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浙教版八年级下册
4.4 平行四边形的判定（2）
判定
定理1
定理2
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是 平行四边形
∵ AB ∥CD，AB= CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
A
B
C
D
定理3
定义
A
B
C
D
A
B
C
D
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵ ∠A = ∠C，∠B =∠ D，
∴ 四边形 ABCD 是 平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD，AD∥BC
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
温故知新：
新知探究
1.如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，
用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD。
分享你的猜想：大声说出来
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
A
C
B
D
O
O
点0是AC的中点--------
BD 平分AC
点0是BD的中点--------
AC平分BD
BD、 AC互相平分
转动木条
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD交于点O，且OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
（1）证明： ∵ OA=OC OD=OB（已知）
∠AOB=∠COD（对顶角）
∴ △AOB≌△COD（SAS）
∴ ∠BAC = ∠DCA
∴ AB∥CD
同理 AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
O
（2）证明： ∵ OA=OC OB=OD（已知）
∠AOB=∠COD （对顶角）
∴ △AOB≌△COD（SAS）
∴ AB=CD 同理 AD=CB
∴四边形ABCD是平行四边形
分享你的证明：大声说出来
平行四边形的判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵AO=CO,DO=BO,
B
O
D
A
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
1.如图，在直角坐标系中，有点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)，
另在x轴下方有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，
则点D的坐标是 .
(0，－1)　
D
学以致用：
2.已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：连结AC，交BD于点O.
在□ABCD中，BO＝DO，AO＝CO
（平行四边形的对角线互相平分）.
∵AB//CD（平行四边形的定义），
∴∠ABE＝∠CDF. 又∵∠BAE=∠DCF，
AB=CD（平行四边形的对边相等），
∴△ABE≌△CDF (ASA) ∴BE=DF.
∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
A
B
C
D
E
F
O
从角看:
两组对角分别相等
平行四边形的判定方法
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
从边看:
从对角线看:
两组对角线互相平分
当堂检测： 夯实基础，稳扎稳打
1.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=14cm,
则当OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形
B
O
D
A
C
7
2.如图：在 ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；
G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,
求证：四边形EHFG是平行四边形.
证明：在　 ＡＢＣＤ中，
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ
∴AE-OE=OC-CF，
OD-OG=OB-OH
即ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ
∴四边形EHFG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
等量减等量，其差相等
O
H
G
F
E
D
C
B
A
3.已知：如图，AC是 ABCD的一条对角线。延长AC至F,反向延长AC至E,使AE=CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
O
证明：连结BD，交于AC点O.
在□ABCD中，BO＝DO，AO＝CO
（平行四边形的对角线互相平分）.
∵AE=CF.
∴OA+AE=OC+CF，即EO=FO.
∴四边形AECF是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
等量加等量，其和相等
4.任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 试证明你的发现。
E
已知：如图，AD是⊿ABC的中线，
求证：2AD证明：
如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.
∵BD=CD,
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。
∵AC+CE>AE,
∴AB+AC>2AD,
即2ADD
C
B
A
连续递推，豁然开朗
倍长中线，构造平行四边形
5.如图
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
A
B
C
D
x
y
o
-1
-1
1
1
∴点Ｏ平分ＡＣ，点Ｏ平分ＢＤ
连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有
ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ
∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形
在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(-x，-y)关于原点成中心对称
请欣赏：
(1)
(3)
(2)
A
O
A
A'
O
O
A
A'
A'
B
将一个平行四边形绕着两条对角线的交点旋转1800，
可以完全与自身重合，
即它是一种和谐完美的中心对称的几何图形。
(4)
A
B
C
D
E
F
G
H
O
6.已知：如图，□ABCD的两条对角线相交于点O，直线EF、GH过点O，分别交
AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H。
求证：四边形EGFH是平行四边形.
证明：在□ABCD中，OA=OC,AD//BC,
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE＝OF.
同理OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
对称中心平分连接两个对称点的线段
证明：∵ O是□ABCD的对称中心，
点E、F关于点O对称，点G、H关于点O对称，
∴OE＝OF，OG=OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
谢谢
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