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7.3.2计数应用题
一、 单项选择题
1 (2024湖北期中)现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，每人各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有(　　)
A. 74种　　 B. 47种
C. 7×6×5×4种 D. 4×3×2种
2 (2025潍坊期末)某中学举行排球赛，共有5个队参加，每两个队比赛一场，共需比赛(　　)
A. 6场 B. 8场
C. 10场 D. 20场
3 (2025漳州期末)据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为(　　)
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
4 (2025无锡期初)用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有(　　)
A. 36个 B. 48个 C. 60个 D. 42个
5 (2025沧州期初)某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣A，B，C三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有(　　)
A. 36种 B. 48种
C. 56种 D. 72种
6 (2025浙江期初)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋2个球，则不同的装法种数为(　　)
A. 6 B. 7 C. 15 D. 90
二、 多项选择题
7 (2025盐城期初)现有4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法中正确的是(　　)
A. 共有45种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有120种放法
C. 每个盒子只放一个球，恰有2个盒子编号与球的编号相同，不同放法有18种
D. 将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种
8 (2024山东期中)已知4位身高各不相同的男生和3位女生站成一排，则下列结论中正确的是(　　)
A. 共有A种不同的排法
B. 若女生互不相邻，则共有1 440种不同的排法
C. 若男生站一起、女生站一起，则共有144种不同的排法
D. 若男生从左到右身高逐渐增加，则共有210种不同的排法
三、 填空题
9 (2025上海期初)若4名运动员争夺3个运动项目的冠军(不能并列)，则冠军奖杯的归属有________种不同的结果．
10 (2025长春期末)某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了4名教师到A，B，C三个县城学校进行教育帮扶指导．每个学校至少派1人，不同的安排方式共有________种．
11 (2025长沙开学考试)我校田径队有10名队员，分别记为A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，为完成某项训练任务，现将10名队员分成甲、乙两队，其中将A，B，C，D，E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为________．
四、 解答题
12 某班有6名同学报名参加校运会的4个比赛项目，下列情况下各有多少种不同的报名方法？
(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3) 每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．
13 (2025邯郸期初)已知安排3名男生和 2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加．
(1) 求不同安排方案的种数；
(2) 若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数；
(3) 若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数．
7．3.2　计数应用题
1. A　由题意知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有74种．
2. C　依题意直接从5个队中选择2个队进行比赛，则一共有C＝10(场)比赛．
3. D　先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有AC种排法，再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，所以共有ACA＝36(种)排法．
4. C　末位为0有A＝24(个)，末位为2或4有CCA＝36(个)，共60个．
5. A　先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共C种，再将分好的三组不同的区分配给A，B，C三组工作人员，共有A种分配方法，共CA＝6×6＝36(种).
6. B　将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有(0，1，2)，(1，1，1)两种组合形式，当红球分组形式为(0，1，2)时，将红球放入三个不同的袋中有A＝3×2×1＝6(种)放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；当红球分组形式为(1，1，1)时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可．综上，将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋2个球，不同的装法种数为6＋1＝7.
7. BCD　对于A，每个球都有5种放法，共有5×5×5×5＝54(种)放法，故A错误；对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有A＝5×4×3×2＝120(种)放法，故B正确；对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有C×(1＋2)＝18(种)放法，故C正确；对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有C＝5(种)，故D正确．故选BCD.
8. ABD　对于A，7个人全排列，共有A种不同的排法，故A正确；对于B，先排男生，再把女生插入空隙，有AA＝1 440(种)排法，故B正确；对于C，分别把男生、女生视为一个整体排列，共有AAA＝288(种)排法，故C错误；对于D，7个人全排列，而男生从左到右身高逐渐增加的排列方法只有1种，共有＝210(种)排法，故D正确．故选ABD.
9. 64　依题意每个运动项目的冠军均有4种可能，所以3个运动项目的冠军奖杯的归属有4×4×4＝64(种)不同的结果．
10. 36　将4名教师分配到3个学校，每个学校至少1人，首先，将4名教师分成3组，其中2组各1人，1组2人，共有C＝6(种)分组方式，将这3组教师分配到3个学校，共有A种分配方式，根据分步计数原理，共有6×6＝36(种)不同的安排方式．
11. 1 728　甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有A＝2(种)排法，将A与B看作一个整体，再用除序法得＝12(种)，利用分步计数原理可知，一共有2×12＝24(种)排法；乙队，利用插空法得AA＝72(种)，按照分步计数原理可知，一共有24×72＝1 728(种)排法．
12. (1) 每人都可以从这4个项目中选报一项，各有4种不同的选法．
由分步计数原理知，共有46＝4 096(种)报名方法．
(2) 每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法．
由分步计数原理，得共有A＝360(种)报名方法．
(3) 每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有C＋＝20＋＝65(种).每组参加一个项目，由分步计数原理，得共有(C＋)·A＝65×24＝1 560(种)报名方法．
13. (1) 先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个项目，有A种情况，
则不同安排方案的种数为A＝150.
(2) 先将3名男生分到三项公益活动，有A种方案，
2名女生有32＝9(种)方案，
所以不同安排方案的种数为9A＝54.
(3) 不同安排方案的种数为CCC＝30.

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