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第6章空间向量与立体几何
一、 单项选择题
1 (2025合肥期末)已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足＝λ＋＋，则 实数λ的值为(　　)
A. B. C. D.
2 (2026佛山实验中学月考)如图，正方体ABCDEFGH的棱长为1，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(第3题) (第4题)
4 (2025河南期末)如图，正四面体OABC中，AB＝1，M为OA的中点，点N在BC上，且＝2，则M，N两点之间的距离为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025海南期末)已知AB是圆柱下底面的直径，C是下底面圆弧AB的中点，CF，BG是圆柱的母线，M是线段CF的中点，AB＝CF＝4，则点F到平面AMG的距离为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 2
6 (2025杭州期中)在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学发现：数轴上，方程Ax＋B＝0(A≠0)可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O-xyz中，方程Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面．过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程可表示为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.根据上述材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x＋y＋1＝0，直线l是两平面2x－y＋z＝0与x＋2y＋2＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024安徽期末)已知{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是(　　)
A. c，a＋b，c－a－b共面
B. 存在不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0
C. 若d·a＝0，d·b＝0，则d∥c
D. 若(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝0，则|a＋c|＝|b|
8 (2025沧州期中)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，点E满足＝4，则下列结论中正确的是(　　)
A. AO⊥平面A1BD
B. EO∥平面A1BD
C. 在上的投影向量为
D. 平面DA1B与平面A1AB夹角的余弦值为
三、 填空题
9 (2025焦作期末)已知空间中的三点A(3，0，0)，B(0，3，3)，C(0，1，0)，则直线AC与AB所成角的余弦值为________．
10 已知＝(1，1，－2)，＝(1，－1，z)，＝(x－1，y，－1).若BP⊥平面ABC，则||的最小值为________．
11 (2025山西期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC将△ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角P-AC-B的大小为________．
　　
四、 解答题
12 如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，两两夹角均为60°.
(1) 求·的值；
(2) 求证：AC1⊥平面A1BD.
13 (2025无锡期中)在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，
(1) 求证：直线MN∥平面OCD；
(2) 求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．
(3) 求点N到平面OCD的距离．
1. D　因为点M在平面ABC内，且＝λ＋＋，所以λ＋＋＝1，解得λ＝.
2. C　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，因为＝＋＋，所以＝.令a＝＝，u＝＝(1，0，0)，则a2＝2＋2＋2＝，a·u＝×1＋×0＋×0＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝.
3. A　设CB＝t>0，则C(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(0，t，0)，B1(0，t，2)，M(1，，2)，C1(0，0，2)，所以＝(－2，t，－2)，＝(1，，0).由⊥，得·＝－2＋＝0，所以t＝2，所以＝(1，1，2)，＝(－2，2，－2)，所以cos 〈，〉＝＝＝－，故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.
4. C　设＝a，＝b，＝c.在正四面体OABC中，因为AB＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝.因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.因为M为OA的中点，所以＝－＝－＝－a＋b＋c，所以||2＝＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝＋＋－－＋＝，故||＝＝.
5. B　如图，分别取圆柱上、下底面的圆心为O′，O，因为AB是圆柱下底面的直径，C是下底面圆弧AB的中点，所以OC⊥AB，可得OC，OB，OO′两两垂直，故以O为坐标原点，OC，OB，OO′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－2，0)，G(0，2，4)，M(2，0，2)，F(2，0，4)，所以＝(2，2，2)，＝(0，4，4)，＝(0，0，－2).设平面AMG的法向量为n＝(x，y，z)，则可取n＝(0，1，－1)，故点F到平面AMG的距离为d＝＝＝.
6. D　由题意，得平面α的法向量为n＝(2，1，0).设直线l的方向向量为a＝(x，y，z)，则令y＝－1，则x＝2，z＝－5，即a＝(2，－1，－5).设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.
7. AD　由c＝(a＋b)＋(c－a－b)，得c，a＋b，c－a－b共面，故A正确；若存在不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c共面，不能构成基底，故B错误；当d≠0时，有d⊥a，d⊥b，由题意，得a，b，c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b，即不一定有d∥c，故C错误；由(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝0，得(a＋c)2－b2＝0，即(a＋c)2＝b2，则|a＋c|＝|b|，故D正确．故选AD.
8. AD　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，O(1，1，1)，E，所以＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，＝，＝(－1，1，1)，＝(0，2，2).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝－1，得n＝(－1，1，1).对于A，由＝n，得AO⊥平面A1BD，故A正确；对于B，n·＝－≠0，则EO不与平面A1BD平行，故B错误；对于C，在上的投影向量为·＝，故C错误；对于D，平面A1AB的一个法向量为m＝(1，0，0)，设平面DA1B与平面A1AB的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，故D正确．故选AD.
9. 　由题意，得＝(－3，1，0)，＝(－3，3，3).设直线AC与AB所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝，所以直线AC与AB所成角的余弦值为.
10. 　因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥BC，则则y＝－x－1，z＝2x.又＝－＝(x－2，y＋1，－1－z)，所以||＝＝≥，所以||的最小值为.
11. 　由题意，得PC⊥AC，AC⊥AB，则·＝·＝0，||＝1，||＝||＝2.设PACB的大小为θ，则θ与〈，〉互补，而＝＋＋，则||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.又||＝，所以13＝4＋1＋4＋2×2×2cos 〈，〉，解得cos 〈，〉＝，所以cos θ＝－cos 〈，〉＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
12. (1) 设平行六面体的棱长为1.
令a＝，b＝，c＝，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，
＝－＝c－b，＝＋＝＋＋＝b＋c＋a，
故·＝(c＋b＋a)·(c－b)＝c2＋b·c＋a·c－b·c－b2－a·b＝12＋1×1×＋1×1×－1×1×－12－1×1×＝1＋＋－－1－＝0.
(2) 由(1)，得＝－＝c－a，＝b＋c＋a，
故·＝(c－a)·(c＋b＋a)＝c2＋b·c＋a·c－a·c－a·b－a2＝12＋1×1×＋1×1×－1×1×－1×1×－12＝1＋＋－－－1＝0，
故⊥，即AC1⊥A1D.
又由(1)知，AC1⊥BD，A1D∩BD＝D，A1D 平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以AC1⊥平面A1BD.
13. (1) 在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，则AB，AD，AO两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，
所以＝(2，1，－1)，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2).
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(0，1，1)，
则n·＝0，即n⊥.
又MN 平面OCD，
所以直线MN∥平面OCD.
(2) 由(1)知，＝(2，2，0)，且平面OCD的一个法向量为n＝(0，1，1).
设直线AC与平面OCD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
所以cos θ＝＝，
故直线AC与平面OCD所成角的余弦值为.
(3)由(1)知，＝(0，1，0)，且平面OCD的一个法向量为n＝(0，1，1).
所以点N到平面OCD的距离d＝＝＝.

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