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二、考前必记常用结论
基本不等式
1.倒数性质
（1）a＞b，ab＞0 ＜；
（2）a＜0＜b ＜；
（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；
（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）.
二．平面向量
1.平面向量的三点共线定理
【对点训练】在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
∵＝，＝m＋，∴＝m＋.
∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.
2.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心 ||=||=||=.
(2)O为△ABC的重心 ++=0.
(3)O为△ABC的垂心 ·=·=·.
(4)O为△ABC的内心 a+b+c=0.
【对点训练】1.已知点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝，则λ＝（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D.2
【解析】若O为△ABC的外心，则.
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B，又C＝，
∴A＝B＝，又＝，∴λ＝＝＝－1.故选A。
2.在中，若，则点H是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】A
【解析】由垂心H的向量表达式知选A
3.张角定理
张角定理其实是指，在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为、b、c，如果∠BAD=α，∠CAD=β，则有：。
特别地，若恰好为的平分线，则.
【对点训练】已知中内角对的边分别为，，平分交于点，，则面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】平分，且
由张角定理可得
即，
故三角形面积.
4．极化恒等式
（1）极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．
（2）极化恒等式的三角形模式：在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝2－2.
【对点训练】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：
即，故选：D
三．三角恒等变换
1.正切恒等式
【对点训练】内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】，又
故，所以为锐角，.
由正弦定理得，
所以，
所以三角形周长为
，
由于，
所以当时，三角形的周长取得最大值为.故选：B
2.辅助角公式
【对点训练】函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的最小正周期，
所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，故选B.
3.万能公式
万能公式：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
【对点训练】已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________.
【答案】
【解析】∵tan ＝，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cos α＞0，∴α∈，∴α－β∈，
∵sin(α－β)＝＞0，∴α－β∈，∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos(－β)＝cos(α－β－α)＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝×＋×＝.
解三角形中射影定理
1.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
【对点训练】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【解析】由，即，由射影定理可得
因为，所以，又，所以由余弦定理得
，解得，
所以的面积为.故选B.
2.三角形中的面积
三角形中的面积S＝.
五．数列
1.等差（比）项的性质
【对点训练】1.若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．为数列的前项和，则．故选：．
2.是等差数列}的前n项和，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，根据是一个首项为，公差为的等差数列，
各项分别为，故.故选：.
2.等差（比）和的性质
【对点训练】1.已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若，，则（ ）
A． B．90 C．105 D．106
【答案】C
【解析】由等比数列的性质得成等比数列，
所以成等比数列，所以.故选C
2.若正项等比数列满足，则 ．
【答案】5
【解析】正项等比数列满足，
则．
3.错位相减法速算公式
【对点训练】数列的前项和等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，由结论，
所以，故选B.
4.数列放缩不等式
六．函数的基本性质
1.函数单调性的8个重要结论
【对点训练】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得或.因为函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则的单调递减区间为，故选B.
2.函数奇偶性的4个重要结论
【对点训练】1.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意设，，
所以是奇函数，，，
∴，又，∴．故选B.
2.已知函数且，则的值为__________
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以

3.函数对称性的6个重要结论
【对点训练】定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 图像关于点对称，所以，所以，又为偶函数，所以，所以，所以函数最小正周期为2，所以.
4.函数周期性的8个重要结论
【对点训练】1.已知函数是定义在上的偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，
所以关于对称，则，又，
所以，即，
函数的周期为4，
取，则，
所以，则D选项正确，B、C选项错误；
由已知条件不能确定的值，A选项错误；故选：D.
2.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数是偶函数，∴，
又∵，，，
，∴函数的周期为4，
∴.故选：D.
5.零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根．
七．立体几何
外接球与内切球的二级结论
【对点训练】已知三棱锥中，两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设外接球的半径为，由结论则，
则所求表面积，故选B
若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　)
A.4π B.12π
C.8π D.32π
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为4×a2＝8，解得a＝2.
易求得正四面体的高h＝ ＝，
设正四面体的外接球半径为R，则R＝h＝，∴外接球的体积为R3＝4π.故选A.
八．解析几何
1.圆锥曲线的切线方程
【对点训练】1.经过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】有结论秒得.故选：C.
2.已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点在椭圆上，故可得，解得；
由类比可得椭圆在点处的切线方程为：
，整理可得，故选：C.
2.圆锥曲线通径
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
【对点训练】椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，焦距等于2，故选B．
3.焦点三角形
【对点训练】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.
【解析】设，则. ，
又，，即.解得：.=
所求椭圆的标准方程为或.
双曲线焦点到渐近线的距离为b
【对点训练】已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为4a，则C的离心率为（ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】A
【解析】双曲线焦点到渐近线的距离等于4a，即点到直线的距离等于4a，即，即，可得，即，故选A.
5.离心率秒杀公式
（1）设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．
（2）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则
图1 图2
如图2.若，则
【对点训练】已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
∴椭圆的离心率为.
设直线的倾斜角为，由结论，
由得，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，即直线的斜率为，故选D.
6.抛物线中焦半径、焦点弦性质
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【对点训练】1.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设，由已知，
由焦半径公式可得
所以，所以，故选B.
2．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知抛物线焦点到准线的距离为，即，
则抛物线方程为，，
所以直线方程为，即，
设直线与抛物线交点，，
联立直线与抛物线，得，则，，
又由抛物线可知，，
所以，故选A.
相交弦所在直线斜率与弦中点的关系
若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则； 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
【对点训练】1.已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因，，由结论，
故直线方程为，即，故选C
2.设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，又
则直线斜率，直线的方程为：，
由，消去，得，解得，
，故选B

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