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山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期开学测试数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
3．当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．设是两个实数，则“”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若“”是假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的最大值，若存在实数、使得对任意实数总有成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
8．是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界
B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界
C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为
三、填空题
12．若在上是减函数,则的取值范围是_________________
13．已知，则__________.
14．已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________．
四、解答题
15．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若，求函数的最大值．
16．（1）已知．求的值．
（2）已知，且，，求的值．
17．已知函数的图像经过点和，幂函数的图像过点.
(1)求和的值及的解析式；
(2)解关于的方程.
18．已知函数，其中.
(1)证明：函数的图象是中心对称图形；
(2)设，证明：;
(3)令，若，，使得，求实数的取值范围.
19．已知函数，的定义域分别为，，若对任意的，总存在，使得成立，则称为的“可归零函数”.已知函数，
(1)若函数，判断能否为的“可归零函数”？并说明理由；
(2)若函数，，且是的“可归零函数”，证明：；
(3)当时，若函数，，且是的“可归零函数”，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】.
故选：B.
2．D
【详解】因为，
且，故AB错误；
因为，，且，故D正确；
因为，且故C错误；
故选:D
3．A
【详解】若当时，函数的值恒小于1，则即，
所以当时，函数的值恒小于1的一个充分不必要条件是.
故选：A
4．C
【详解】由幂函数的性质，函数在R上单调递增，因此若，则；函数在R上单调递增，因此若，则，因此“”是 “”的充分必要条件.
故选：C
5．B
【详解】是假命题，那么它的否定是真命题，
当时，恒成立；
当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选：.
6．D
【详解】因为
∴，周期，
又存在实数，对任意实数总有成立，
∴，，
的最小值为，
的最小值为，
故选：D
7．D
【详解】由可得，因，则，
于是，
因，当且仅当时等号成立，
即，时，的最小值为.
故选：D.
8．C
【详解】由，可得：.
又因为是定义在R上的偶函数，
则，且函数图象关于轴对称.
所以，即的周期为4.
作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象.
令
若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，
则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点.
所以，即，解得.
故答案为：C
9．ACD
【详解】对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，所以选项D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【详解】由题意可知，分别画出三个函数图像，如图所示：
当满足时，如图中细虚线所示，，即可能是A；
对于B选项，当时如上图所示，需满足，即不可能是B；
如图所示，可能是C；
如上图所示，可能是，即可能是D.
故选：ACD
11．AC
【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值，
所以数集一定有上确界，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
因为，都有，所以，
所以，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集有上确界，设，
由上确界的定义可知，对于，都有，
所以，
即，故C正确；
对于D，若，则数集有上确界，且，
此时，
则，故D错误.
故选：AC.
12．
【详解】由,所以对称轴为,
又在上是减函数,有,所以.
故答案为：
13．/
【详解】因为，则，解得，
所以.
故答案为：
14．或
【详解】函数，若存在实数，
使得对于任意的实数都有成立，
即函数有最大值，
令，解得，
分别作出、的图象中下图所示，
当时，函数有最大值，
当时，函数无有最大值，
当时，函数有最大值，
所以实数的取值范围是或.
故答案为：或．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5，
可设二次函数，
又因为，所以，
即二次函数；
（2）由（1）知二次函数，
当，有，此时的最大值，
当时，则，此时在上单调递增，
即的最大值，
当时，则，此时在上单调递减，
即的最大值，
综上可得：．
16．（1）；（2）
【详解】（1）由题意，解得.
所以
；
（2）因为，，则.
因为，故，则，
所以
.
17．(1)，；
(2).
【详解】（1）的图像经过点和，
，，
是幂函数，，
的图像过点，，，，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
设，则转化为，
即，解得或，
，，，，
关于的方程的解为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）由解得，即的定义域为，
因，
则由
，
即，所以的图象关于点中心对称，
即函数的图象是中心对称图形.
（2）
因为函数在上为增函数，函数在定义域上为增函数，
因，则与在上都为减函数，
故在上为减函数，
所以.
（3）依题意得，（*），
由（2）可得在上为减函数，
则，
对于，函数的定义域为，关于原点对称，
因，故函数为偶函数.
下面证明在上为增函数，
设，由
.
因，则，则得，
即，故在上单调递减，在上单调递增.
故，
由（*）可得，，所以，
又因为，所以实数的取值范围是.
19．(1)不能
(2)证明如下
(3)
【详解】（1）不能，理由如下，
因为，
所以，
当时，，，故；
因为，定义域为，值域为，
对于任意的，，
要使，即成立，则，
这与已知矛盾，
所以不存在，使得成立，
故不能称为的“可归零函数”.
（2），
因为二次项系数，所以二次函数开口向上，
对称轴为，所以在上单调递增，
，；
因为是的“可归零函数”，
所以对任意的，总存在，使得，即成立，
所以，
所以，解得，
因为，所以；
因为，所以，
要使值域包含，则，解得；
因为，，所以；
因此得证.
（3）当时，，
则，
所以的值域为，则的值域为，
，
因为是，“可归零函数”，
所以对任意，都有，
即恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，显然不成立，
当时，令，则，此时恒成立，
等价于恒成立 ①，
且恒成立 ②，
由①得，解得，所以，
由②得恒成立，
因为，所以恒成立，所以，
综上，实数的取值范围为.

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