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7．4.2　二项式系数的性质及应用
一、 单项选择题
1 (2025沧州期初)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A. 210 B. 211
C. 212 D. 213
2 32 022除以10的余数是(　　)
A. 0 B. 1
C. 3 D. 9
3 (2024泰州月考)(x2＋)6的展开式中系数最大的项为(　　)
A. 第2项　　 B. 第3项
C. 第4项　　 D. 第2项或第3项
4 若(1＋2x)(1－x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a1＋a2＋…＋a21的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5 (2025安徽期初)已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a2＋a4＋a6等于(　　)
A. 364 B. 365
C. 728 D. 730
6 (2025大连期末)若x10＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a10(2x－1)10，则a1＋a3＋a7＋a9的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2025常州期末)若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则下列结论中正确的是(　　)
A. a0＝1
B. a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝1
C. |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝32 025
D. ＋＋＋…＋＝0
8 (2024烟台月考)已知(ax2＋)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝1
B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256
C. 展开式中第6项的系数最大
D. 展开式中存在常数项
三、 填空题
9 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为________．
10 (2025长沙期初)(2x＋y＋1)5的展开式中，所有项的系数和为________．
11 (2025苏州开学考试)已知(1＋ax)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，若a3＝－32，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
四、 解答题
12 在二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1) 求展开式的第4项；
(2) 求210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C的值．
13 (2025赣州期末)已知(x＋)n的展开式中各项的二项式系数之和为128.
(1) 求展开式中x项的系数；
(2) 求展开式中项的系数最大的项．
7．4.2　二项式系数的性质及应用
1. A　因为(1＋x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，则n＝11，所以奇数项的二项式系数和为＝＝210.
2. D　32 022＝(10－1)1 011＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…＋C10－C＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…－C102＋1 010×10＋10－1＝10(C101 010－C101 009＋C101 008－C101 007＋…－C10＋1 010)＋9，故32 022除以10的余数是9.
3. B　(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6-r·()r＝x12-3r，设第r＋1项为系数最大的项，则有解得≤r≤，即r＝2，故系数最大的项为第3项．
4. C　令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋…＋a21＝3，所以a1＋a2＋…＋a21＝2.
5. B　令x＝1，得a0＋a1＋…＋a6＝16＝1①；令x＝－1，得a0－a1＋…＋a6＝(－2－1)6＝729②.由①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝730，所以a0＋a2＋a4＋a6＝365.
6. C　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1；令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a10＝0.两式相减，得2a1＋2a3＋2a5＋2a7＋2a9＝1，即a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝，再由x10＝进行二项式展开可得a5＝C·＝，所以a1＋a3＋a7＋a9＝－＝.
7. AC　对于A，令x＝0，得12 025＝a0，则a0＝1，故A正确；对于B，令x＝1，得(1－2)2 025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝－1，故B错误；对于C，二项式(1－2x)2 025展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝C(－2)kxk，所以ak＝C(－2)k，当k为偶数时，ak>0，当k为奇数时，ak<0，令x＝－1，得32 025＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|，故C正确；对于D，令x＝，得0＝a0＋＋＋＋…＋.因为a0＝1，所以＋＋＋…＋＝－1，故D错误．故选AC.
8. ACD　由已知，得C＝C，所以n＝10.对于A，令x＝1结合已知可得，展开式的各项系数之和为(a＋1)10＝1 024.又a>0，所以a＝1，该二项式为(x2＋)10，故A正确；对于B，根据二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为210-1＝512，故B错误；对于C，根据二项式定理可知，展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)10-k·()k＝Cx20-k，k＝0，1，2，…，10.显然，系数最大为C，即展开式中第6项的系数最大，故C正确；对于D，当20－k＝0，即k＝8时，展开式的第9项为常数项，且T9＝C＝45，故D正确．故选ACD.
9. －20　若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则2n＝64，解得n＝6，所以二项式(x－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx6-2r.令6－2r＝0，得r＝3，所以常数项为－C＝－20.
10. 1 024　因为(2x＋y＋1)5＝C(2x＋y)5＋C(2x＋y)4＋C(2x＋y)3＋C(2x＋y)2＋C(2x＋y)＋C，二项式(2x＋y＋1)5的展开式中取x＝1，y＝1可得展开式中所有项的系数和为C35＋C34＋C33＋C32＋C3＋C＝(3＋1)5＝1 024.
11. 0　由题意，得a3＝－32＝4a3，所以a＝－2，即(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
12. (1) 因为二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
所以展开式中共11项，
所以n＝10.
因为(x＋3)10展开式的通项为Tr＋1＝C·x10-r·3r，
所以第4项T4＝C·x10-3·33＝3 240x7.
(2) 由(2－1)10＝210C－29C＋28C－…＋22C－2C＋C，得210－29C＋28C－…＋22C－2C＋C＝1，
所以210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C＝1－1＝0.
13. (1) 由题意，得2n＝128，即n＝7，
所以Tr＋1＝Cx7-r＝C·x7-，
令7－＝1，得r＝4，
所以展开式中x项的系数为C＝.
(2) 设展开式中第r＋1项的系数最大，
则
解得≤r≤.
因为r∈N，则r＝2，T3＝C·x4＝x4，
所以展开式中项的系数最大的项为x4.

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