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6.3.4空间距离的计算
一、 单项选择题
1 (2025湖州期末)已知空间三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，1，1)，则点C到直线AB的距离是(　　)
A. B. C. D.
2 (2025广东期末)已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD的一个法向量为n＝(3，12，4)，＝(－6，2，－8)，则该四棱锥的高为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 (2025甘肃期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1和BB1的中点，则以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点C到平面EFD1的距离为(　　)
A. B. C. D.
4 (2025菏泽开学考试)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则直线AE到平面C1DF的距离为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025福州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别为PA，PC的中点，＝4，PA＝AC＝2AB＝4，则点M到平面BDE的距离是(　　)
A. B. C. D.
6 (2025滨州期末)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3，点N在棱CC1上．若直线A1B1到平面ABN的距离为，则的值为(　　)
A. 1 B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024永州开学考试)已知空间四点A(－1，1，0)，B(2，2，1)，C(1，1，1)，D(0，2，3)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB⊥CD
B. AD＝
C. 点A到直线BC的距离为
D. 点D到平面ABC的距离为
8 (2024宝鸡期中)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面ABC1D1的距离为
C. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
三、 填空题
9 (2025重庆期末)已知平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，平面α外一点A的坐标为(1，2，1)，则点A到平面α的距离为________．
10 (2025济宁开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为________．
11 已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为________．
四、 解答题
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1.
(1) 求证： AB1∥平面BC1D；
(2) 求直线AB1到平面BC1D的距离．
13 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为.
(1) 求PD的长；
(2) 求点C到平面PEB的距离．
6．3.4　空间距离的计算
1. C　因为A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，1，1)，所以＝(－1，1，－1)，＝(0，1，0)，所以向量在上的投影向量的模为＝＝，所以点C到直线AB的距离是＝＝.
2. B　由题意可得该四棱锥的高h＝＝＝＝2.
3. A　因为C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(2，0，－1)，＝(2，2，－1)，＝(0，－2，2).设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝0，z＝2，所以平面D1EF的一个法向量n＝(1，0，2)，故点C到平面D1EF的距离为＝.
4. D　以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，E(0，0，)，所以＝，＝，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)，所以∥，可得AE∥FC1.因为AE 平面C1DF，FC1 平面C1DF，所以AE∥平面C1DF，所以直线AE到平面C1DF的距离即为点A到平面C1DF的距离．设平面C1DF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则z＝2，y＝－2，所以n＝(1，－2，2)，所以直线AE到平面C1DF的距离为＝＝.
5. B　易知AB，AC，AP两两垂直，故以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，A(0，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，所以＝(0，2，0)，＝(2，0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令x＝1，得n＝(1，0，1).又＝(－2，0，1), 设点M到平面BDE的距离为d，所以d＝＝＝.
6. C　由题意知，该几何体为长方体，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，设N(0，2，t)(0≤t≤3).因为A1B1∥AB，A1B1 平面ABN，AB 平面ABN，所以A1B1∥平面ABN，故直线A1B1到平面ABN的距离即为点B1到平面ABN的距离．又＝(0，2，0)，＝(－2，0，t)，＝(0，0，3)，设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(t，0，2)，故直线A1B1到平面ABN的距离d＝＝＝，解得t＝1，故＝.
7. ABD　对于A，＝(3，1，1)，＝(－1，1，2)，因为·＝－3＋1＋2＝0，所以AB⊥CD，故A正确；对于B，AD＝＝，故B正确；对于C，＝(－1，－1，0)，取a＝＝(－3，－1，－1)，u＝＝(－1，－1，0)＝(－，－，0)，所以a2＝，a·u＝2，所以点A到直线BC的距离为＝＝，故C错误；对于D，＝(3，1，1)，＝(2，0，1)，＝(1，1，3)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－2)，所以点D到平面ABC的距离为d＝＝＝，故D正确．故选ABD.
8. BC　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，O.对于A，＝(－1，0，0)，＝.设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝，故点A到直线BE的距离d1＝||sinθ＝1×＝，故A错误；对于B，＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确；对于C，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.因为＝(1，0，－1)＝，所以D1C∥A1B.又D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，所以D1C∥平面A1BD，同理可得B1C∥平面A1BD，所以平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确；对于D，因为＝＋＋，所以＝.又＝(1，0，0)，则＝，所以点P到直线AB的距离d＝＝＝，故D错误．故选BC.
9. 　由题意，得＝(－1，－2，0).又平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，所以点A到平面α的距离为＝＝＝.
10. 　因为PB⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC.又AB⊥BC，所以AB，BC，PB两两垂直，如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，P(0，0，2)，所以＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，则·＝4，||＝，所以在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为＝.
11. 　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0).设平面EMN的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，可得m＝(1，1，－1)，所以·m＝0，即⊥m.又AC 平面EMN，所以AC∥平面EMN，故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离．又＝(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为＝＝，即直线AC与平面EMN之间的距离为.
12. (1) 以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B-xyz，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D(，，0)，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，
所以＝(1，0，1)，＝(，，0)，＝(0，－1，1).
设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
所以·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，
所以⊥n.
因为AB1 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2) 因为AB1∥平面BC1D，所以直线AB1上任一点到平面BC1D的距离都相等．
又＝(0，1，0)，
设直线AB1到平面BC1D的距离为d，
则d＝＝＝，
所以直线AB1到平面BC1D的距离为.
13. (1) 由题意，得DA，DC，DP两两垂直，故以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
设PD＝h(h>0).
由题意，得E(1，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，h)，
所以＝(1，0，－h)，＝(1，2，0).
设平面PEB的法向量为n＝(x0，y0，z0),
则即
令x0＝2，则y0＝－1，z0＝，
所以n＝(2，－1，).
又因为PD⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1).
由题意，得cos 〈m，n〉＝＝＝， 解得h＝2，所以PD＝2.
(2) 由(1)，得平面PEB的一个法向量为n＝(2，－1，1).
又C(0，2，0)，所以＝(－2，0，0)，
故点C到平面PEB的距离为＝.

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