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广东广州市五校2026届高三年级下学期3月份学情诊断数学试题
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．或2
2．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点A，B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是　（　　）
A．线段
B．线段
C．中点与中点连成的线段
D．中点与中点连成的线段
二、多选题
9．若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（ ）
A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4
C． D．四边形的面积为
11．已知数列满足（且），则下列说法正确的是（ ）
A．，且
B．若数列的前16项和为540，则
C．数列的前项中的所有偶数项之和为
D．当n是奇数时，
三、填空题
12．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
13．已知函数在上单调递减，则的取值范围为__________.
14．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______．
四、解答题
15．在研究某类杨树的树高与胸径（树的主干在地面以上处的直径）之间的关系时，某研究员收集的一些数据如表1所示.
(1)由表1数据，求胸径与树高的平均值；（胸径精确到，树高精确到）
(2)根据这些数据，可建立该类杨树树高（单位：）关于胸径（单位：）的一元线性回归模型为，用（1）中结果求的值并估计胸径为的该类杨树的树高；（精确到）
(3)若这12棵杨树树龄相同，分别种植于南坡和北坡，且成材情况如表2所示，根据的独立性检验，能否认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联？
编号 1 2 3 4 5 6
胸径 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3
树高 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1
编号 7 8 9 10 11 12
胸径 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
树高 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
表1
种植位置 成材情况 合计
成材 未成材
南坡 5 1 6
北坡 2 4 6
合计 7 5 12
表2
参考公式及数据：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．在中，，，分别是内角所对的边， ， ，若向量，且.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求角的大小及的面积．
17．如图所示的几何体中，四边形为矩形，在梯形中，，为的中点，，，，线段交于点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
18．已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值.
19．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
(1)类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C D A A AD ACD
题号 11
答案 ACD
12．
13．
14．
15．解（1）由题知，
，
.
（2），
所以，
所以，
当时，，
即估计胸径为的该类杨树的树高为.
（3）零假设为：树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据的独立性检验，我们推断不成立，
即认为树龄相同的这类杨树是否成材与种植位置有关联，此推断错误的概率不大于0.1.
16．解（Ⅰ） ， ，
由余弦定理
（Ⅱ）由正弦定理， ，,
，且 .
.
17．解（1）因为四边形为矩形，
所以为的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，，，
所以，，
又且，
平面，又，
如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
即，解得，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
则平面的一个法向量为，
则，于是.
故二面角的正弦值为.
（3）存在一点，使得与平面所成角的大小为.
设存在点满足条件，由，，
则，,
设，
则,
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
，
解得，由，知，且
即点与重合，故在线段上存在一点，
则.
18．解（1）∵虚轴长为4，
∴，即，
∵直线为双曲线C的一条渐近线，
∴，∴，
故双曲线C的标准方程为.
（2）由题意知，，，
由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
．
19．解（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
故；
导数：，；
（2）构造函数，，由（1）可知，
i．当时，由可知，
故，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
ii．当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为．
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为,
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.

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