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6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
一、 单项选择题
1 (2025安徽月考)在空间直角坐标系Oxyz中，点A(0，1，2)，B(－1，1，0)，若点A关于y轴对称的点为P，点B关于平面Oyz对称的点为Q，则等于(　　)
A. (1，0，2)　　　 B. (－1，0，－2)
C. (1，2，－2)　　 D. (－1，－2，2)
2 已知点A(1，1，0)，B(2，0，－1)，C(－1，3，－2)，则－等于(　　)
A. (4，－4，0)
B. (－4，4，0)
C. (2，－2，0)
D. (－2，2，0)
3 (2025葫芦岛期末)设{e1，e2，e3}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(3，4，5)，其中a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，则向量p在基底{e1，e2，e3}下的坐标是(　　)
A. (8，7，9) B. (7，8，9)
C. (8，9，10) D. (9，10，8)
4 (2025西安周至六中月考)已知向量a＝(－1，0，3)，b＝(1，－1，1)，c＝(－1，2x，1)，若(a－b)∥c，则实数x的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
5 (2024周口月考)已知a＝(1，0，2)，b＝(3，－2，1)，c＝(－1，m，3).若a，b，c三个向量共面，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 2
C. 3 D. 5
6 (2024南通期初)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，点M在棱EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　)
A. (1，1，1) B. (1，，1)
C. (，，1) D. (，，)
二、 多项选择题
7 (2024西宁期中)已知向量a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9).若a∥b，则下列结论中正确的是(　　)
A. x＝ B. y＝－
C. a＝b D. a＝b
8 已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2).若点D能和A，B，C三点构成一平行四边形的四个顶点，则点D的坐标是(　　)
A. (1，－1，2) B. (－1，1，2)
C. (2，1，－1) D. (1，1，－2)
三、 填空题
9 (2025乐山期末)已知a＝(－1，2，0)，b＝(3，1，2)，则a－2b＝________．
10 (2025清远期末)已知点A(2，－3，1)，向量a＝(2，0，3)，且＝2a，则点B的坐标为________．
11 (2025温州期末)已知a＝(m，－1，3)，b＝(1，3，n)，若a，b共线，则mn＝________．
四、 解答题
12 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
13 设点C(2a＋1，a＋1，3)在点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)所确定的平面上，求实数a的值．
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
一、 单项选择题
1 已知点B，C分别为点A(3，4，5)在坐标平面xOy和yOz内的射影，则BC的长为(　　)
A. B. 5
C. D. 5
2 (2025江门期末)若a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，则(a＋b)·(a－b)等于(　　)
A. －8 B. －10
C. 8 D. 10
3 (2024丽水期末)已知向量a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，则|a＋b|的值是(　　)
A. 2 B. 2
C. 8 D. 12
4 若单位向量＝(m，n，0)与向量＝(1，1，1)的夹角等于，则mn的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
5 (2025南昌一中月考)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，λ，2)，且7a＋5b与2a－b互相垂直，则实数λ等于(　　)
A. B. 或
C. 0或 D. 0或
6 (2024泉州期末)已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，点M在棱PC上，AD＝2，则·等于(　　)
A. －4 B. 4
C. －3 D. 3
二、 多项选择题
7 (2025张家口开学考试)已知空间中三个向量a＝(1，2，－1)，b＝(1，－2，3)，c＝(－2，1，1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. |a|＝
B. a⊥b
C. b在c上的投影向量为
D. cos 〈a，b〉＝－
8 (2025肇庆期末)在空间直角坐标系O-xyz中，O为坐标原点．若点A(1，1，1)，B(2，3，4)，C(3，5，x)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 存在实数x，使⊥
B. 存在实数x，使||＝||
C. 若〈，〉为锐角，则x>－
D. 若{，，}为一组基底，则x≠7
三、 填空题
9 已知a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．
10 (2025湖北期末)已知a＝(2，2，0)，b＝(0，1，1)，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
11 (2024扬州月考)已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是________．
四、 解答题
12 (2024山东期中)已知点A(1，2，－1)，B(2，k，－3)，C(0，5，1)，向量a＝(－3，4，5).
(1) 若⊥a，求实数k的值；
(2) 求向量在向量a方向上的投影向量．
13 (2025菏泽期末)已知空间四点A(0，2，3)，B(2，－2，－1)，C(1，4，3)，D(－1，3，λ).
(1) 求以AB, AC为邻边的平行四边形的面积；
(2) 若A，B，C，D四点共面，求实数λ的值．
6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
1. A　由题意，得点P(0，1，－2)，Q(1，1，0)，则＝(1，0，2).
2. A　由点A(1，1，0)，B(2，0，－1)，C(－1，3，－2)，得＝(1，－1，－1)，＝(－3，3，－1)，所以－＝(4，－4，0).
3. A　由向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(3，4，5)，得p＝3a＋4b＋5c.又a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，所以p＝3a＋4b＋5c＝3(e1＋e2)＋4(e2＋e3)＋5(e1＋e3)＝8e1＋7e2＋9e3，即可得向量p在基底{e1，e2，e3}下的坐标是(8，7，9).
4. A　a－b＝(－2，1，2)，c＝(－1，2x，1).因为(a－b)∥c，所以＝＝，解得x＝.
5. B　因为a，b，c三个向量共面，所以存在实数λ，μ，使c＝λa＋μb，即(－1，m，3)＝λ(1，0，2)＋μ(3，－2，1)，即解得
6. C　设点M的坐标为(x，y，1)，AC∩BD＝O，如图，连接OE，则O.又E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝，＝(x－，y－，1).由AM∥平面BDE，AM 平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，得OE∥AM.又AO∥EM，所以四边形AOEM是平行四边形，故＝，即解得所以点M的坐标为.
7. BC　因为a∥b，所以a＝λb.由题意，得所以λ＝，x＝，y＝－，则a＝b.故选BC.
8. ABD　设点D的坐标为(x，y，z).若＝，则(－1，1，0)＝(－x，－y，2－z)，所以解得所以点D的坐标为(1，－1，2)；若＝，则(－1，1，0)＝(x，y，z－2)，所以解得所以点D的坐标为(－1，1，2)；若＝，则(－1，0，2)＝(－x，1－y，－z)，所以解得所以点D的坐标为(1，1，－2).故选ABD.
9. (－7，0，－4)　a－2b＝(－1，2，0)－2(3，1，2)＝(－7，0，－4).
10. (6，－3，7)　设点B的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋3，z－1)＝(4，0，6)，所以x＝6，y＝－3，z＝7，故点B的坐标为(6，－3，7).
11. 3　因为a＝(m，－1，3)，b＝(1，3，n)，向量a与b共线，所以3m＝－1，－n＝9，解得m＝－，n＝－9，则mn＝3.
12. ＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－
＝－(0，0，4)－(4，0，0)－(0，2，0)
＝(－2，－1，－4)，
＝－
＝－(＋)
＝－＋－
＝－(4，0，0)＋(0，2，0)－(0，0，4)＝(－4，2，－4).
13. 由题意，得＝(－1，－3，2)，＝(6，－1，4)，＝(2a－1，a＋1，3).
根据共面向量定理，设＝x＋y(x，y∈R)，
则(2a－1，a＋1，3)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)，
即解得x＝－9，y＝，a＝，
故实数a的值是.
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
1. A　因为点B，C分别为点A(3，4，5)在坐标平面xOy和yOz内的射影，所以点B(3，4，0)，C(0，4，5)，故BC＝＝.
2. A　由题意，得a＋b＝(－1＋1，2＋3，－1－2)＝(0，5，－3)，a－b＝(－1－1，2－3，－1＋2)＝(－2，－1，1)，则(a＋b)·(a－b)＝0×(－2)＋5×(－1)＋(－3)×1＝0－5－3＝－8.
3. B　由于a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，故a＋b＝(3，0，)，所以|a＋b|＝＝2.
4. A　由题意，得·＝m＋n，||＝1，||＝.又，的夹角为，所以·＝||·||·cos ，即m＋n＝.又||＝＝1，所以m2＋n2＝1，所以(m＋n)2－(m2＋n2)＝2mn＝()2－1＝，所以mn＝.
5. C　7a＋5b＝7(1，1，0)＋5(－1，λ，2)＝(2，7＋5λ，10)，2a－b＝2(1，1，0)－(－1，λ，2)＝(3，2－λ，－2).由7a＋5b与2a－b互相垂直，得(7a＋5b)·(2a－b)＝2×3＋(7＋5λ)×(2－λ)＋10×(－2)＝0，解得λ＝0或λ＝.
6. B　如图，以C为坐标原点，CD，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设||＝a，||＝c，又||＝2，则C(0，0，0)，B(0，2，0)，A(a，2，0)，M(0，0，c)，所以＝(－a，－2，c)，＝(0，－2，0)，故·＝－2×(－2)＝4.
7. ACD　对于A，|a|＝＝，故A正确；对于B，a·b＝1×1＋2×(－2)＋(－1)×3＝－6≠0，所以a 与 b 不垂直，故B错误；对于C，b 在 c 上的投影向量为·＝·＝－(－2，1，1)＝，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝－，故D正确．故选ACD.
8. BD　对于A，＝(1，2，x－4)，＝(2，4，x－1)，所以·＝2＋8＋(x－4)(x－1)＝x2－5x＋14＝＋>0，所以不存在实数x，使得⊥，故A错误；对于B，若存在实数x，使||＝||，即20＋(x－1)2＝5＋(x－4)2，解得x＝0，故B正确；对于C，由题意，得＝(1，2，3)，若〈，〉为锐角，则·＝2＋8＋3(x－1)＝3x＋7>0，解得x>－，且，不共线，若，共线，则＝＝，解得x＝7，所以当，不共线时，x≠7，所以若〈，〉为锐角，则x>－且x≠7，故C错误；对于D，若，，共面，则存在m，n∈R，使得＝m＋n，则解得所以若{，，}为一组基底，则x≠7，故D正确．故选BD.
9. (0，3)∪(3，＋∞)　因为a与b的夹角θ为钝角，所以a·b<0且a与b不共线．因为a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，所以a·b＝－1－2(x－1)－1<0，且≠，解得x>0，且x≠3，所以x的取值范围是(0，3)∪(3，＋∞).
10. －4　因为a＋λb＝(2，2，0)＋λ(0，1，1)＝(2，2＋λ，λ)，又(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝0，所以(2，2＋λ，λ)·(2，2，0)＝0，即2×2＋2(2＋λ)＋0＝0，解得λ＝－4.
11. (，0，)　由题意可设＝λ＝(λ，0，2λ)，λ∈R.令Q(x，y，z)，则＝(x，y，z)，所以x＝λ，y＝0，z＝2λ，则Q(λ，0，2λ)，故＝(1－λ，2，2－2λ)，＝(2－λ，1，1－2λ)，所以·＝(1－λ)(2－λ)＋2＋2(1－λ)(1－2λ)＝λ2－3λ＋2＋2＋2(2λ2－3λ＋1)＝5λ2－9λ＋6＝5(λ－)2＋，故当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为(，0，).
12. (1) 由题意，得＝(1，k－2，－2)，a＝(－3，4，5).
因为⊥a，
所以·a＝0，即－3＋4k－8－10＝0，
解得k＝.
(2) 由题意，得＝(－1，3，2)，a＝(－3，4，5)，
所以向量在向量a上的投影向量为()·＝·＝(－，2，).
13. (1) 由＝(2，－4，－4)，＝(1，2，0)，
得||＝＝6，
||＝＝，
所以·＝2×1＋(－4)×2＋(－4)×0＝－6，
所以cos 〈，〉＝＝＝－，
所以sin 〈，〉＝＝，
所以四边形ABCD的面积为S＝||||sin〈，〉＝6××＝12，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为12.
(2) 由题意，得＝(－1，1，λ－3).
因为A，B，C，D四点共面，
所以存在唯一一对实数x，y使得＝x＋y，
所以解得x＝－，y＝－，λ＝，
所以实数λ的值为.

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