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山东德州市夏津第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．已知数列，则该数列的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，，则（ ）
A．2 B． C． D．2023
3．记等差数列的前n项和为,,,则（ ）
A．120 B．130 C．140 D．150
4．为了研究某种商品的广告投入和收益之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（ ）万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A．2.48 B．2.58 C．2.68 D．2.88
5．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．两等差数列，的前n项和分别为，，且，则　　
A． B． C． D．2
8．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．记为等差数列的前项和，若则
B．记为等差数列的前项和，若则使得的最小正整数等于10
C．已知数列是递增数列，且对于恒成立，则实数的范围为
D．数列的通项公式为，则此数列的前项和为
10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列
11．在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
三、填空题
12．在数列中, ,通过计算的值,可猜想出这个数列的通项公式为_______
13．如下是一个列联表，则__________.
y1 y2 总计
x1 a 35 45
x2 7 b n
总计 m 73 s
14．已知数列满足，则数列的前n项和________________
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
16．在等比数列{}中，
(1)，，求；
(2)，，求的值.
17．在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.
(1)求的通项公式；
(2)求.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
18．某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
(1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程；
(2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100

62.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．已知数列中，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，设的前项和为.
①求；
②若都有不等式成立，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】根据分母2,3,4,5,6，可知分母为，
观察数列各项，符号为正负交替，可表示为，
分子为，是项数的平方，即，
则数列的通项公式可以为.
2．A
【详解】由，，，……，
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
3．D
【详解】
故选：D.
4．C
【详解】由，
可得数据可得样本中心点为：
代入回归方程，解得：，
所以当时，．
故选：C
5．A
【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为，
当时，等式为，
则左边增加的代数式是.
故选：A.
6．A
【详解】当时，，则，
当时，，
则，所以，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
根据等比数列的通项公式可得，即，
因为，所以，
根据裂项相消法，
则，
故选：A.
7．C
【详解】由等差数列的前项和，依题意有，
所以,
所以，故选C.
8．D
【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故B错误；
对于选项C：当为偶数时，，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故C错误；
对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，
则，
可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；
故选：D.
9．AD
【详解】A选项，为等差数列的前项和，则成等差数列，
，，A选项正确.
B选项，为等差数列的前项和，若且，
，
，
由，
所以使得的最小正整数为，B选项错误.
C选项，数列是递增数列，且对于恒成立，则对称轴，C选项错误.
D选项，数列的通项公式为，
，
所以数列每四项的和为，数列的前项和为，D选项正确.
故选：AD
10．ACD
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11．BC
【详解】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
12．
解：由于在数列中, ，则可知，故可知为,故答案为
13．90
【详解】由表格有，
故答案为：.
14．
【详解】由已知，
则，
所以，
故答案为：.
15．(1)
(2)20
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）方法1：
.
∴.
方法2：，整理得：
又
17．(1)选①②，①③或②③均可得
(2)
【详解】（1）若选①②，设公差为，
则，
解得：，
；
选①③，设公差为，
，
解得：，
；
选②③，设公差为，
，
解得：，
；
（2），
.
18．(1)适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型，
(2)列联表见解析，认为是否报废与保养有关
【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以.
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为.
（2）设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
\ 保养 未保养 合计
报废 20
未报废 80
合计 60 40 100
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．
19．(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）由题可得，
又，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）①由(1)知，则 ，
则，
，
两式相减得，，
所以，
②等价于，
，
因为，
当时，，当时，，
当时，，即，
所以，所以.

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