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6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
一、 单项选择题
1 (2025景德镇期末)若点P(0，1，1)，Q(2，3，5)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A. (1，1，2) B. (1，2，1)
C. (1，2，2) D. (2，2，2)
2 (2025杭州期末)已知点A(0，4，0)，B(3，0，0)，C(0，0，2)，则平面ABC的一个法向量为(　　)
A. (4，3，6) B. (－4，3，6)
C. (4，－3，6) D. (4，3，－6)
3 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4 (2026惠州第一中学期中)已知点A(－1，0，1)，B(a，a＋1，a－1)，若平面ABC的一个法向量为n＝(1，－1，2)，则||等于(　　)
A. B. 3 C. 3 D.
5 (2025茂名电白期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，点M在棱AB上．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，则等于(　　)
A. B. C. D. 1
6 (2024芜湖期中)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，2AB＝2AD＝AA1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.设＝a，＝b，＝c，则平面A1BD的一个法向量为(　　)
A. 6a＋6b－c B. 2a＋3b＋c C. 2a＋3b－c D. a＋b－c
二、 多项选择题
7 (2024柳州期中)下列命题中，正确的是(　　)
A. 点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)
B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
C. 若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R) 也是直线l的方向向量
D. 在空间直角坐标系中，n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的法向量
8 (2026合肥一中月考)如果平面α的一个法向量为n＝(a，b，c)，已知平面α上定点P0(x0，y0，z0)，对于平面α上任意点P(x，y，z)，根据⊥n可得平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若平面α过点(1，1，1)，且一个法向量为(1，1，1)，则平面α的方程为x＋y＋z－3＝0
B. 若平面α的方程为6x－2y－2z－3＝0，则a＝(－3，1，1)是平面α的法向量
C. 方程3x－2y＝0表示经过坐标原点且斜率为的一条直线
D. 关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
三、 填空题
9 (2024西安期末)已知＝(m，－2，1)，若直线AB的一个方向向量为(1，2，－1)，则m＝________．
10 (2025南通期初)已知平面α经过点A(0，1，2)，且平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，P(x，y，z)是平面α内任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．
11 (2025北京房山期末)在空间直角坐标系中，已知点A(0，0，2)，B(2，0，1)，C(0，2，1)，若点P(x，y，0)在平面ABC内，则一个符合题意的点P的坐标为________．
四、 解答题
12 已知点A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1) 写出直线BC的一个方向向量；
(2) 设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
13 如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1) 求平面ABB1A1的一个法向量；
(2) 求平面MD1B的一个法向量．
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
1. A　由P(0，1，1)，Q(2，3，5)，得＝(2，2，4)＝2(1，1，2)，所以直线l的一个方向向量为(1，1，2).
2. A　由题意可知＝(3，－4，0)，＝(0，－4，2).设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则取y＝3，则m＝(4，3，6).
3. A　由题意，得＝(－1，2－y，z－3).因为m∥，所以＝＝，解得y＝，z＝，所以y－z＝0.
4. B　由题意，得＝(a＋1，a＋1，a－2)，·n＝0，即1×(a＋1)＋(－1)×(a＋1)＋2×(a－2)＝0，解得a＝2，则＝(3，3，0)，故||＝＝3.
5. B　设AM＝x，则A1(4，0，2)，M(4，x，0)，＝(0，x，－2).因为平面MCA1的一个法向量为n＝(1，2，1)，所以n·＝0，即2x－2＝0，解得x＝1，则AM＝1，MB＝3－1＝2，故＝.
6. A　设AB＝2，则AD＝2，AA1＝4，可得a·b＝2×2cos 60°＝2，a·c＝b·c＝2×4cos 60°＝4.设平面A1BD的法向量为n＝xa＋yb＋zc，又＝a－b，＝a－c，则整理，得令z＝－1，得n＝6a＋6b－c，所以平面A1BD的一个法向量为6a＋6b－c.
7. ABD　对于A，关于平面xOy对称的点的横、纵坐标不改变，竖坐标相反，所以点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)，故A正确；对于B，直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，故B正确；对于C，当λ＝0时，λv＝0，不能作为直线l的方向向量，故C错误；对于D，n＝(0，0，1)与z轴所在直线共线，且垂直于坐标平面xOy，所以n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的法向量，故D正确．故选ABD.
8. ABD　对于A，由题意可知平面α的方程为1×(x－1)＋1×(y－1)＋1×(z－1)＝0，即x＋y＋z－3＝0，故A正确；对于B，因为平面α的方程为6x－2y－2z－3＝0，由题意可知平面α的法向量为n＝(6，－2，－2)，且n＝－2a，即n，a共线，所以a＝(－3，1，1)是平面α的法向量，故B正确；对于C，3x－2y＝0可化为3×(x－0)－2×(y－0)＋0×(z－0)＝0，该方程可表示一个法向量为m＝(3，－2，0)且过点(0，0，0)的平面，故C错误；对于D，设ax＋by＋cz＝d(abc≠0)，若其等价于a(x－0)＋b(y－0)＋c(z－)＝0，该方程可表示一个法向量为p＝(a，b，c)且过点(0，0，)的平面，故D正确．故选ABD.
9. －1　由题意，得＝(m，－2，1).若直线AB的一个方向向量为(1，2，－1)，则设＝λ(1，2，－1)，即(m，－2，1)＝λ(1，2，－1)＝(λ，2λ，－λ)，则解得λ＝m＝－1.
10. 2x－y＋z＝1　由题意，得＝(x，y－1，z－2)，而平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，所以(x，y－1，z－2)·(－2，1，－1)＝－2x＋y－1－(z－2)＝－2x＋y－z＋1＝0，即2x－y＋z＝1.
11. (2，2，0)(答案不唯一，只需满足x＋y＝4即可)　设平面ABC的法向量为m＝(a，b，c)，＝(2，0，－1)，＝(0，2，－1)，则取c＝2，可得m＝(1，1，2)，因为点P在平面ABC内，所以AP 平面ABC，且＝(x，y，－2)，则·m＝x＋y－4＝0，故满足条件的一个点P的坐标为(2，2，0).
12. (1) 因为B(1，－1，－2)，C(－1，0，0)，
所以直线BC的一个方向向量为＝(－1－1，0－(－1)，0－(－2))＝(－2，1，2).
(2) 因为平面α经过点A(1，2，3)且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，
所以＝(x－1，y－2，z－3).
又是平面α的一个法向量，
所以⊥， 则·＝0，
即(－2，1，2)·(x－1，y－2，z－3)＝0，
所以－2(x－1)＋(y－2)＋2(z－3)＝0，
整理，得2x－y－2z＋6＝0，
所以x，y，z满足的关系式为2x－y－2z＋6＝0.
13. (1) 因为x轴垂直于平面ABB1A1，
所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量．
(2) 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，
所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，
所以＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1).
设n2＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量，
则n2⊥，n2⊥，
即
取z＝3，则x＝2，y＝1，
所以平面MD1B的一个法向量为(2，1，3).

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