资源简介

河北省沧州市四校2026届高三下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．集合与集合没有包含关系 B．集合是集合的真子集
C．集合是集合的真子集 D．
2．已知平面向量，，若，则（ ）
A．-9 B．-4 C．4 D．9
3．已知为复数单位，，则的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（ ）
A．12 B．18 C．27 D．36
8．对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．函数的图象关于点对称
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上单调递增
10．已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中正确的是（ ）
A．数据的第25百分位数是1
B．若事件的概率满足且，则相互独立
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，则
三、填空题
12．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重___________kg.（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）
13．设为锐角，若，则的值为____________.
14．设为等差数列的前项和，，则__________.
四、解答题
15．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.
16．如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．

(1)求证：侧面PAC⊥平面PBC；
(2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．
17．甲、乙两名运动员进行乒乓球训练赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为q，每局比赛结果相互独立．
(1)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值；
(2)甲、乙两人为达到最佳训练效果，俩人约定不限制比赛局数，记“甲运动员赢得比赛”为事件M，证明：，
18．已知函数.
(1)证明：函数的极大值大于1；
(2)若函数有3个零点，求实数的取值范围；
(3)已知是图象上四个不重合的点，直线为曲线在点处的切线，若三点共线，证明：.
19．如图所示，已知抛物线 被两组首尾相接的平行线段所截，其中一组平行线 …的斜率为，一组平行线. 与x轴垂直，将两组平行线与抛物线C在x轴上方的交点从左到右依次记为 x轴下方的交点从左到右依次记为 若点 的横坐标为1，且点 到抛物线C的准线的距离为
(1)求p的值；
(2)求 的面积；
(3)设 当 时， 数列 的前n项和为 ，若对任意的，恒有 求实数m的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B A B C ABD ACD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．-8
15．解（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cos ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.
（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋
＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴<θ＋，
∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋.
16．解（1）
由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC，
因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC；
又PB∩BC＝B，面，
所以AC⊥平面PBC，又平面PAC，
所以面PAC⊥面PBC.
（2）
以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0，
则，
所以，
由得：，由，
∴，解得m，则，
设面ABE的一个法向量为，则，取x＝1，则．
取面ABC的一个法向量，故，
所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．

17．解（1）因为每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，所以，
由题意得X的所有可能取值为2，4，5，则，
，
．
所以X的分布列为
X 2 4 5
P
所以X的期望
，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，
故的最大值为．
（2）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”．
由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲运动员赢得比赛”，
事件BB表示“乙运动员赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙两名运动员各得1分”，
当甲、乙两名运动员得分总数相同时，甲运动员赢得比赛的概率与比赛一开始甲运动员赢得比赛的概率相同．
所以
，
所以，即，
因为，
所以．
18．解（1）证明：由题，，令，解得，
当或时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得极大值，
由单调性可知，
所以函数的极大值大于1.
（2）由（1）可知，当时，有极大值，且极大值为，
因为，且当时，有极小值，
所以要使得函数有3个零点，应满足，即，
解得，所以实数的取值范围为.
（3）直线的斜率，
因为，所以，
同理可得，
因为三点共线，则有，
整理得，
因为，所以，即，
又，所以，
整理得，
因为，所以，即，
所以.
19．解（1）由题意知抛物线 的准线方程为 ， 则由题意得 ，
整理得 ，即 ，得 .
（2）由（1）知抛物线 的方程为 ，则 ，
因为点 在抛物线 上，则 ，
因为点 与 关于 轴对称，
所以当 时，易知 ，
所以过 且斜率为 的直线 的方程为： ，
联立，得 ，
消去 ，得 ，
解得 或 ，
所以 ，即 .
所以 ，则 ，
又直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离 ，
所以
（3）由 (2) 知数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 ，
代入抛物线方程得 ，
又因为当 时，
所以，
当 为偶数时，
.
当 为奇数时，
所以，
因为对任意的 恒成立，
所以当 为偶数时， ，即 恒成立，
又 ，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为，
所以 ，
当 为奇数时， 即 恒成立，
又 ，
所以当 时， 取得最小值，且最小值为，所以 .
综上可得 的取值范围为 .

展开更多......

收起↑