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7．1.2　两个基本计数原理(2)
一、 单项选择题
1 已知小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为(　　)
A. 19 B. 20 C. 90 D. 200
2 (2025雅安期初)2024年11月份，文化和旅游部、交通运输部等六部门共同遴选出第二批68个交通运输与旅游融合发展示范案例，并正式公布．四川3个案例——“川九”旅游公路、夜游锦江(活水公园—东湖公园段)、“熊猫”旅游列车入选．甲、乙等四人准备各自从上述3个案例的路线中选一条，寒假各自按自己选择的路线去旅游，且甲、乙结伴而行(甲、乙选择的路线相同)，则不同的选择方案有(　　)
A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 27种
3 (2025邯郸期初)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　　)
A. 56 B. 54 C. 53 D. 52
4 某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有(　　)
A. 180种 B. 56种 C. 29种 D. 15种
5 (2025山西期初)已知直线l：ax＋by＋c＝0的斜率为正，且a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}，则符合上述条件的不同的直线条数为(　　)
A. 40 B. 20 C. 17 D. 15
6 (2025山东期初)一个三位正整数，百位、十位、个位上的数字分别为a1，a2，a3，若a1A. 32 B. 25 C. 20 D. 12
二、 多项选择题
7 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若只需1人参加，则有16种不同选法
B. 若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C. 若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D. 若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
8 (2024东莞月考)某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表．现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是(　　)
站数x 0票价/元 2 3 4
A. 若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种
B. 若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种
C. 若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种
D. 若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后)
三、 填空题
9 乘积式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)展开后的项数是________．
10 (2024上海月考)某小组共有4名男生a，b，c，d，和3名女生A，B，C.若选1名男生和1名女生分别担任组长和干事，共有________种不同的结果．
11 (2024清远月考)用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2 000大的偶数共有________个．
四、 解答题
12 (2025武清期初)解答下列问题，要求列式并计算结果：
(1) 用0～6这7个自然数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
(2) 有9本不同的语文书，7本不同的数学书，4本不同的英语书，从中选出不同学科的2本书，则不同的选法有多少种？
13 (2024莆田期中) 如图，要给“同”“步”“练”“测”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
7．1.2　两个基本计数原理(2)
1. A　因为此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，所以按照分类计数原理可得小张的购票方案种数为4＋10＋5＝19.
2. D　根据题意，甲、乙结伴而行，可将甲、乙看作一个整体，与剩下2人从3个案例的路线中选一条，共有33＝27(种)方案．
3. D　在8个数中任取2个不同的数，且分别作为一个对数的底数和真数，共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个).
4. A　从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9(种)方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20(种)方案，根据分步计数原理知，该医院总共有9×20＝180(种)不同的选派方案．
5. C　因为直线l的斜率为正，所以ab<0，当a>0，b<0时，a的取值有2种取法，b的取值有2种取法，c的取值有5种取法，共有2×2×5＝20(种)取法，其中2x－2y＝0和x－y＝0，2x－2y＋2＝0和x－y＋1＝0，x－y－1＝0和2x－2y－2＝0表示同一条直线，故符合条件的直线共有20－3＝17(条).当a<0，b>0时，此时所得直线与a>0，b<0时所得直线相同．
6. A　当a2＝4时，a1可以是1，2，3，a3可以是0，1，2，3，满足条件的三位正整数有3×4＝12(个)；当a2＝5时，a1可以是1，2，3，4，a3可以是0，1，2，3，4，满足条件的三位正整数有4×5＝20(个).由分类计数原理，得满足条件的三位正整数共有12＋20＝32(个).
7. ABC　对于A，有三类选人的方法：3名老师中选1人，有3种方法；8名男生中选1人，有8种方法；5名女生中选1人，有5种方法．由分类计数原理可知，共有3＋8＋5＝16(种)选法，故A正确；对于B，分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法，由分步计数原理可知，共有3×8×5＝120(种)选法，故B正确；对于C，选1名老师和 1名学生，由分步计数原理可知，共有3×13＝39(种)选法，故C正确；对于D，选3名老师和1名学生，由分步计数原理可知，共有1×13＝13(种)选法，故D错误．故选ABC.
8. BCD　两人共花费5元可分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9(种)，同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是9种，所以共有18种，故A错误，B正确；两人共花费6元可分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9(种)；小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9(种)；小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9(种)，共有27种，故C正确；小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有9种；小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，故D正确. 故选BCD.
9. 18　由题意，得从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有2种方法，从第三个括号中选一个字母有3种方法．由分步计数原理可得，展开后的项数为3×2×3＝18.
10. 24　因为4名男生a，b，c，d选1名男生共有4种不同的结果；3名女生A，B，C选1名女生共有3种不同的结果；1名男生和1名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，根据分步计数原理可得，共有3×4×2＝24(种)不同的结果．
11. 8　比2 000大，故千位为2，3，4，若千位为2，则个位为4，有2×1＝2(个)符合题意的四位数；若千位为3，则个位为2或4，有2×2×1＝4(个)符合题意的四位数；若千位为4，则个位为2，有2×1＝2(个)符合题意的四位数．根据分类计数原理可得一共有2＋4＋2＝8(个)符合题意的四位数．
12. (1) 百位数字有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，个位有5种不同的选法，由分步计数原理可得共有6×6×5＝180(个)没有重复数字的三位数．
(2) 从语文和数学中选择有9×7＝63(种)，从语文和英语中选择有9×4＝36(种)，从数学和英语中选择有4×7＝28(种)，总共有63＋36＋28＝127(种)不同的选择．
13. “同”“步”“练”“测”四个区域依次涂色，分四步．
第1步，涂“同”区域，有3种选择；
第2步，涂“步”区域，有2种选择；
第3步，涂“练”区域，由于它与“同”“步”区域颜色不同，有1种选择；
第4步，涂“测”区域，由于它与“同”“练”区域颜色不同，有1种选择，
所以根据分步计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种).

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