资源简介

6.3.3空间角的计算(1)
一、 单项选择题
1 (2024抚州期中)已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(－1，1，2)，C(－1，0，－1)，则异面直线OC与AB所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
2 (2025湖南开学考试)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，－2，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025东北师大附中期中)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
(第3题) 　(第4题)
4 (2025保定开学考试)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝4，AC＝3，AB＝5，E是CC1的中点，则直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025武汉期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3，＝3，则BE与DF所成角的正弦值是(　　)
A. B.
C. D.
6 (2024益阳期末)在如图所示的空间直角坐标系A-xyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的上底面A1B1C1内一动点，A1A＝AB＝2.若直线PA和底面ABC所成角的大小为，则点P的坐标满足(　　)
A. x2＋y2＝
B. x2＋y2＝2
C. x2＋y2＝3
D. x2＋y2＝4
二、 多项选择题
7 (2025晋中期末)在空间直角坐标系O-xyz中，点A(2，0，0)，B(2，1，－2)，C(0，0，－2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ·＝4
B. 异面直线OC与AB所成角的大小为
C. 点B关于x轴的对称点为(2，－1，2)
D. 直线OB与平面AOC所成角的正弦值为
8 如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B. 直线AB与直线CD所成角的余弦值为
C. 直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D. 直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
三、 填空题
9 在空间直角坐标系O-xyz中，若平面ABC的一个法向量为m＝(0，2，1)，直线AP的一个方向向量为n＝(1，1，1)，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值为________．
10 (2025上饶期末)在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝BC＝4，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为________．
11 (2025浙江开学考试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段BC1上的一点，则直线DP与平面AC1D所成角的正弦值的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2025亳州开学考试)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，P为线段BC1上一点．
(1) 若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；
(2) 若BP＝PC1，求PC与平面ABB1A1所成角的大小．
13 (2024运城期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M是棱PD上的动点，N是棱AB上的一点，且＝，CD＝PD＝2AD＝PC.
(1) 求证：MN⊥AC；
(2) 若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，试确定点M的位置．
6．3.3　空间角的计算(2)
一、 单项选择题
1 已知△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
2 已知平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)
A. － B.
C. D. 以上都不对
3 (2025湛江期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝，则平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024渭南期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝PA＝CD＝1，BC＝2，M为PD的中点，则二面角M-BC-A的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025安徽期末)已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点．若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A-BD-C的大小为45°，则此时cos ∠EOF的值为(　　)
A. － B. － C. D.
6 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC的中点，则二面角M-AC1-C的余弦值为(　　)
A. － B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025南通期末)设直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面β，m，n分别为直线l1，l2的一个方向向量，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若m⊥n，则α⊥β
B. 若cos 〈m，n〉＝－，则直线l1，l2所成角的大小为60°
C. 若cos 〈m，n〉＝－，则直线l1与平面β所成角的大小为60°
D. 若cos 〈m，n〉＝－，则平面α，β夹角的大小为60°
8 (2024邵阳期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，则下列结论中正确的是(　　)
A. PA∥平面EDB
B. PB⊥平面EFD
C. 直线PB与平面ABCD所成角的余弦值为
D. 平面CPB与平面PBD夹角的大小为60°
三、 填空题
9 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝2BC＝2，D为棱AA1上的一点．若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为________．
10 (2024深圳期末)已知矩形ABCD，AB＝，BC＝1，将矩形沿着对角线BD对折，形成一个空间四边形ABC′D，当AC′＝时，二面角A-BD-C′的余弦值为________．
11 (2024亳州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝λ(0<λ<1)，若二面角B-A1P-B1的平面角的正弦值为，则实数λ的值为________．
四、 解答题
12 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．
(1) 求证：平面PBE⊥平面PAD；
(2) 若直线PB与平面PAD所成角的大小为45°，求二面角C-PE-D的余弦值．
13 (2025淮北期末)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1) 求证：BF∥平面ADE；
(2) 若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长．
6．3.3　空间角的计算(1)
1. A　由题意，得＝(－1，0，－1)，＝(－2，1，1).设异面直线OC与AB所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝.
2. A　设l与α所成角的大小为θ，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝＝.
3. C　取AB的中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设AB＝2，则B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，)，A(0，－1，0).又E，F分别为BC，AC的中点，所以E(0，，)，F(0，－，)，则＝(0，－，)，＝(－1，，).设异面直线BF和DE所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝0.又θ∈(0，]，所以θ＝.
4. D　由题意易得CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，A1(3，0，4)，E(0，0，2).设平面A1BE的法向量为m＝(x，y，z)，因为＝(－3，4，－4)，＝(0，－4，2)，所以令y＝3，得m＝(－4，3，6).因为＝(－3，4，0)，所以cos 〈m，〉＝＝，故直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为.
5. C　如图，设正方体棱长为4，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.因为＝＋＝＋＝a＋c，＝＋＝－＝－a＋c，所以||2＝＝a2＋c2＝1＋16＝17，故||＝，||2＝2＝a2＋c2＝1＋16＝17，故||＝，且·＝·＝c2－a2＝15，则cos 〈，〉＝＝.设BE与DF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.
6. A　由题意，得A(0，0，0)，A1(0，0，2).由P(x，y，z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的上底面A1B1C1内一动点，得z＝2，所以＝(－x，－y，－2).又AA1⊥平面ABC，所以＝(0，0，2)是平面ABC的一个法向量．因为直线PA和底面ABC所成角的大小为，所以|cos 〈，〉|＝＝＝＝，整理，得x2＋y2＝.
7. ACD　对于A，＝(0，0，－2)，＝(0，1，－2)，所以·＝4，故A正确；对于B，cos 〈，〉＝＝＝，所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为，则异面直线OC与AB所成角的大小不是，故B错误；对于C，点B关于x轴的对称点为(2，－1，2)，故C正确；对于D，易知平面AOC为坐标平面xOz，则平面AOC的一个法向量为m＝(0，1，0)，所以cos 〈，m〉＝＝，则直线OB与平面AOC所成角的正弦值为，故D正确．故选ACD.
8. ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB＝2，则A(0，－1，)，C(0，2，0)，D(，－1，0)，所以＝(，0，－)，＝(0，2，0)，＝(0，1，－)，＝(，－3，0).因为·＝0，所以AD⊥BC，即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，故A正确；因为|cos 〈，〉|＝＝，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，故B正确；设直线AD与平面BCD所成的角为θ，因为n＝(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，所以sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误．故选ABC.
9. 　设直线AP与平面ABC所成的角为α.因为平面ABC的一个法向量为m＝(0，2，1)，直线AP的一个方向向量为n＝(1，1，1)，所以sin α＝＝＝.
10. 　如图，在四棱锥S-ABCD中，由SA⊥平面ABCD，可得SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥AC，则·＝·＝0.在平行四边形ABCD中，因为∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，所以∠BAD＝120°，AC＝AB＝4.由E为SA的中点，得||＝＝2，||＝＝4.又＝－＝－，＝－＝－－，所以·＝·(－－)＝||2＋·＋||2＝×42＋4×4×＋42＝16，则cos 〈，〉＝＝＝，故异面直线SC与DE所成角的余弦值为.
11. 　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0).设P(m，2，2－m)(0≤m≤2)，所以＝(m，2，2－m)，＝(0，2，2)，＝(2，0，0).设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则取n＝(0，1，－1).设直线DP与平面AC1D所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，当m＝0时，sin θ＝0；当m∈(0，2]时，sin θ＝＝，设t＝∈[1，＋∞)，则－＋1＝t2－t＋1∈[1，＋∞)，所以∈.综上sin θ∈，故直线DP与平面AC1D所成角的正弦值的取值范围为.
12. 因为AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，
所以AB，AC，AA1两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(0，1，1).
(1) 因为BP＝PC1，所以P，
所以＝，＝(0，0，1).
设PC与AA1所成的角为θ，
则cos θ＝＝，
故PC与AA1所成角的余弦值为.
(2) 设P(a，b，c)，由BP＝PC1，得＝，
则(a－1，b，c)＝(－a，1－b，1－c)，
解得P(－1，2－，2－)，
所以＝(－1，1－，2－).
设PC与平面ABB1A1所成的角为α，
因为平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
所以sin α＝＝＝，
所以PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°.
13. (1) 因为CD＝PD＝PC，
所以CD2＋PD2＝PC2，所以PD⊥CD.
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD 平面PCD，
所以PD⊥平面ABCD.
因为AD 平面ABCD，
所以PD⊥AD.
因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD，
故DA，DC，DP两两垂直．
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设CD＝4，则A(2，0，0)，C(0，4，0)，B(2，4，0)，N(2，1，0)，
设M(0，0，t)(0≤t≤4)，
所以＝(2，1，－t)，＝(－2，4，0).
因为·＝2×(－2)＋1×4＋(－t)×0＝0，
所以⊥，即MN⊥AC.
(2) 由(1)，得＝(2，1，－t)，＝(2，0，0)，＝(0，－4，t).
设m＝(x，y，z)为平面MBC的法向量，
则
令y＝t，得x＝0，z＝4，所以m＝(0，t，4).
设直线MN与平面MBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈m，〉|＝＝，
所以(t2－20)(t2－4)＝0，
因为0≤t≤4，所以t＝2，
即M是棱PD的中点．
6．3.3　空间角的计算(2)
1. A　如图，取BC的中点D，连接AD，PD.由题意，得PD⊥BC，AD⊥BC，所以∠PDA为二面角PBCA的平面角．以A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，则＝(0，－，0)，＝(0，－，1)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以〈，〉的大小为30°，所以∠PDA＝30°，即二面角P-BC-A 的大小为30°.
2. B　因为|n1|＝＝5，|n2|＝＝5，n1·n2＝4×0＋3×(－3)＋0×4＝－9，所以cos 〈n1，n2〉＝＝＝－.又因为平面α与β夹角等于向量n1，n2的夹角或其补角，且这两个平面夹角范围为，所以平面α与平面β夹角的余弦值为.
3. D　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，0)，B1(2，2，0)，B(2，2，2)，C(0，2，2).由＝，得P，则＝(0，2，0)，＝(0，2，2)，＝.设平面A1BP的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(2，1，－1).设平面A1B1P的法向量为m＝(a，b，c)，则令a＝1，得m＝(1，0，1)，所以平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
4. A　过点A作AE∥BC交CD于点E.因为PA⊥平面ABCD，AE，AB均在平面ABCD内，所以PA⊥AE，PA⊥AB.又因为AB∥CD，∠ABC＝，所以AE⊥AB，所以PA，AE，AB两两垂直，故以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝PA＝CD＝1，BC＝2，M为PD的中点，所以A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，1，0)，P(0，0，1)，D(2，－1，0)，M(，－，)，所以＝(2，0，0)，＝(，－，).设平面BCM的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝0，z＝3，即平面BCM的一个法向量为n＝(0，1，3).显然平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，且二面角M-BC-A为锐角，所以二面角M-BC-A的余弦值为|cos 〈m，n〉|＝＝＝.
5. D　翻折后如图，易知OA⊥BD，OC⊥BD.由题意，得〈，〉＝，且＝(＋)，＝(＋).设正方形的边长为2，则OA＝OB＝OC＝OD＝，OE＝OF＝1，所以cos 〈，〉＝＝×＝＝，故cos ∠EOF的值为.
6. B　根据棱台的性质可知A1B1＝1.因为A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M(1，1，0)，C1(0，1，2)，所以＝(1，1，0)，＝(0，1，2).设平面MAC1的法向量为n＝(x，y，z)，则故可得平面MAC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).又平面CC1A的一个法向量为m＝(1，0，0)，设二面角M-AC1-C为θ，由图可知θ为锐角，所以cos θ＝＝.
7. ABD　对于A，若m⊥n，则α⊥β，故A正确；对于B，若cos 〈m，n〉＝－，又0°≤〈m，n〉≤180°，所以〈m，n〉＝120°.因为直线l1，l2所成角的取值范围为[0°，90°]，所以直线l1，l2所成角的大小为60°，故B正确；对于C，设直线l1与平面β所成的角为θ，θ∈[0°，90°]，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，所以θ＝30°，故C错误；对于D，若cos 〈m，n〉＝－，则〈m，n〉＝120°.因为平面α，β夹角的取值范围是[0°，90°]，所以平面α，β夹角的大小为60°，故D正确．故选ABD.
8. ABD　以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC＝1.对于A，由题意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，所以＝(1，0，－1)，＝(1，1，0)，＝(0，，).设平面EDB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取m＝(1，－1，1)，则·m＝0.因为PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB，故A正确；对于B，＝(1，1，－1)，因为·＝0＋－＝0，所以PB⊥ED.又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF 平面EFD，DE 平面EFD，所以PB⊥平面EFD，故B正确；对于C，因为侧棱PD⊥底面ABCD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角的平面角．又BD＝＝，PB＝＝，所以cos ∠PBD＝＝＝，故C错误；对于D，由题意，得C(0，1，0)，且＝(1，0，0)，＝(0，1，－1).设平面CPB的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得n＝(0，1，1).设平面PBD的法向量为s＝(a，b，c)，则令a＝1，得s＝(1，－1，0)，所以cos 〈n，s〉＝＝－，可得平面CPB与平面PBD夹角的大小为60°，故D正确．故选ABD.
9. 　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，所以1＝(0，1，2)，＝(0，1，0).设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，＝(2，0，a).设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则即令z＝－1，得m＝(，2，－1).又平面C1DC的一个法向量为＝(0，1，0)，记为n，则由cos 30°＝＝＝，解得a＝(负值舍去)，故AD＝.
10. 　在△ABD和△BC′D中，分别过点A，C′作AM⊥BD，C′N⊥BD，垂足分别为M，N.由S△ABD＝AM·BD＝AB·AD，代入BD＝＝，AB＝，AD＝1，得AM＝＝，所以DM＝＝＝，同理可得C′N＝，BN＝，所以MN＝.设二面角ABDC′的大小为θ(0≤θ≤π)，则与的夹角为π－θ.由＝＋＋，得||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，所以＝＋＋＋0＋2×cos (π－θ)＋0，解得cos θ＝，所以二面角A-BD-C′的余弦值为.
11. 或　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(1，0，0)，＝(1，0，－1)，＝＋＝(1，0，0)＋λ(0，1，－1)＝(1，λ，－λ).设平面BA1P，平面B1A1P的法向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，所以即分别令z1＝1，z2＝1，则x1＝1，y1＝1－，x2＝0，y2＝1，故a＝(1，1－，1)，b＝(0，1，1).设二面角B-A1P-B1的平面角为θ.由题意，得sin θ＝，所以|cos θ|＝，故由|cos θ|＝＝＝，解得λ＝或λ＝.
12. (1) 连接BD.因为AB＝AD，∠DAB＝60°，
所以△ABD是等边三角形．
又E是AD的中点，所以BE⊥AD.
因为PD⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PD⊥BE.
又PD∩AD＝D，PD 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE⊥平面PAD.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAD.
(2) 因为BE⊥平面PAD，
所以∠BPE为PB与平面PAD所成的角，即∠BPE＝45°.
又PE 平面PAD，
所以BE⊥PE.
因为△ABD是边长为2的等边三角形，
所以PE＝BE＝，
所以PD＝＝.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(－1，0，)，E(0，0，0)，C(－2，，0)，
所以＝(－1，0，)，＝(－2，，0).
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得m＝(1，，).
因为BE⊥平面PAD，
所以n＝(0，1，0)为平面PED的一个法向量，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，
显然二面角C-PE-D为锐角，
所以二面角C-PE-D的余弦值为.
13. (1) 由题意，易得AB，AD，AE两两垂直，
故以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，
设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).
易得＝(1，0，0)是平面ADE的一个法向量，
又＝(0，2，h)，所以·＝0，即BF⊥AB.
因为BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE.
(2) 由(1)，得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)，＝(0，2，h).
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，
则即
令z＝1，可得n＝(2，2，1).
设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，
则即
令y1＝1，可得m＝.
设二面角E-BD-F的平面角为α，
则cos α＝＝＝，
解得h＝，所以线段CF的长为.

展开更多......

收起↑