22．解：（1）点 B（3，0）、点 C（0，3），经过 B、C两点的抛物线 y＝x2+bx+c的顶点为 P， ∴ ；
将点 B、点 C的坐标分别代入得：
（3）存在点 M，N，使以 C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形；点 M的坐标为（2，
， 4）或（2，2）或（2，﹣4）．理由如下：
如图（3），C（0，3），P（2，﹣1），设 M（2，y），N（x，0），
解得： ，
当 CN为对角线时，
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∴∠EDB＝∠DBE，
依题意得： ，
∴DE＝BE，
解得： ，
∴ ，
∴M1（2，4），N1（4，0）；
∴DE AC＝AD BC；
当 CP为对角线时，
（3）解：∵四边形 ABCD是菱形，
依题意得： ，
∴AD∥BC，∠ADC＝60°，
解得： ， 又∵GD∥FH，
∴M2（2，2），N2（0，0）； ∴类比由（2）中结论可得：FH BG＝FG BC，
当 CM为对角线时， ∵ ，
依题意得： ，
∴ ，即 ，
解得： ， 解得：BC＝2，
∴M3（2，﹣4），N3（0，0）； ∴CG＝3BC＝6，
综上所述，存在点M，N，使以 C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形；点M的坐标为 如图 3，过点 B作 BQ⊥CD，垂足为点 Q，
（2，4）或（2，2）或（2，﹣4）． ∵AD∥BC，∠ADC＝60°，
∴∠BCQ＝60°，
23．（1）解：∵DE∥BC， ∴∠CBQ＝30°，
∴△ADE∽△ABC， ∴ ，
∴ ．
在直角三角形 BCQ中，由勾股定理得： ，
故答案为：＝；
在直角三角形 BGQ中，由勾股定理得： ．
（2）证明：∵DE∥AB，
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∴∠ABD＝∠EDB， ，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
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