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7.3.1组合(3)
一、 单项选择题
1 某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为(　　)
A. 36 B. 64 C. 81 D. 100
2 (2025蚌埠期初)6名同学到A，B，C三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的种数为(　　)
A. 30 B. 60 C. 120 D. 3 604
3 某医院从7名男医生(含1名主任医师)，6名女医生(含1名主任医师)中选派4名男医生和3名女医生支援某地区工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为(　　)
A. 350 B. 500 C. 550 D. 700
4 (2024青岛期中)如果6个人分5张相同的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是(　　)
A. C B. A C. 5! D. 65
5 (2025驻马店期末)3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有(　　)
A. 18种 B. 36种 C. 54种 D. 72种
6 (2025日照期末)如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连通起来，则建设方案有(　　)
A. 12种 B. 16种
C. 20种 D. 24种
二、 多项选择题
7 有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列式子中能表示N的是(　　)
A. C－CC
B. CC＋CC＋CC＋C
C. C－CC－C
D. CC
8 (2025台州期初)在8件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论中正确的有(　　)
A. “其中恰有2件次品”的取法有6种
B. “其中恰有1件次品”的取法有15种
C. “其中没有次品”的取法有20种
D. “其中至少有1件次品”的取法有30种
三、 填空题
9 6人同时被邀请参加1项活动，必须有人去，去几人自行决定，则共有________种不同的去法．
10 (2024福州期中)从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区体检工作，则至少有1名女医生的选法有________种．
11 (2025莆田期末)已知甲袋子中装有1个红球和3个不同的白球，乙袋子中装有3个不同的红球和2个不同的白球．若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有________种．
四、 解答题
12 (2024福州期中)在6名内科医生和4名外科医生中，有内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，根据下列条件，各有多少种选派方法？
(1) 既有内科医生，又有外科医生；
(2) 至少有1名主任参加；
(3) 既有主任，又有外科医生．
13 (2025邯郸期初)现有6本不同的书，按下列方式进行分配，分别有多少种分法？
(1) 分给甲、乙两人，每人3本；
(2) 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本．
7．3.1　组　　合(3)
1. C　甲有两种情况：①1荤1素，CC＝6(种)；②2素，C＝3(种)，故甲共有6＋3＝9(种).同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为9×9＝81.
2. B　首先安排C场馆的3名同学，有C＝20(种)方法，再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，有C＝3(种)方法，最后安排2名同学到丙场馆，有C＝1(种)方法，所以不同的安排方法有20×3×1＝60(种).
3. C　所选医生中只有1名男主任医师的选法有CC＝200(种)；所选医生中只有1名女主任医师的选法有CC＝150(种)；所选医生中有1名女主任医师和1名男主任医师的选法有CC＝200(种)，故所选医生中有主任医师的选派方法共有200＋150＋200＝550(种).
4. A　6个人分5张相同的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，所以从6个人中选5人即可，所以共有C种分法．
5. B　当学校甲分配一名医生和2名护士时，学校乙分配2名医生和2名护士，共有CCCC＝18(种)分配方法；当学校甲分配2名医生和2名护士时，学校乙分配1名医生和2名护士，共有CCCC＝18(种)分配方法，所以共有36种分配方法．
6. B　由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有C＝6(个)位置可以建设桥梁，从这6个位置中选3个建设桥梁，共有C＝20(种)选法，但选出的3个位置可能是仅连接A，B，C或A，B，D或A，C，D或B，C，D三个小岛，不合题意，故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有20－4＝16(种)不同的方案．
7. BC　有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，利用直接法，2男3女共有不同的选派方法种数为CC；3男2女共有不同的选派方法种数为CC；4男1女共有不同的选派方法种数为CC；5男共有不同的选派方法种数为C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；利用间接法，13名医生，任取5人，减去有4名和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C.故选BC.
8. AC　抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有CC＝6(种)，故A正确；抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有CC＝30(种)，故B错误；抽到的3件产品中没有次品的取法有C＝20(种)，故C正确；抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有CC＋CC＝36(种)，故D错误．故选AC.
9. 63　若1个人去，有C种选法；若2个人去，有C种选法；若3个人去，有C种选法；若4个人去，有C种选法；若5个人去，有C种选法；若6个人去，有C种选法，所以共有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种)不同的去法.
10. 34　从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区体检工作，共有C＝35(种)选法，若全是男医生参加，则有C＝1(种)选法，所以共有35－1＝34(种)选法．
11. 27　取出的4个球中恰有2个红球，则甲袋子中取1个红球和1个白球，同时乙袋子中取1个红球和1个白球，其取法有CCC种；甲袋子中取2个白球，同时乙袋子中取2个红球，其取法有CC种，所以一共有CCC＋CC＝27(种)取法．
12. (1) 既有内科医生，又有外科医生的选派方法有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种).
(2) 根据题意，可分为两类，一是选1名主任有CC＝140(种)方法；
二是选2名主任有CC＝56(种)方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共140＋56＝196(种).
(3) 若选外科主任，则其余可任意选，共有C＝126(种)选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，有C－C＝65(种)选法，
故既有主任，又有外科医生的选派方法共有126＋65＝191(种).
13. (1) 先从6本书中分给甲3本有C种，剩3本给乙，所以共有CC＝20(种)分法．
(2) 6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有CC种分法；其余2本分给丙、丁，有A种分法，所以不同的分配方法有CCA＝180(种).7.3.1 组合(1)
一、 单项选择题
1 (2025沧州期初)计算C＋C＋C的值为(　　)
A. 24 B. 32
C. 33 D. 34
2 设集合A＝，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为(　　)
A. A B. C
C. 62 D. 26
3 (2024重庆期中)若2C＝A，则m的值为(　　)
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
4 (2024徐州期中)一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，且这些球上标有不同的编号．若从中取3个球，则不同的取法种数是(　　)
A. CC B. CC
C. C D. C
5 (2024河南期初)从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为(　　)
A. AA B. AA
C. CC D. CC
6 (2025镇江期初)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方法的种数为(　　)
A. 3 B. 6 C. 7 D. 9
二、 多项选择题
7 (2024聊城期中)给出下列问题中，属于组合问题的有(　　)
A. 从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商
B. 有5张相同的演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法
C. 从20只不同的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法
D. 艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法
8 (2024重庆期中)在平面直角坐标系中，第一、二、三、四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论中正确的是(　　)
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与x轴相交的有8条
C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
三、 填空题
9 从7个人中选3个人参加演讲比赛，则不同的选法种数为________．
10 (2025大兴期末)若A＝4C，则n＝________．
11 (2024长治月考)已知男、女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则女生人数为________．
四、 解答题
12 (2025徐州期初)判断下列问题是排列问题还是组合问题．
(1) 集合{0，1，2，3，4}中含三个元素的子集的个数是多少？
(2) 某小组有9位同学，从中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
13 (2024聊城期初)一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球．
(1) 共有多少种不同的取法？
(2) 如果不取红球，共有多少种不同的取法？
(3) 如果必须取红球，共有多少种不同的取法？
7.3.1　组　　合(1)
1. D　C＋C＋C＝＋＋＝4＋10＋20＝34.
2. B　因为集合A有6个元素，所以在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为C.
3. D　由2C＝A，得2×＝m(m－1)(m－2)，且m≥3，解得m＝3.
4. D　根据题意，一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，共7个球，且这些球标有不同的编号，从中取 3个球，则有C种取法．
5. C　根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有C种抽取方法，再从5件正品中抽取3件正品，有C种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有CC种．
6. C　该同学决定至少购买一本书，则他可能购买1，2，3本，购买1本时有3种可能；购买2本时有C＝3(种)可能；购买3本时有1种可能，所有共有7种可能．
7. BC　对于A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，故A错误；对于B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，故B正确；对于C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，故C正确；对于D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，故D错误．故选BC.
8. ACD　以这8个点中的2个点为端点的线段有C＝28(条)，故A正确；x轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有CC＝16(条)，故B错误；以这8个点中的3个点为顶点的三角形有C＝56(个)，故C正确；先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有CCCC＝32(个)，故D正确．故选ACD.
9. 35　根据题意，从7个人中选3个人参加演讲比赛，是一个组合问题，有C＝35(种)选法．
10. 6　若A＝4C，则5×4×3＝4×，且n≥2，解得n＝6或n＝－5(舍去).
11. 2　设男生有n(2≤n≤5且n∈N*)人，则女生有(6－n)人．由题意，得CC＝12，即×(6－n)＝12，所以n＝4，则6－n＝2，即女生人数为2.
12. (1) 集合中的元素是无序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合，所以是组合问题．
(2) 选正、副组长时要考虑顺序，所以是排列问题．
选代表参加会议是不用考虑顺序的，所以是组合问题．
13. (1) 因为共有8个球，
所以不同的取法种数为C＝＝56.
(2) 因为不取红球，
所以只要在7个白球中取5个球即可，
所以不同的取法种数为C＝＝21.
(3) 因为必须取红球，
所以只需在7个白球中再取4个球即可，
所以不同的取法种数为C＝＝35.7.3.1组合(2)
一、 单项选择题
1 已知C＝C(x∈N*)，则x的值为(　　)
A. 2 B. 5
C. 2或5 D. 2或6
2 (2025无锡期初)某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有(　　)
A. 15种 B. 30种
C. 45种 D. 90种
3 C＋C－C的值为(　　)
A. 0 B. 11
C. 12 D. 5
4 (2024上饶期末)6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为(　　)
A. 45 B. 90
C. 180 D. 360
5 (2025辽宁期末)已知C＝C，则C＋C＋…＋C的值为(　　)
A. 14 B. 84
C. 34 D. 204
6 (2025聊城期初)某班级要从5名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少1名女生，那么不同的选派方案有(　　)
A. 14种 B. 20种
C. 30种 D. 35种
二、 多项选择题
7 (2024湖南月考)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若选1男3女，则有4种选法
B. 若选2男2女，则有18种选法
C. 若选3男1女，则有12种选法
D. 共有36种不同的选法
8 (2024枣庄月考)从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为(　　)
A. CC＋CC＋CC
B. CC(C＋CC＋C)
C. CCC
D. C－C－C
三、 填空题
9 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有________种排法．
10 (2024湖北期中)若C＝C＋C，则正整数x的值为________．
11 (2025阜阳期末)某校举行新年晚会，需要从6名女生和5名男生中选4人当主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，则不同的选法种数为________．
四、 解答题
12 (2025南京期初)
(1) 已知C＝A＋1，求n的值；
(2) C＋C＋C＋…＋C.
13 (2024扬州月考)(1) 求3C＋A的值；
(2) 求C＋C＋…＋C的值；
(3) 解关于n的不等式：C7．3.1　组　　合(2)
1. C　由C＝C(x∈N*)，得2x＝x＋2或2x＝17－(x＋2)，所以x＝2或x＝5，经检验，符合题意．
2. B　从A类选修课中选两门有C种选法，从B类选修课中选两门有C种选法，因此，共有CC＝3×10＝30(种)选法．
3. A　C＋C－C＝C－C＝C－C＝0.
4. B　6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为CCC＝15×6×1＝90.
5. C　因为C＝C，所以m＝2m－2或m＋2m－2＝16，解得m＝2或m＝6.因为C＋C＋…＋C，所以46. C　当选派的4人中有1名女生时，有CC＝20(种)方案；当选派的4人中有2名女生时，有CC＝10(种)方案，所以根据分类计数原理可得共有20＋10＝30(种)不同的选派方案．
7. ABC　对于A，若选1男3女，则有CC＝4(种)选法，故A正确；对于B，若选2男2女，则有CC＝18(种)选法，故B正确；对于C，若选3男1女，则有CC＝12(种)选法，故C正确；对于D，总的选法数有4＋18＋12＝34(种)，故D错误．故选ABC.
8. AD　利用直接法， 4人中有3名男生，1名女生，则有CC种选法，4人中有2名男生，2名女生，则有CC种选法，4人中有1名男生，3名女生，则有CC种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC；利用间接法，从9名男生和7名女生中选4人参加活动，共有C种选法，其中不合题意的有两种情况，全是男生有C种选法，全是女生有C种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为C－C－C.故选AD.
9. 180　由题意，得共有CCC＝180(种).
10. 5　由组合数性质C＝C＋C，得C＋C＝C，则C＝C，所以2x－5＝x或2x－5＋x＝12，解得x＝5或x＝(舍去).
11. 310　从6名女生和5名男生中选4人当主持人有C种选法，若4人全是男生，则有C种选法，若4人全是女生，则有C种选法，则主持人中既要有男生也要有女生，不同的选法有C－C－C＝310(种).
12. (1) 由C＝A＋1，得C＝A＋1，
即＝(n－1)(n－2)＋1，即n2－7n＋6＝0，
解得n＝1或n＝6.
又由A，知n－1≥2，即n≥3，
故n＝6.
(2) C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝252.
13. (1) 3C＋A＝3×＋×8×7×6＝280.
(2) C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝＝330.
(3) 由题意，得
所以3≤n≤12，且n∈N*.
因为C所以<，
解得n<7.5.
又因为n∈N*，所以n＝3，4，5，6，7.
故不等式的解集为{3，4，5，6，7}．

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