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江蘇省扬中高酸中學
高一数学
2025-2026学年高一年级第二学期学情调研
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
CCDD CBCD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分。部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.ABD
10.BCD
11.BCD
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
2.
13.1+22
14.1+5
4
四。解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
15.(本小墨满分13分)已知a,B都是锐角，且tana=3,cosp=
5
(1)求tamn2a的值：
(2)求a+B的值.
2tana2×33
【解】(1)tma=3,ta2a=1ma1-3=-4
…5分
注意】：第一问公式正确得2分，全对得5分！
(2)a,B都是锐角，tama=3,cosB=5
5
又tana=sima
sin'a+cos2a=1,sin2B+cos2B=1,
cosa
.'sina =
v1010,cosa=1vio
33V10
o10 sin=2
…7分
5
cosa+p)=cosacosp-sinasin=5325
…10分
105105
2
3π
.a+B∈(0，，.u+B=
4
…13分
注意】：第二问用平方关系不交代角的范围扣1分：
求出+B余弦值或者正切值得3分：求角的大小不交代范围，答案正确扣1分，答案错误
没有分！
高一数学试卷第1页
江族省扬中高级中學
16.(本小题满分15分)己知函数f(x)=2W3 sinxcosx+-cos2x-sim2x(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期：
(②)当0【解】(1)解：f(x)=V3sinm2.x+cos2x=2sin
2r+交）
…6分
6
所以∫(x)最小正周期为π；
…9分
(2)06
66
am2+君
π
≤1，
…13分
6
f(x)的值域为(-1,2]
…15分
17.(本小题满分15分)已知以下四个式子的值都等于同一个常数
sin2 26+cos234-3 sin 26 cos 34:
sin239 +cos2 21-v3sin39 cos 21:
sim2(-52）+cos2112-V3sin(-52)cos112:
sin230+cos230-3sin30 cos30
(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数：
(2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论
【解】(1)由第四个式子：sin230+cos230-V3sim30cos30=+4=年
…6分
【注意】：选择其他，化简过程3分，结论正确3分：
(2)证明：sim2x+cos2(60-a)-V3 sinacos(60-a)
…10分
sin"a+
cosa+5ina
-3sina
cosa
3sina
2
2
2
2
=sin2a+-cos2a+-
sin acosa+二sin2a-
2
-sin acosa-3s
sin'a
2
…15分
【注意】：提出一般性结论4分，化简证明正确5分：
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2025-2026学年高一年级第二学期学情调研
数学试卷
2026.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y川yx,x∈A},则A∩B=(▲)
A.{-1}
B.L,2
C.{0,12分
D.{-1,0,1,2}
2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞)上为增函数的是
(▲)
A.y=1
B.v=x2+2x
C.y=x-3
D.y=-x
3.若cosa+=1
*4F3,则sin2a=
(▲)
7
A.一g
5
B.9
D.g
4.下列计算结果是5的是
(▲)
3
A.2sin3-1 B.sin15cos15
8
C.cos2 3
D.
2tan75
8
an275°-1
5若sin(a+p)=,且tana=2tamp,则sin(a-月
(▲)
A
B.-2
9
C.
D.}
已知角o引，a-me+)
13
,则sinB=(▲)
A.12+10W2
39
B.
24v5+5
C.24v2-5
D.
12-10W2
39
39
39
7.己知a,B∈(0,5，tana+tanp+5=-5 tan tan p,则a+B=
(▲)
A.
B.
3
C.2n
D.
6
8.数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能
D
完整传达数学定理的证明如图所示正是数学家所达到
2x
的“终极优雅”，该图（四边形ABCD为矩形）完美地展
示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知D
=(▲)
AB
A.sinx
B.tanx
C.tan'x-1
D.1-tan'x
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江年省扬中高级中学
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数()=log!*,则下列说法正确的是
(▲)
A.函数f(x)的定义域为(0，+o)
B.当00
C.f(x)>1的解集为
D.o
10.下列等式成立的是
(▲)
A.sin26°-cos26°=cosl2
B.4sinl5cos5°-1
C.sin6°-cos6°=-√2sinm39°
√3-tan15°
=1
1+√3tanl5o
3
1.已知，B为锐角，cos(a+P)=亏cos(a-P)=5则下列结论正确的是（▲）
1
A.cosacosB=
10
B.tanctang=
C.sim2osin2B-
。7
D.tana+tang=
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
12.计算：
03
4》
+lg4+lg25-2e,3=▲
13.已知正实数a,b满足a+b=3,则2+的最小值是
a b
14.十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，
一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”底与腰
之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图
所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在△ABC中，AC=AB,
C-5-1.根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为一▲一
A
2
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2025-2026 学年高一年级第二学期学情调研参考答案
数学试卷 2026.03
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，合计 40 分）
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】由题意可知 ，则 ，
所以 ，
2．下列函数中，既是奇函数又在区间 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】函数 在区间 上为减函数，故 A错误；
函数 图象的对称轴为 ，是非奇非偶函数，故 B错误；
令 ，函数的定义域为 ，
，
，所以函数 为奇函数，
因为 和 在 上均为增函数，
故 在 上为增函数，故 C正确；
，
当 时， ，此时函数在 为减函数，故 D错误.
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
高一数学试卷 第 1页
【解】由题 .
故选：D
4．下列计算结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解】 ，A错误；
，B错误；
，C错误；
正确．
故选：D
5．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
6．已知角 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解】由 ， ，则 ，
高一数学试卷 第 2页
高一数学
则 ，
，
所以
.
故选：B.
7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】由已知可得： ，
所以 ，
又 ，则 ，故 .
故选：C.
8．数学家威廉 邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观 精巧的图示就能
完整传达数学定理的证明.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（四边形 为
矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，通过推导可知 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解】在 中，因为 ，可得 ，
在直角 中，可得
在直角 中，可得 ，
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所以 .
故选：D.
二、多选题（共 3 小题，每小题 6 分，合计 18 分）
9．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 B．当 时，
C． 的解集为 D．
【答案】ABD
【解】对于 A：函数 的定义域为 ， 故 A正确；
对于 B：函数 在 单调递减，所以当 时， 函数
，故 B正确；
对于 C：函数 在 单调递减， ， 即 ，解得
， 故 C错误；
对于 D： ， 故 D正确.
10．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解】A选项， ，A错误；
B选项， ，B正确；
C选项， ，C正确；
D选项， ，D正确.
故选：BCD
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11．已知 为锐角， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解】对于 A、B， ，则
，
，故 A错误，B正确；
对于 C， ，
故 C正确；
对于 D，因为 ，所以 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，故
D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，合计 15 分）
12．计算： __________.
【答案】
【解】原式
高一数学试卷 第 5页
13．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是_____.
【答案】
【解】因为 ，所以
，
当且仅当 ，上式取等号，
则 的最小值是 ,
14．十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一
个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比
为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示
的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在 中， ， ．根
据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为______.
【答案】
【解】由题意，在 中，易得 ，
则 ,
故答案为：
四、解答题（共 5 小题，合计 77 分）
15．（本小题满分 13分）已知 都是锐角，且 ， ，
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【解】（1） ， ；
（2） 都是锐角， ， ，
又 ， ， ，
， ， ，
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高一数学
，
， .
16．（本小题满分 15分）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)当 时，求 的值域.
【解】（1）解：
所以 最小正周期为 ；
（2） ，
， 的值域为 .
17．（本小题满分 15分）已知以下四个式子的值都等于同一个常数
；
；
；
.
（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.
（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【解】（1）由第四个式子：
（2）证明：
高一数学试卷 第 7页
18．（本小题满分 17分）已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 的单调性，并用定义法证明你的结论；
(3)若对任意的 不等式 成立，求实数 的取值范围.
【解】（1）由题意，定义在 上的函数 为奇函数，
得 ，解得 ，
此时 ，
则 ，
所以函数 是 上奇函数，所以 .
（2）由（1）知 ，
定义域为 ，函数在 上单调递增，
证明如下：
任取 ，则 ，
由 及 在 上单调递增，得 ，
则 ，
即 ，所以函数 在 上单调递增.
（3）依题意，对任意的 ， 成立，
因为 为定义在 上的奇函数，
则 ，
又因为函数 在 上单调递增，
则 ，
即 在 上恒成立，
高一数学试卷 第 8页
高一数学
即 ，
而 在 上单调递增，
当且仅当 时， 取到最小值 6，
因此 ，所以实数 的取值范围是 .
19．（本小题满分 17分）公元前 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十
边形的作图，发现了黄金分割值约为 ，这一数值也可以表示为 .三倍角公式是
把形如 ， 等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物
理、天文等学科.
(1)记 ，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
(2)若角 满足 ，求 的值；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
【解】（1）
.
（2）由（1）及已知得： 解得： ，
又
.
由 得： ，
.
（3） 即
高一数学试卷 第 9页
两边除去 得： 即
化简得： ，解得： （负舍）
由题意知黄金分割值为
高一数学试卷 第 10页1 1222 12 12 12 12 12 12 12
2025-2026 学年高一年级第二学期学情调研
数学答题卡 2026.03 15.本小题 13分
16.本小题 15分
姓名:________________
班级:________________
座位:________________
注意事项：
答题前，请认真阅读试卷上的注意事项，并保持卡面清洁，不要折叠、损坏
答题说明：
0.5 毫米黑色墨水的签字笔书写（如需作图，须使用 2B 铅笔绘、
写清楚，线条、符号等须加黑、加粗），并在各题规定的黑色矩形区域内答题，
否则作答无效。
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）
1 A 5 A
2 A 6 A
3 A 7 A
4 A 8 A
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分）
9 A 11 A
10 A
二、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12． ； 13． ；
14． ；
本区域不得答题
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 数学 答题卡 第 1 页 共 2 页
2 2222 22 22 22 22 22 22 22
17.本小题 15分
18.本小题 17分
19.本小题 17分
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！ 数学 答题卡 第 2 页 共 2 页

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