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7.4.1　二项式定理(1)
一、 单项选择题
1 乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数是(　　)
A. 11 B. 15
C. 45 D. 60
2 (a＋)9的展开式中的第7项为(　　)
A. 104a7b2 B. 84a3b3
C. 63a3b3 D. 36a7b
3 (2025九江期末)若的二项展开式中常数项为160，则实数a的值为(　　)
A. 2 B. －2
C. D. －
4 (2025沧州期初)(x－y)4的展开式中xy3的系数为(　　)
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
5 (2025常州期末)在二项式的展开式中，含x项的二项式系数为(　　)
A. －10 B. 5
C. 10 D. 40
6 (2024成都期末)若x6＝a0＋a1(x－6)＋a2(x－6)2＋…＋a6(x－6)6，则a5的值为(　　)
A. 6 B. 16
C. 36 D. 90
二、 多项选择题
7 下列关于二项式定理的说法中，错误的是(　　)
A. (a＋b)n的展开式共有n项
B. 在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响
C. Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项
D. (a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同
8 (2025沧州期初)对于(n∈N*)，下列结论中正确的是(　　)
A. 对任意n∈N*，展开式中有常数项
B. 存在n∈N*，使得展开式中有常数项
C. 对任意n∈N*，展开式中不含x项
D. 存在n∈N*，使得展开式中含x项
三、 填空题
9 x－n展开式中的第r项的二项式系数是________．
10 (2025北京期末)若(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a0＋a3＝________．
11 (1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7＋(1＋x)8＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数是________．
四、 解答题
12 已知（3－）10，求：
(1) 展开式中第2项的二项式系数；
(2) 展开式中第3项的系数；
(3) 展开式中的第4项．
13 已知二项式（－）n的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比是14∶3.
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中的常数项．
7．4.1　二项式定理(2)
一、 单项选择题
1 (2024葫芦岛期末)(x－)6展开式中的常数项为(　　)
A. 第4项
B. 第5项
C. 第6项
D. 第7项
2 (2025德州期末)在的展开式中，x-1的系数是(　　)
A. 40 B. 64
C. 20 D. －40
3 (2025长沙开学考试)已知(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则实数a的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. －3 D. －2
4 (2024宿迁期初)C－2C＋22C－23C＋…＋22 024C的值是(　　)
A. －1 B. 1 C. 0 D. 22 024
5 (2025亳州期末)若(1－2x)5(x＋2)＝a0＋a1x＋…＋a6x6，则a3的值为(　　)
A. 120 B. 240
C. －120 D. －240
6 (2025沈阳期末)(x－2y＋2z)5展开式中，x2y2z的系数为(　　)
A. －320 B. 320
C. －240 D. 240
二、 多项选择题
7 (2024东莞月考)关于(x－1)(x＋1)5的展开式，下列结论中正确的是(　　)
A. 常数项为1
B. x2的系数为－5
C. x3的系数为0
D. 展开式共有6项
8 (2025长春期末)设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a5＝a6，则下列结论中正确的是(　　)
A. n＝7
B. n＝11
C. a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝－128
D. a1＝35
三、 填空题
9 (2025烟台期初)在的展开式中，含x3项的系数为________．
10 －2C＋22C－23C＋24C－25C＋26C－27C＝________．
11 (2025东营期末)(1＋2x2)的展开式中常数项为__________．
四、 解答题
12 (1) 在(x2＋3x＋2)5的展开式中，求含x项的系数；
(2) 求多项式(1－2x)5(2＋x)的展开式中含x3项的系数.
13 (1) 已知(1＋)n(n∈N*)的第9项，第10项，第11项的二项式系数满足C＋C＝2C，求n的值；
(2) 若(x2＋a)(x－)6(a∈R)展开式中的常数项为－65，求(x2＋)a展开式中的有理项．
7.4.1　二项式定理(1)
1. C　由题意，得乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数是3×3×5＝45.
2. B　第7项为Ca3()6＝84a3b3.
3. A　展开式的通项为Tr＋1＝Ca6-rx6-2r，令6－2r＝0，得r＝3，则Ca3＝160，解得a＝2.
4. D　(x－y)4的展开式的通项为Tr＋1＝Cx4-r(－y)r，r＝0，1，…，4，当r＝3时，T4＝Cx1(－y)3＝－4xy3，则xy3的系数为－4.
5. C　展开式的通项为Tr＋1＝Cx5-r(－2)rx－r＝(－2)rCx5-2r，r＝0，1，2，3，4，5，令5－2r＝1，得r＝2，所以含x项的二项式系数为C＝10.
6. C　因为x6＝[6＋(x－6)]6，展开式的通项为Tr＋1＝C66-r(x－6)r，令r＝5，可得T6＝C×61×(x－6)5＝36(x－6)5，所以a5＝36.
7. ABC　对于A，(a＋b)n的展开式有n＋1项，故A错误；对于B，由二项式定理可知B错误；对于C，Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，故C错误；对于D，(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数均为C，C，…，C，故D正确．故选ABC.
8. BD　的展开式的通项为Tr＋1＝C··(x5)r＝C·x7r-2n(0≤r≤n，r∈N)，令7r－2n＝0，得r＝，即当n是7的整数倍时，有常数项，故A错误，B正确；令7r－2n＝1，取r＝1，n＝3，此时展开式中含x项，故C错误，D正确．故选BD.
9. C
10. －96　因为(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，a0＝C26＝64，展开式中a3代表x3的系数，所以C23(－x)3＝－160x3，可得a3＝－160，得a0＋a3＝64－160＝－96.
11. 116　因为(1＋x)n(n≥2，n∈N*)的二项展开式的通项为Tr＋1＝C·1n－r·xr＝C·xr，r＝0，1，2，…，n.在(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7＋(1＋x)8＋(1＋x)9的展开式中，令r＝2，则含x2项的系数为C＋C＋C＋C＋C＋C＝6＋10＋15＋21＋28＋36＝116.
12. (3－)10的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3)10-k·(－)k＝C·310-k·(－)k·x5-，其中0≤k≤10，且k∈N.
(1) 展开式中第2项的二项式系数为C＝10.
(2) 展开式中第3项的系数为C×38×(－)2＝131 220.
(3) 展开式中的第4项为T4＝C×37×(－)3·x5-＝－77 760.
13. (1) 由题意，得＝，
所以＝，
化简，得n2－5n－50＝0，
解得n＝10或n＝－5 (舍去)，
故n的值为10.
(2) 由(1)知，Tr＋1＝C()10-r(－)r＝C()10-r(－2)rx5-r.
令5－r＝0，得r＝2，
所以展开式中的常数项为T3＝C×()8×(－2)2＝.
7．4.1　二项式定理(2)
1. B　(x－)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r(－)r＝C(－2)rx6-r，令6－r＝0，得r＝4，故(x－)6展开式中的常数项为第5项．
2. A　根据二项式定理，展开式的通项为Tr＋1＝Cx5-r＝Cx5-r(－2)r(x-2)r＝C(－2)rx5-3r.令5－3r＝－1，得r＝2.当r＝2时，x-1的系数为C(－2)2＝10×4＝40.
3. D　因为(1－ax2)(1＋x)4＝(1＋x)4－ax2(1＋x)4，由(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，含x3的项包含了r＝3和r＝1，所以(1－ax2)(1＋x)4含x3的项为(C－aC)x3，所以C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2.
4. B　C－2C＋22C－23C＋…＋22 024C＝C×(－2)0×12 024＋(－2)1C×12 023＋(－2)2C×12 022＋…＋(－2)2 024C＝(1－2)2 024＝1.
5. C　(1－2x)5展开式的通项为Tr＋1＝C·(－2x)r＝C·(－2)rxr(0≤r≤5，r∈N)，因为(1－2x)5(x＋2)＝x(1－2x)5＋2(1－2x)5，在x(1－2x)5中，由xC·(－2)rxr＝C·(－2)rxr+1(0≤r≤5，r∈N)，由r＋1＝3，可得r＝2；在2C·(－2)kxk(0≤k≤5，k∈N)中，令k＝3，则a3＝C·(－2)2＋2C·(－2)3＝40－160＝－120.
6. D　含x2y2z的项为Cx2·C(－2y)2·(2z)＝10x2·12y2·2z＝240x2y2z，所以x2y2z的系数为240.
7. BCD　(x－1)(x＋1)5＝x(x＋1)5－(x＋1)5.对于A，令x＝0可得常数项为(－1)×15＝－1，故A错误；对于B，x2的系数为C×14－C×13＝－5，故B正确；对于C，x3的系数为C×13－C×12＝0，故C正确；对于D，设(x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，由上分析，得a0＝－1，a2＝－5，a3＝0.又x的系数为C15－C×14＝－4，x4的系数为C×12－C×11＝5，x5的系数为C×11－C×10＝4，x6的系数为C＝1，故(x－1)(x＋1)5＝－1－4x－5x2＋5x4＋4x5＋x6共6项，故D正确．故选BCD.
8. AC　由二项式定理，得(1＋3x)n展开式的通项为Tr＋1＝3rCxr.对于A，B，由a5＝a6，得35C＝36C，即＝3×，解得n＝7，故A正确，B错误；对于C，在(1＋3x)7中，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝(－2)7＝－128，故C正确；对于D，a1＝3C＝21，故D错误．故选AC.
9. 15　由题意，得x3项的系数为C×(－1)2＋C＝15.
10. －2　－2C＋22C－23C＋24C－25C＋26C－27C＝C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋C(－2)3＋C(－2)4＋C(－2)5＋C(－2)6＋C(－2)7－1＝[1＋(－2)]7－1＝－2.
11. 14　展开式的通项为Tr＋1＝Cx4-r＝Cx4-2r，则(1＋2x2)的展开式中常数项为C＋2C＝14.
12. (1) 因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5(x＋1)5，
所以展开式中含x项的系数为C×24×C＋C×25×C＝240.
(2) (1－2x)5 的展开式的通项为Tr＋1＝C·15-r·(－2x)r＝C·(－2)r·xr.
(1－2x)5(2＋x)的展开式中含x3 项的系数为1×C×(－2)2＋2×C×(－2)3＝－120.
13. (1) 由C＋C＝2C，
得＋
＝2×，
即10×9＋(n－8)(n－9)＝20(n－8)，
化简，得n2－37n＋322＝0，
即(n－14)(n－23)＝0，解得n＝14或n＝23,
故n的值为14或23.
(2) (x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·(－1)kx－k＝C(－1)kx6-2k，
所以(x2＋a)(x－)6(a∈R)展开式中的常数项为x2C(－1)4x6-2×4＋aC(－1)3x6-2×3＝－65，
即15－20a＝－65，解得a＝4，
则(x2＋)a＝(x2＋)4，
其展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(4-r)()rx－＝C()rx8-r(r＝0，1，2，3，4).
当r＝0时，T1＝x8；当r＝2时，T3＝x3；
当r＝4时，T5＝x-2，
故展开式中的有理项为T1＝x8，T3＝x3，T5＝x-2.

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