资源简介

6．3.2　空间线面关系的判定(1)
一、 单项选择题
1 (2025浙江开学考试)已知直线l的一个方向向量为u＝(1，5，4)，平面α的一个法向量为n＝(3，5，x).若直线l与平面α平行，则实数x的值为(　　)
A. 7 B. －7
C. 2 D. －2
2 (2025铜仁期末)已知m＝(2，－1，3)，n＝(－4，λ，μ)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则下列结论中正确的是(　　)
A. λ＝2μ
B. λ＝μ
C. 3λ＋μ＝0
D. λ＋3μ＝8
3 (2024深圳期末)已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“a，b共线”是“直线m，n平行”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2025石嘴山期末)已知直线l和平面α，且l∥α，l的一个方向向量为l＝(2，m，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，，n)，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
5 (2026金台七校期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则λ的值为(　　)
A. B. C. D.
6 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是矩形ABCD内一动点(不含边界)，若直线D1M与平面EFG平行，则·的最小值为(　　)
A. 2　　 B. 9　　
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024永州期末)已知平面α与平面β平行，若平面α的一个法向量为n＝(－1，2，－3)，则平面β的法向量可以是(　　)
A. (1，－2，3) B. (－1，－2，3)
C. (2，－4，6) D. (2，－4，－6)
8 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是(　　)
A. 线段CC1的中点 B. 线段BC的中点
C. 线段CD的中点 D. 线段C1D1的中点
三、 填空题
9 (2025北京怀柔期末)已知直线l1的一个方向向量为n＝(－2，1，3)，直线l2的一个方向向量为m＝(2，－1，t).若l1∥l2，则实数t的值为________．
10 若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＝________，z＝________．
11 (2025天壹名校期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，E是AD的中点，点P满足＝λ(λ∈R).当A1P∥平面D1CE时，λ的值为________．
四、 解答题
12 (2024湖北月考)如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，试用向量方法证明AP∥平面EFG.
13 (2024株洲期中)如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．求证：
(1) MN∥平面CC1D1D；
(2) 平面MNP∥平面CC1D1D.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
一、 单项选择题
1 (2026南菁高级中学期中)已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则实数x的值为(　　)
A. －7 B. －1 C. 1 D. 7
2 (2025青岛期中)已知a＝(－2，a＋b，a－b)是直线l的一个方向向量，n＝(2，－1，2)是平面α的一个法向量，若l⊥平面α，则下列结论中正确的是(　　)
A. a－3b－4＝0 B. a＝－，b＝
C. a－3b－5＝0 D. a＝，b＝－
3 (2025无锡期中)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量．若l⊥α，则a＋2b等于(　　)
A. B. － C. 6 D.
4 (2024徐州学情调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　)
A. A1D1⊥B1C B. A1D⊥BD
C. AC1⊥CD1 D. AC1⊥A1C
5 (2025攀枝花期初)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(　　)
A. [，] B. [，]
C. [，1) D. [，)
6 (2025重庆期初)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D的棱长为2，M，N分别为线段AA1，BC的中点．若P为正方体表面上一动点，且满足NP⊥平面MDC，则点P的轨迹长度为(　　)
A. 2 B.
C. D. 2
二、 多项选择题
7 (2024温州期中)已知直线l的方向向量是a，不同平面α，β的法向量分别是m，n，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若a∥m，则l⊥α
B. 若a·m＝0，则l⊥α
C. 若m∥n，则α⊥β
D. 若m·n＝0，则α⊥β
8 (2025许昌期初)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系．已知u＝(2，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，则下列命题中为真命题的是(　　)
A. m＝(－1，1，1)是直线A1C的一个方向向量
B. n＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量
C. 若l∥平面B1CD1，则a＝－1
D. 若l⊥平面B1CD1，则a＝2
三、 填空题
9 (2024焦作十一中月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点，当＝________时，D1E⊥平面AB1F.
10 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则实数a的值为________.
11 (2024泸州月考)已知点P(0，2，0)，O(0，0，0)，A(1，2，4)，B(－1，2，4)，过点P作PH⊥平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是________．
四、 解答题
12 (2025重庆七校月考)如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．求证：MN⊥平面PCD.
13 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1) 求证：A1E⊥BD；
(2) 若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置．
6．3.2　空间线面关系的判定(1)
1. B　因为直线l与平面α平行，所以u⊥n，所以u·n＝1×3＋5×5＋4x＝0，解得x＝－7.
2. C　由α∥β，得m∥n，则可设m＝kn，即(2，－1，3)＝k(－4，λ，μ)，所以解得所以3λ＋μ＝0.
3. C　若直线的方向向量a，b共线，则两直线平行或重合，又直线m，n是空间中两条不同的直线，所以两直线m，n平行，即“a，b共线”是“直线m，n平行”的充分条件；若直线m，n平行，则a，b共线，即“a，b共线”是“直线m，n平行”的必要条件．综上，“a，b共线”是“直线m，n平行”的充要条件．
4. C　由题意，得l·n＝－2＋m＋n＝0，即m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)＝(2＋＋).又m>0，n>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝，n＝1时，取等号，所以＋＝≥2.
5. C　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得＝(－1，0，1)，＝，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝(2，1，2).由＝(1，0，0)，且＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1).又因为B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0).由B1F∥平面A1BE，可得n·＝2(λ－1)＋1×1＋2×0＝0，解得λ＝.
6. C　以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，3，3)，F(4，，0)，G(4，3，)，D1(0，3，3)，B1(4，0，3).设M(x，y，0)，所以＝(2，－，－3)，＝(0，，)，＝(x，y－3，－3).设平面EFG的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则得令y1＝1，则n＝(－，1，－1).因为直线D1M与平面EFG平行，所以·n＝0，则－x＋y－3＋3＝0，即y＝x.因为＝(4－x，－y，3)，＝(－x，3－y，3)，所以·＝(4－x)·(－x)＋(－y)·(3－y)＋9＝x2－4x＋y2－3y＋9＝x2－4x＋(x)2－＋9＝x2－x＋9＝(x－2)2＋.又x∈(0，4)，所以当x＝2时，·取得最小值，最小值为.
7. AC　因为平面α与平面β平行，所以平面α的法向量与平面β的法向量平行．对于A, 若(1，－2，3)＝λ(－1，2，－3)，则此时λ＝－1，满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故A正确；对于B, 若(－1，－2，3)＝λ(－1，2，－3)，则此时无解，不满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故B错误；对于C，若(2，－4，6)＝λ(－1，2，－3)，则此时λ＝－2，满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故C正确；对于D，若(2，－4，－6)＝λ(－1，2，－3)，则此时无解，不满足平面α的法向量与平面β的法向量平行，故D错误．故选AC.
8. ABD　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q.不妨设棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，0，1)，M(0，2，1)，N(1，2，0)，P(0，1，0)，Q(0，1，2)，所以＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0).设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(1，1，1).又＝(－2，2，0)，＝(－1，2，－1)，＝(－2，1，－1)，＝(－2，1，1)，所以·n＝－2×1＋2×1＝0，·n＝－1×1＋2×1－1×1＝0，·n＝－2×1＋1×1－1×1＝－2，·n＝－2×1＋1×1＋1×1＝0，又EM，EN，EQ均不在平面A1BC1内，所以EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1，即若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是线段CC1的中点，线段BC的中点或线段C1D1的中点．故选ABD.
9. －3　因为直线l1的一个方向向量为n＝(－2，1，3)，直线l2的一个方向向量为m＝(2，－1，t)，l1∥l2，所以m∥n.设m＝λn，则2＝－2λ，－1＝λ，t＝3λ，所以λ＝－1，t＝－3.
10. 1　－4　因为α∥β，所以u1∥u2，所以存在实数λ使得u1＝λu2，即(－3，y，2)＝λ(6，－2，z)，所以解得
11. 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(3，0，2)，D1(0，0，2)，C(0，4，0)，E，B1(3，4，2)，所以＝(－3，0，－2)，＝(0，4，0)，＝λ＝λ(－3，0，－2)＝(－3λ，0，－2λ)，＝＋＝(0，4，0)＋(－3λ，0，－2λ)＝(－3λ，4，－2λ).设平面D1CE的法向量为n＝(x，y，z)，又＝，＝(0，4，－2)，则令y＝3，则x＝8，z＝6，所以n＝(8，3，6).因为A1P∥平面D1CE，所以·n＝0，即－24λ＋12－12λ＝－36λ＋12＝0，解得λ＝.
12. 由题意，得四边形ABCD为正方形．
因为PD⊥平面ABCD，DA 平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以DA，DC，DP两两垂直，
以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)，
所以＝(－2，0，2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1).
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则n＝(1，0，1).
因为n·＝－2＋0＋2＝0，且AP在平面EFG外，
所以AP∥平面EFG.
13. (1) 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．
因为＝(0，1，－1)，
且·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2) 因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
且＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
所以
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
1. D　因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.
2. B　由题意，得a∥n，所以＝＝，则解得
3. D　因为u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，且l⊥α，所以u∥n，则＝＝，所以解得a＝，b＝－，所以a＋2b＝＋2×＝.
4. C　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，故＝(－1，0，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，1，－1).对于A，·＝(－1)2＝1，故A错误；对于B，·＝(－1)2＝1，故B错误；对于C，·＝－1×1＋1×1＝0，故AC1⊥CD1，故C正确；对于D，·＝1＋1－1＝1，故D错误．
5. C　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC＝，可得AB，AC，AA1两两垂直，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G.设F(x，0，0)，D(0，y，0)，所以＝，＝.因为GD⊥EF，所以·＝－x－y＋＝0，得x＋2y－1＝0.因为x∈(0，1)，所以y＝∈，故DF＝＝＝＝∈.
6. B　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(2，0，1)，N(1，2，0)，C1(0，2，2)，所以＝(－1，0，2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，1)，故·＝(－1，0，2)·(0，2，0)＝0，·＝(－1，0，2)·(2，0，1)＝－2＋2＝0，所以⊥，⊥.又CD∩DM＝D，CD 平面MDC，DM 平面MDC，所以NC1⊥平面MDC，则当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，故点P的轨迹长度为NC1＝＝.
7. AD　若a∥m，则l⊥α，故A正确；若a·m＝0，则l∥α或l在α内，故B错误；若m∥n，则α∥β，故C错误；若m·n＝0，则α⊥β，故D正确．故选AD.
8. BCD　对于A，A1(0，0，1)，C(1，1，0)，所以＝(1，1，－1)，所以m＝(－1，1，1)不是直线A1C的一个方向向量，故A错误；对于B，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1).设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面B1CD1的一个法向量为n＝(1，1，1)，故B正确；对于C，若l∥平面B1CD1，则u·n＝0，即2＋a＋b＋a－b＝0，解得a＝－1，故C正确；对于D，若l⊥平面B1CD1，则u∥n，即a＋b＝a－b＝2，解得a＝2，b＝0，故D正确．故选BCD.
9. 　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，DF＝t(0≤t≤2)，则A(2，0，0)，F(0，t，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，2，0)，所以＝(1，2，－2)，＝(－2，t，0)，＝(0，2，2).若D1E⊥平面AB1F，则即解得t＝1，所以＝.
10. 2　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，a，0)，C(1，a，0).设Q(1，y，0)，P(0，0，z)，则＝(1，y，－z)，＝(－1，a－y，0).由·＝0，得－1＋y(a－y)＝0，即y2－ay＋1＝0.因为只有一个点Q满足PQ⊥QD，所以Δ＝a2－4＝0，所以a＝2(负值舍去).
11. (0，，)　设H(a，b，c)，则＝(a，b－2，c)，＝(1，2，4)，＝(－1，2，4).因为PH⊥平面OAB，OA 平面OAB，OB 平面OAB，所以PH⊥OA，PH⊥OB，则解得a＝0，b＝2－2c，所以H(0，2－2c，c).因为PH⊥平面OAB，H为垂足，所以O，A，B，H四点共面，则存在唯一实数对(x，y)使得＝x＋y，即(0，2－2c，c)＝(x－y，2x＋2y，4x＋4y)，所以解得x＝y＝，c＝，所以H(0，，).
12. 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，
所以AB，AD，AP两两垂直，
则以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0), M(1，0，0)，N(1，1，1)，
则＝(0，1，1)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，0).
不妨设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，则n＝(0，1，1).
因为∥n，所以MN⊥平面PCD.
13. 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).
设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(1) 因为＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
所以·＝a2－a2＝0，
所以⊥，即A1E⊥BD.
(2) 设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
因为＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)，
所以n1·＝0, n1·＝0, n2·＝0，n2·＝0，
即
取x1＝x2＝1，
得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，).
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，
所以2－＝0，即e＝，
所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.

展开更多......

收起↑